Câu 31 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.


Đề bài

Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng:

a) Nếu bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng thì \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\).

b) Nếu \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\) thì bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Trường hợp 1. MN // EF

Theo hệ quả của định lí giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (MNEF) ta có MN//EF // AC. Do đó ta có:

\({{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NB}},\,{{EC} \over {ED}} = {{FA} \over {FD}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}}  \cr 
& = {{NC} \over {NB}}. {{NB} \over {NC}}.{{FA} \over {FD}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \cr} \) suy ra điều phải chứng minh.

Trường hợp 2. MN cắt EF tại O.

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ADC), (MNEF) ta có MN, AC, EF đồng quy tại O. Kẻ \(CI//AB,\,CJ//AD\,\left( {I \in MN,\,J \in FE} \right),\) ta có:

\(\eqalign{
& {{NB} \over {NC}} = {{MB} \over {CI}},\,{{OC} \over {OA}} = {{CI} \over {MA}} \cr 
& \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{OC} \over {OA.}} \cr 
& = {{MA} \over {MB}}.{{MB} \over {CI}}.{{CI} \over {MA}} = 1 \cr} \)

Tương tự ta có:

\({{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}}.{{OA} \over {OC}} = 1\)

Vậy \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = {{OA} \over {OC}}.{{OC} \over {OA}} = 1\)

b) Giả sử mặt phẳng (MNE) cắt cạnh AD tại F’. Theo câu a), ta có:

\({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{F'D} \over {F'A}} = 1\)

Theo giả thiết \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \Rightarrow F'D = FD\).

Vì F, F’ đều nằm trong đoạn thẳng AD nên \(F' \equiv F\) . Điều này có nghĩa là bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Hai đường thẳng song song

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.