Bài 4.28 trang 206 SBT giải tích 12


Giải bài 4.28 trang 206 sách bài tập giải tích 12. Biết z_1 và z_2 là hai nghiệm của phương trình...

Đề bài

Biết \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính:

a) \(z_1^2 + z_2^2\)                   b) \(z_1^3 + z_2^3\)

c) \(z_1^4 + z_2^4\)                   d) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hệ thức Vi – et:

Phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0(a\ne 0)\) luôn có hai nghiệm thỏa mãn \({z_1} + {z_2} =  - \dfrac{b}{a},{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\) trong tập số phức \(\mathbb{C}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \({z_1} + {z_2} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:

a) \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\)\( = \dfrac{3}{4} - 3 =  - \dfrac{9}{4}\)

b) \(z_1^3 + z_2^3\)\( = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)\) \( =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}\)

c) \(z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2.z_2^2\)\( = {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}\)

d) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\)\( = \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} =  - \dfrac{3}{2}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài