Câu 29 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng đi qua mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm G và điểm G chia trong mỗi đoạn thẳng đó theo tỉ lệ 3: 1 kể từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện.

b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết

a) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB và ABC. Do A, B, C, D không đồng phẳng nên AA’, BB’, CC’, DD’ không đồng phẳng. Ta chứng minh các đoạn thẳng đó từng đôi một cắt nhau.

b) Gọi M’ là giao điểm của BA’ và CD. Khi đó M là trung điểm của CD. Vì B’ là trọng tâm của tam giác ACD nên ba điểm A, B’, M thẳng hàng. Vậy AA’ và BB’ cùng thuộc mp(ABM) và A’ thuộc đoạn BM, B’ thuộc đoạn AM nên AA’ và BB’ cắt nhau tại điểm G nào đó. Lí luận tương tự, ta cũng có các đường thẳng nói trên từng đôi cắt nhau. Vậy chúng phải đồng quy.

Ta có thể chứng minh cách khác như sau:

Lí luận như trên, trong tam giác ABM ta có AA’ và BB’ cắt nhau tại G. Vì

\({{A'M} \over {MB}} = {{B'M} \over {MA}} = {1 \over 3}\)

Nên A’B’ // AB.

Suy ra: \({{GA'} \over {GA}} = {{GB'} \over {GB}} = {{A'B'} \over {AB}} = {{MA'} \over {MB}} = {1 \over 3}\)

Vậy \({{GA'} \over {GA}} = {{GB'} \over {GB}} = {1 \over 3}\)

Nhưng AA’, BB’ là hai đoạn thẳng tùy ý trong bốn đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’. Vậy chúng đồng quy tại điểm G và điểm G chia trong mỗi đoạn thẳng đó theo tỉ số 3: 1 kể từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện.

c) Nối M với G và kéo dài cắt AB tại N. Ta sẽ chứng minh N là trung điểm của AB và G là trung điểm của MN. Thật vậy, gọi I là giao điểm của MN với A’B’. Vì A’B’ // AB, ta có:

\({{IB'} \over {NB}} = {{GB'} \over {GB}} = {1 \over 3};\,\,{{IB'} \over {NA}} = {{MB'} \over {MA}} = {1 \over 3}\)

Nên \({{IB'} \over {NB}} = {{IB'} \over {NA}} \Rightarrow NB = NA\)

Suy ra N là trung điểm của AB.

Kẻ \(NN'/{\rm{AA}}'\,\,\left( {N' \in BA'} \right)\)

Ta có N’ là trung điểm của BA’, suy ra A’ là trung điểm của N’M. Do đó A’G là đường trung bình của tam giác MNN’. Suy ra G là trung điểm của MN.

Vậy điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 30 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Câu 31 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA.
Câu 32 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O là giao điểm của BD và AC).
Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
Câu 27 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ACBD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SCD và SDA.
Câu 25 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh bên SA, SB, SC và SD.
Câu 24 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM//BN.
Câu 23 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.
Câu 22 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?