Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SCD và SDA.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Tứ giác MNEF là hình thoi.

c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD).

Lời giải chi tiết

Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SM và AB, SN và BC, SE và CD, SF và DA. Khi đó M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA.

Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên:

\({{SM} \over {SM'}} = {{SN} \over {SN'}} = {2 \over 3} \)

\(\Rightarrow MN// M'N'\) và \(MN = {2 \over 3}M'N'\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(EF//E'F'\,\,\text{và}\,\,EF = {2 \over 3}\)E'F' (2)

NE // N’E’ và \(NE = {2 \over 3}N'F'\,\,(3)\)

MF // M’F’ và \(MF = {2 \over 3}M'F'\,\,\,(4)\)

a) M’N’ là đường trung bình của tam giác BAC suy ra:

M’N’//AC và \(M'N' = {1 \over 2}AC\,\,\,(5)\)

Tương tự: E’F’ // AC và \(E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(6)\)

Từ (5) và (6) suy ra M’N’ //E’F’ và \(M'N' = E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(7)\)

Từ (1), (2), (7) suy ra MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Lí luận tương tự như câu a), ta suy ra:

N’E’ // M’F’ và \(N'E' = M'F' = {1 \over 2}BD.\)

Từ (1), (2), (3), (4), (7), (8) và AC = BD suy ra:

\(MN = NE = EF = FM = {1 \over 3}AC.\)

Vậy tứ giác MNEF là một hình thoi.

c) Dễ thấy O cũng là giao điểm của M’E’ và N’F’. Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’) và (MNEF). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {N'SF'} \right) = SO \cr
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = ME \cr
& \left( {N'SF'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = NF \cr
& ME \cap NF = I \cr} \)

Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SO, ME và NF đồng quy.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 27 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ACBD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
Câu 29 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng.
Câu 30 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Câu 31 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA.
Câu 32 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O là giao điểm của BD và AC).
Câu 25 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh bên SA, SB, SC và SD.
Câu 24 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM//BN.
Câu 23 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.
Câu 22 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?