Câu 74 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.


Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với cả AC và BD cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm P, Q, R, S.

a) Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PQRS là hình thoi.

Lời giải chi tiết

a)

\(\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr 
AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr 
(\alpha ) \cap (ABC) = PQ \hfill \cr} \right\} \Rightarrow PQ//AC\)

\(\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr 
AC \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr 
(\alpha ) \cap (ACD) = RS \hfill \cr} \right\} \Rightarrow RS//AC\)

Từ trên, suy ra: PQ // RS (//AC)   (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

PS // QR (//BD)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành.

 b) Vì \(PS//BD \Rightarrow {{PS} \over {BD}} = {{PA} \over {AB}}\)

Nên \(PS = {{BD} \over {AB}}.PA.\)                 (3)

Vì \(PQ//AC \Rightarrow {{PQ} \over {AC}} = {{PB} \over {AB}}\)

Nên \(PQ = {{AC} \over {AB}}.PB.\)                 (4)

Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi PS = PQ

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow BD.PA = AC.PB \cr 
& \Leftrightarrow {{PA} \over {PB}} = {{AC} \over {BD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \cr} \)

Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi \(mp\left( \alpha  \right)\) qua điểm P (được xác định bởi (5)) đồng thời song song với cả AC và BD.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài