Câu 72 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình chóp S.ABCD và một điểm M nằm trong tam giác ABC.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC và một điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A’, B’, C’.

a) Gọi N là giao điểm của SA’ với BC. Chứng minh rằng các điểm A, M, N thẳng hàng và từ đó suy ra cách dựng điểm A’.

b) Chứng minh rằng \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MA'} \over {SA}};\)

c) Chứng minh rằng \({{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}} = 1.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì A’M//SA nên có mp(MA’,SA). Mặt phẳng này và mặt phẳng (ABC) có ba điểm chung A, M, N. Do đó ba điểm A, M, N phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nói trên. Vậy ba điểm đó phải thẳng hàng.

Kéo dài AM cắt BC tại N. Trong mp(SAN) kẻ MA’ song song với SA cắt SN tại A’. Điểm A’ là điểm cần tìm.

Tương tự xác định được các điểm B’, C’.

b) Dễ thấy \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MN} \over {AN}}\)

Mà \({{MN} \over {AN}} = {{MA'} \over {SA}}.\)

Vậy \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MA'} \over {SA}}.\)

c) Chứng minh tương tự như câu b), ta có:

\({{{S_{MCA}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MB'} \over {SB}},\,{{{S_{MAB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MC'} \over {SC}}.\)

Vậy \({{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}} = {{{S_{MBC}} + {S_{MCA}} + {S_{MAB}}} \over {{S_{ABC}}}}\)

\( = {{{S_{ABC}}} \over {{S_{ABC}}}} = 1.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 73 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Câu 74 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.
Câu 75 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; M là trung điểm của cạnh SA.
Câu 76 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
Câu 77 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình hộp.
Câu 71 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, I, J, O lần lượt là trung điểm của SD, AB, CD, IJ.
Câu 70 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Trong mp(P) cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O.
Câu 69 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.
Bài 68 trang 63 SBT Hình học 11 nâng cao.
Chứng minh rằng nếu n đường thẳng đôi một cắt nhau và không đồng phẳng thì chúng đồng quy.