Câu 74 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với cả AC và BD cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm P, Q, R, S.

a) Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PQRS là hình thoi.

Lời giải chi tiết

\(\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr
AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr
(\alpha ) \cap (ABC) = PQ \hfill \cr} \right\} \Rightarrow PQ//AC\)

\(\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr
AC \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr
(\alpha ) \cap (ACD) = RS \hfill \cr} \right\} \Rightarrow RS//AC\)

Từ trên, suy ra: PQ // RS (//AC) (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

PS // QR (//BD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành.

b) Vì \(PS//BD \Rightarrow {{PS} \over {BD}} = {{PA} \over {AB}}\)

Nên \(PS = {{BD} \over {AB}}.PA.\) (3)

Vì \(PQ//AC \Rightarrow {{PQ} \over {AC}} = {{PB} \over {AB}}\)

Nên \(PQ = {{AC} \over {AB}}.PB.\) (4)

Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi PS = PQ

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow BD.PA = AC.PB \cr
& \Leftrightarrow {{PA} \over {PB}} = {{AC} \over {BD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \cr} \)

Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi \(mp\left( \alpha \right)\) qua điểm P (được xác định bởi (5)) đồng thời song song với cả AC và BD.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 75 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; M là trung điểm của cạnh SA.
Câu 76 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
Câu 77 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình hộp.
Câu 73 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Câu 72 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD và một điểm M nằm trong tam giác ABC.
Câu 71 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, I, J, O lần lượt là trung điểm của SD, AB, CD, IJ.
Câu 70 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Trong mp(P) cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O.
Câu 69 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.
Bài 68 trang 63 SBT Hình học 11 nâng cao.
Chứng minh rằng nếu n đường thẳng đôi một cắt nhau và không đồng phẳng thì chúng đồng quy.