Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.


Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SCD và SDA.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Tứ giác MNEF là hình thoi.

c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD).

Lời giải chi tiết

Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SM và AB, SN và BC, SE và CD, SF và DA. Khi đó M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA.

Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên:

\({{SM} \over {SM'}} = {{SN} \over {SN'}} = {2 \over 3} \)

\(\Rightarrow MN// M'N'\)  và \(MN = {2 \over 3}M'N'\)  (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(EF//E'F'\,\,\text{và}\,\,EF = {2 \over 3}\)E'F'       (2)

NE // N’E’ và \(NE = {2 \over 3}N'F'\,\,(3)\)

MF // M’F’ và \(MF = {2 \over 3}M'F'\,\,\,(4)\)

a) M’N’ là đường trung bình của tam giác BAC suy ra:

 M’N’//AC và \(M'N' = {1 \over 2}AC\,\,\,(5)\)

Tương tự: E’F’ // AC và \(E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(6)\)

Từ (5) và (6) suy ra M’N’ //E’F’ và \(M'N' = E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(7)\)

Từ (1), (2), (7) suy ra MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Lí luận tương tự như câu a), ta suy ra:

N’E’ // M’F’ và \(N'E' = M'F' = {1 \over 2}BD.\)

Từ (1), (2), (3), (4), (7), (8) và AC = BD suy ra:

\(MN = NE = EF = FM = {1 \over 3}AC.\)

Vậy tứ giác MNEF là một hình thoi.

c) Dễ thấy O cũng là giao điểm của M’E’ và N’F’. Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’) và (MNEF). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {N'SF'} \right) = SO \cr 
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = ME \cr 
& \left( {N'SF'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = NF \cr 
& ME \cap NF = I \cr} \)

Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SO, ME và NF đồng quy.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Hai đường thẳng song song

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài