Câu 31 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng:

a) Nếu bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng thì \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\).

b) Nếu \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\) thì bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Trường hợp 1. MN // EF

Theo hệ quả của định lí giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (MNEF) ta có MN//EF // AC. Do đó ta có:

\({{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NB}},\,{{EC} \over {ED}} = {{FA} \over {FD}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} \cr
& = {{NC} \over {NB}}. {{NB} \over {NC}}.{{FA} \over {FD}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \cr} \) suy ra điều phải chứng minh.

Trường hợp 2. MN cắt EF tại O.

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ADC), (MNEF) ta có MN, AC, EF đồng quy tại O. Kẻ \(CI//AB,\,CJ//AD\,\left( {I \in MN,\,J \in FE} \right),\) ta có:

\(\eqalign{
& {{NB} \over {NC}} = {{MB} \over {CI}},\,{{OC} \over {OA}} = {{CI} \over {MA}} \cr
& \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{OC} \over {OA.}} \cr
& = {{MA} \over {MB}}.{{MB} \over {CI}}.{{CI} \over {MA}} = 1 \cr} \)

Tương tự ta có:

\({{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}}.{{OA} \over {OC}} = 1\)

Vậy \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = {{OA} \over {OC}}.{{OC} \over {OA}} = 1\)

b) Giả sử mặt phẳng (MNE) cắt cạnh AD tại F’. Theo câu a), ta có:

\({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{F'D} \over {F'A}} = 1\)

Theo giả thiết \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \Rightarrow F'D = FD\).

Vì F, F’ đều nằm trong đoạn thẳng AD nên \(F' \equiv F\) . Điều này có nghĩa là bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 32 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O là giao điểm của BD và AC).
Câu 30 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Câu 29 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng.
Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
Câu 27 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ACBD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SCD và SDA.
Câu 25 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh bên SA, SB, SC và SD.
Câu 24 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM//BN.
Câu 23 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.
Câu 22 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?