Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho các số phức ${z_1} = 1 + 3i$, ${z_2} =  - 5 - 3i$. Tìm điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức ${z_3}$, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm $M$ nằm trên đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$ và môđun của số phức $w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)$ B. $M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)$

C. $M\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)$                   D. $M\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)$

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( {1; - 1;2} \right)$, $B\left( {2;1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + y + z + 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $A,\,\,B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình là:

A. $x + y + z - 2 = 0$

B. $3x - 2y - z - 3 = 0$

C. $3x - 2y - z + 3 = 0$

D. $- x + y = 0$

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và bán kính $R$ là:

A. $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và $R = 5$

B. $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và $R = \sqrt 5$

C. $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và $R = 5$

D. $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và $R = \sqrt 5$

Câu 4: Gọi ${z_1},\,\,{z_2}$ là các nghiệm của phương trình ${z^2} - 4z + 9 = 0$. Giả sử $M,\,\,N$ là các điểm biểu diễn hình học của ${z_1},\,\,{z_2}$ trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của $MN$ là:

A. $\sqrt 5$                         B. $4$

C. $2\sqrt 5$                       D. $5$

Câu 5: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0$. Đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có bán kính là:

A. $\sqrt 5$                         B. $4$

C. $2\sqrt 5$                       D. $5$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;2;3} \right)$. Hình chiếu của $M$ trên trục $Oy$ là:

A. $Q\left( {0;2;0} \right)$

B. $S\left( {0;0;3} \right)$

C. $R\left( {1;0;0} \right)$

D. $P\left( {1;0;3} \right)$

Câu 7: Tìm số phức $z$ biết: $\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0$.

A. $z =  - 3 - 2i$

B. $z = 3 - 2i$

C. $z = 3 + 2i$

D. $z =  - 3 + 2i$

Câu 8: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ lần lượt biểu diễn ba số phức ${z_1} = 1 + i$, ${z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2}$ và ${z_3} = a - i$. Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng:

A. $- 3$                               B. $- 2$

C. $3$                                   D. $- 4$

Câu 9: Tính môđun của số phức $z = 2 + i + {i^{2019}}$.

A. $\left| z \right| = \sqrt 5$

B. $\left| z \right| = 2$

C. $\left| z \right| = 2\sqrt 2$

D. $\left| z \right| = \sqrt {10}$

Câu 10: Gọi ${z_1},\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 9 = 0$. Tính $\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}$.

A. $\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 3$

B. $\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 4i$

C. $\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 9i$

D. $\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 0$

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài
đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. $\sqrt 3$                         B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

C. $\sqrt 2$                         D. $\sqrt 6$

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ $\overrightarrow a  = \left( {1;2;3} \right)$, $\overrightarrow b  = \left( { - 2;4;1} \right)$, $\overrightarrow c  = \left( { - 1;3;4} \right)$. Véc tơ $\overrightarrow v  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c$ có toạ độ là:

A. $\overrightarrow v  = \left( {3;7;23} \right)$

B. $\overrightarrow v  = \left( {23;7;3} \right)$

C. $\overrightarrow v  = \left( {7;3;23} \right)$

D. $\overrightarrow v  = \left( {7;23;3} \right)$

Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}$.

A. $2{x^3} - \frac{3}{x} + C$

B. $\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C$

C. $\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C$

D. $\frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C$

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (-4;0;0) và đường thẳng $\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 3t\\z =  - 2t\end{array} \right.$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là chân hình chiếu từ M  lên $\Delta$. Tính a + b + c.

A. 5                                        B. 7

C. -3                                       D. -1

Câu 15: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận $\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)$ làm véc tơ chỉ phương?
(với $t \in \mathbb{R}$).

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z =  - 4 + t\end{array} \right.$  

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 5t\\z =  - 4 - 3t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.$

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $I\left( {1;0; - 1} \right)$, $A\left( {2;2; - 3} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3$

B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$

  C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$

D. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3$

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng (P)?

A. Q(1;-3;-4)

B. P(1;-2;0)  

C. N(0;1;-2)

D. M(2;-1;1)

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + \sin x$ là:

A. $F\left( x \right) = {e^x} + \cos x + C$

B. $F\left( x \right) = {e^x} - \sin x + C$

C. $F\left( x \right) = {e^x} - \cos x + C$

D. $F\left( x \right) = {e^x} + \sin x + C$

Câu 19: Cho số phức $z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)$ theo điều kiện $\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z  = 22 - 20i$. Tính $S = a + b$.

A. $S = 3$

B. $S =  - 4$

C. $S =  - 6$

D. $S = 2$

Câu 20: Chọn khẳng định đúng?

A. $\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C$

B. $\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C$

C. $\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{3^{2x + 1}}}}{{2x + 1}} + C$

D. $\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{9^x}}}{{\ln 3}} + C$

Câu 21: Tìm hàm số $F\left( x \right)$ biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt x$ và $F\left( 1 \right) = 1$.

A. $F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{2}$

B. $F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x$

C. $F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  - \frac{5}{3}$

D. $F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  + \frac{1}{3}$

Câu 22: Tìm số phức liên hợp của số phức $z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)$.

A. $\overline z  = 1 - i$

B. $\overline z  = 5 + i$

C. $\overline z  = 5 - i$         D. $\overline z  = 1 + i$

Câu 23: Cho số phức ${z_1} = 2 + 3i$, ${z_2} =  - 4 - 5i$. Tính $z = {z_1} + {z_2}$.

A. $z = 2 + 2i$

B. $z =  - 2 + 2i$

C. $z = 2 - 2i$

D. $z =  - 2 - 2i$

Câu 24: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ là:

A. $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;3;2} \right)$

B. $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {6;2;3} \right)$

C. $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {3;6;2} \right)$

D. $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {2;3;6} \right)$

Câu 25: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx}$ với $k \ne 0$

B. $\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)$

C. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx}$

D. $\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx}$

Câu 26: Trong mặt phẳng (Oxy), điểm $M\left( {3; - 1} \right)$ biểu diễn số phức

A. $z =  - 1 + 3i$  

B. $z =  - 3 + i$

C. $z = 1 - 3i$

D. $z = 3 - i$

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow k  - \overrightarrow i$. Tọa độ của điểm A là

A. $A\left( {3;0; - 1} \right)$  

B. $A\left( { - 1;0;3} \right)$

C. $A\left( { - 1;3;0} \right)$

D. $A\left( {3; - 1;0} \right)$

Câu 28: Trong không gian Oxyz phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng
(Oyz)?

A. $x = 0$

B. $y + z = 0$

C. $x = y + z$

D. $y - z = 0$

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^5} - {x^3}$ và trục hoành:

A. $S = \frac{{13}}{6}$

B. $S = \frac{7}{6}$

C. $S = \frac{1}{6}$

D. $S = \frac{{17}}{6}$

Câu 30: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:\,\,\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + 2y - z + 5 = 0$. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $M\left( { - 1;0;4} \right)$

B. $M\left( {0;0;5} \right)$

C. $M\left( { - 5; - 2;2} \right)$

D. $M\left( { - 3; - 1;3} \right)$

Câu 31: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn $\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|$ là đường thẳng nào?

A. $4x + 2y - 1 = 0$

B. $4x - 2y + 1 = 0$

C. $4x - 2y - 1 = 0$

D. $4x - 6y - 1 = 0$

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( {2;1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0$. Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$  

B. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2$

C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$

D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36$

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0$ và $\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0$ . Tìm m để hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ song song với nhau

A. $m = 1$

B. Không tồn tại m

C. $m =  - 2$

D. $m = 2$

Câu 34: Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx}  = \frac{{ - 1}}{m} + n\ln 2$ với $m,\,\,n \in \mathbb{Z}$. Tính $S = m + n$.

A. $S = 1$  

B. $S = 4$

C. $S =  - 1$

D. $S =  - 5$

Câu 35: Cho $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 2$ và $\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx}  = 1$. Tính $I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx}$.

A. $2025$                             B. $2019$

C. $2021$                            D. $2027$

Câu 36: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx}$.

A. $I = e + 1$  

B. $I = e + 2$

C. $I = e + 3$

D. $I = e - 1$

Câu 37: Phần ảo của số phức $z = 2 - 3i$ là:

A. $2$                                   B. $3$

C. $- 3$                               D. $- 3i$

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

A. $- 1 + 2i$  

B. $- \frac{1}{2} + 2i$

C. $2 - i$

D. $2 - \frac{1}{2}i$

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R}$. Hỏi d đi qua điểm nào dưới
đây?

A. $\left( {3;6;8} \right)$  

B. $\left( {1; - 4; - 5} \right)$

C. $\left( { - 1;2;3} \right)$

D. $\left( {0;6;8} \right)$

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x - y - 2z - 9 = 0$ và $\left( Q \right):\,4x - 2y - 4z - 6 = 0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng

A. $0$                                   B. $2$

C. $1$                                  D. $3$

Câu 41: Cho tích phân $\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx}  = 6$. Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^2}f\left( {{x^3} + 1} \right)dx}$.

A. $I = 3$                              B. $I = 2$

C. $I = 8$                              D. $I = 4$

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và
mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 17 = 0$.

A. $M\left( {0;0; - 3} \right)$  

B. $M\left( {0;0;3} \right)$

C. $M\left( {0;0; - 4} \right)$

D. $M\left( {0;0;4} \right)$

Câu 43: Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx}$ và đặt $u = {x^2},\,\,dv = \cos xdx$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?

A. $I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx}$

B. $I = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^\pi  + 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx}$

 C. $I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx}$

D. $I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx}$

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và $B\left( {0;3;1} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. $\left( {2;4; - 2} \right)$

B. $\left( { - 2;2;4} \right)$

C. $\left( { - 1;1;2} \right)$

D. $\left( { - 2; - 4;2} \right)$

Câu 45: Cho số phức $z = 1 - 2i$. Tính $\left| z \right|$.

A. $\left| z \right| = 5$  

B. $\left| z \right| = \sqrt 5$

C. $\left| z \right| = 3$

D. $\left| z \right| = 2$

Câu 46: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$ và $y = \sqrt {2x + 1}$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. $V = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx}$  

B. $V = \pi \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx}$

C. $V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx}$

D. $V = \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx}$

Câu 47: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc $v\left( t \right) = {t^2} + 10t\,\,\left( {m/s} \right)$ với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:

A. $\frac{{4000}}{3}\,\,\left( m \right)$ 

B. $500\,\,\left( m \right)$

C. $\frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)$

D. $2000\,\,\left( m \right)$

Câu 48: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1$. Giá trị của ${f^2}\left( 1 \right)$ bằng:

A. $8$                                   B. $\frac{5}{2}$

C. $10$                                D. $4$

Câu 49: Cho đường thẳng ${d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = t\\z = 3\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ và ${d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t'\\z =  - t'\end{array} \right.\,\,\left( {t' \in \mathbb{R}} \right)$. Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ là:

A. ${\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{9}{4}$ 

B. ${\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{3}{2}$

 C. ${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{3}{2}$

D. ${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}$

Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y = 2{x^2}$, $y = \frac{{{x^2}}}{8}$, $y =  - x + 6$. Tính diện tích hình phẳng D nằm bên phải của trục tung

A. $S = \frac{{1075}}{{192}}$  

B. $S = \frac{{135}}{{64}}$

C. $S = \frac{{185}}{{24}}$

D. $S = \frac{{335}}{{96}}$

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

- Gọi $M\left( {2a - 1;a} \right)$ thuộc đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$ $\Rightarrow$ Số phức ${z_3}$.

- Tính $w$ và tính $\left| w \right|$.

- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.

Cách giải:

Gọi $M\left( {2a - 1;a} \right)$ thuộc đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$ $\Rightarrow {z_3} = 2a - 1 + ai$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\\w = 3\left( {2a - 1 + ai} \right) - \left( { - 5 - 3i} \right) - 2\left( {1 + 3i} \right)\\w = \left( {6a - 3 + 5 - 2} \right) + \left( {3a + 3 - 6} \right)i\\w = 6a + \left( {3a - 3} \right)i\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} + {{\left( {3a - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{a^2} - 18a + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - \frac{2}{5}a} \right) + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{5} + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{9}{5} + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{{\left( {a - \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{{36}}{5}} \\ \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{{36}}{5}}  = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{5}\end{array}$

Vậy ${\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)$.

Chọn A. 

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

- $\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]$.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Cách giải:

Gọi $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là:

$3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0$.

Chọn B. 

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu $\left( S \right)\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} > d$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0$ có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 9}  = \sqrt 5$.

Chọn B. 

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm ${z_1},\,\,{z_2}$.

- Tìm các điểm $M,\,\,N$. Điểm biểu diễn số phức $z = a + bi$ là $M\left( {a;b} \right)$.

- Tính độ dài đoạn thẳng

$MN$$= \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}}$

Cách giải:

Ta có: ${z^2} - 4z + 9 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 5 i\end{array} \right.$

$\Rightarrow M\left( {2;\sqrt 5 } \right)$ và $N\left( {2; - \sqrt 5 } \right)$.

Vậy $MN = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 5  - \sqrt 5 } \right)}^2}}$$= \sqrt {20}  = 2\sqrt 5$

Chọn C.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

- Xác định tâm và mặt cầu $\left( S \right)$:

Mặt cầu $\left( S \right):$${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$  có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} > d$.

- Tính $d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right)$.

- Áp dụng định lí Pytago: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ với $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}}  = \sqrt {14}$.

Ta có: $d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$, áp dụng định lí Pytago ta có:

${R^2} = {r^2} + {d^2}$$\Leftrightarrow {r^2} = \sqrt {{R^2} - {d^2}}$ $= \sqrt {14 - 9}  = \sqrt 5$

Chọn A.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Hình chiếu của $M\left( {a;b;c} \right)$ trên $Oy$ là $M'\left( {0;b;0} \right)$.

Cách giải:

Hình chiếu của $M\left( {1;2;3} \right)$ trên trục $Oy$ là: $Q\left( {0;2;0} \right)$.

Chọn A.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức tìm $z$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 1 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 5i}}{{1 - i}} = 3 - 2i.\end{array}$

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

- Tìm các điểm biểu diễn số phức ${z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}$.

- Tam giác ABC vuông tại B thì $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0$.

Cách giải:

Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức ${z_1} = 1 + i$, ${z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i$ và ${z_3} = a - i$ nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).

Ta có: $\overrightarrow {BA}  = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a; - 3} \right)$.

Tam giác ABC vuông tại B thì $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0$.

$\Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3$

Chọn A.

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

- Biến đổi ${i^{2019}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i$. Sử dụng ${i^2} =  - 1$.

- Môđun của số phức $z = a + bi$ là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}$

Chọn B.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình tìm ${z_1},\,\,{z_2}$.

- Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\overline z  = a - bi$.

Cách giải:

Ta có:

${z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 9$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3i\\{z_2} =  - 3i\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overline {{z_1}}  =  - 3i\\\overline {{z_2}}  = 3i\end{array} \right. \Rightarrow \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 0$.

Chọn D.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

- Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

- Sử dụng công thức: $d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$.

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;1;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;1;1} \right)$.

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: $d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$$= \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$

Chọn C.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Tìm vectơ $\overrightarrow v$  và suy ra tọa độ.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\overrightarrow v  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c \\\overrightarrow v  = 2\left( {1;2;3} \right) - 3\left( { - 2;4;1} \right) + 5\left( { - 1;3;4} \right)\\\overrightarrow v  = \left( {2 + 6 - 5;4 - 12 + 15;6 - 3 + 20} \right)\\\overrightarrow v  = \left( {3;7;23} \right)\end{array}$

Chọn A.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)$, $\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  =  - \frac{1}{x} + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}dx} \\ = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\end{array}$

Chọn D.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm H thuộc đường thẳng $\Delta$ theo tham số t.

- $MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0$ với $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$.

Cách giải:

Vì H là hình chiếu của M lên $\Delta$ nên $H \in \Delta$, gọi $H\left( {1 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {5 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right)$.

Gọi $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;3; - 2} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$. Vì $MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - 1.\left( {5 - t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 2.\left( { - 2t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 5 + t - 6 + 9t + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{14}}\\ \Rightarrow H\left( {\frac{3}{{14}};\frac{5}{{14}};\frac{{ - 22}}{{14}}} \right)\\ \Rightarrow a = \frac{3}{{14}},\,\,b = \frac{5}{{14}},\,\,c =  - \frac{{22}}{{14}}\end{array}$

Vậy $a + b + c =  - 1$.

Chọn D.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ có 1 VTPT là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với $\overrightarrow u$ đều là VTCP của đường thẳng trên.

Cách giải:

Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)$.

Chọn D.

Câu 16 (TH) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

- Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I và đi qua điểm A có bán kính:

$R = IA$$= \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}}$

- Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính R có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I và đi qua điểm A có bán kính $R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 3$.

 Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;0; - 1} \right)$, bán kính R = 3 có phương trình: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Chọn B.

Câu 17 (NB)

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm phương trình mặt phẳng, điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì thuộc mặt phẳng.

Cách giải:

Ta có: 2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0 nên điểm Q(1;-3;-4) thuộc mặt phẳng (P).

Chọn A.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C$, $\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {{e^x} + \sin x} \right)dx} \\ = {e^x} - \cos x + C\end{array}$.

Chọn C.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi$.

- Thay vào biểu thức tìm $a,\,\,b$.

Cách giải:

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z  = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) - 7i\left( {a - bi} \right) = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a + 2bi - 3ai + 3b - 7ai - 7b = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a - 4b + \left( {2b - 10a} \right)i = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4b = 22\\2b - 10a =  - 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 1 - 5i\end{array}$

Vậy $a + b = 1 + \left( { - 5} \right) =  - 4$.

Chọn B.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$.

Cách giải:

$\int {{3^{2x}}dx}  = \int {{9^x}dx}$$= \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C$

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Viết $f\left( x \right) = \sqrt x  = {x^{\frac{1}{2}}}$. Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

- Thay $x = 1$, tìm C và suy ra $F\left( x \right)$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\sqrt x dx}  = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}x\sqrt x  + C\\ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}\end{array}$

Vậy $F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  + \frac{1}{3}$.

Chọn D.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Nhân khai triển số phức $z$.

- Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\overline z  = a - bi$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\\z = 3 + 2i - 3i + 2\\z = 5 - i\\ \Rightarrow \overline z  = 5 + i\end{array}$

Chọn B.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Cho ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$, ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$ $\Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}z = {z_1} + {z_2}\\z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( { - 4 - 5i} \right)\\z =  - 2 - 2i\end{array}$

Chọn D.

Câu 24 (NB)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ đều là VTPT của mặt phẳng trên.

Cách giải:

Ta có: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$$\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$, mặt phẳng có 1 VTPT là: $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;3;2} \right)$.

Chọn A.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của tích phân:

$\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx}$ với $k \ne 0$ 

$\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)$

$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx}$

Cách giải:

Dễ thấy mệnh đề $\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx}$ sai.

Chọn D.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

Trong mặt phẳng (Oxy), điểm $M\left( {a;b} \right)$ biểu diễn số phức $z = a + bi$.

Cách giải:

Trong mặt phẳng (Oxy), điểm $M\left( {3; - 1} \right)$ biểu diễn số phức $z = 3 - i$.

Chọn D.

Câu 27 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow {OA}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k$ thì tọa độ của điểm A là $A\left( {x;y;z} \right)$.

Cách giải:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow k  - \overrightarrow i$. Tọa độ của điểm A là $A\left( { - 1;0;3} \right)$.

Chọn B.

Câu 28 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là $x = 0$.

Cách giải:

Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là $x = 0$.

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^5} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx}  + \int\limits_0^1 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right|\\ = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\end{array}$

Chọn C.

Câu 30 (TH)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm $M \in d$ theo ẩn $t$.

- Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ tìm $t$.

Cách giải:

Vì $M = d \cap \left( P \right)$ nên $M \in d,\,\,M \in \left( P \right)$.

$\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 1 + t;3 + t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow  - 3 + 2t + 2\left( { - 1 + t} \right) - \left( {3 + t} \right) + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}$

Vậy $M\left( { - 1;0;4} \right)$.

Chọn A.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi$.

- Thay vào biểu thức đề bài cho và suy ra biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa $x,\,\,y$.

Cách giải:

Đặt $z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x - yi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 \\= {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0\end{array}$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn $\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|$ là đường thẳng $4x - 2y - 1 = 0$.

Chọn C.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

- Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính $R = d\left( {A;\left( P \right)} \right)$.

- Khoảng cách từ $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

- Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $A\left( {a;b;c} \right)$, bán kính R có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính $R = d\left( {A;\left( P \right)} \right)$$= \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2$

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $A\left( {2;1;1} \right)$, bán kính R = 2 có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$.

Chọn C.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ và $\left( \beta  \right):\,\,A'x + B'y + C'z + D' = 0$ song song khi và chỉ khi $\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}$.

Cách giải:

Hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0$ và $\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0$ song song với nhau khi và chỉ khi

$\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu, sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

- Đồng nhất hệ số tìm m, n và tính S.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ =  - \frac{1}{2} - \ln 2\\ \Rightarrow m = 2,\,\,n =  - 1.\end{array}$

Vậy $S = m + n = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.$

Chọn A.

Câu 35 (TH) 

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân:

+) $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$

+) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ với $k \ne 0$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \\I = 4\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  + 2019\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \\I = 4.2 + 2019.1\\I = 2027\end{array}$

Chọn D.

Câu 36 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C$, $\int {dx}  = x + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx}  = \left. {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\, = {e^1} + 2 - {e^0} - 0 = e + 1.\end{array}$

Chọn A.

Câu 37 (NB)

Phương pháp:

Phần ảo của số phức $z = a + bi$ là $b$.

Cách giải:

Phần ảo của số phức $z = 2 - 3i$ là $- 3$.

Chọn C.

Câu 38 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm I của AB: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$.

- Số phức được biểu diễn bởi điểm $I\left( {a;b} \right)$ là $z = a + bi$.

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy $A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)$.

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};2} \right)$.

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức $- \frac{1}{2} + 2i$.

Chọn B.

Câu 39 (NB)

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm $\left( {0;6;8} \right)$ vào phương trình đường thẳng ta có: $\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1$.

Vậy điểm $\left( {0;6;8} \right)$ thuộc đường thẳng d.

Chọn D.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

- Nhận xét (P) // (Q).

- $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)$ với $M \in \left( P \right)$ bất kì.

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( Q \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là

$d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Cách giải:

Vì $\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 6}}$ nên $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$.

Xét $\left( P \right)$, cho $x = z = 0 \Rightarrow y =  - 9$$\Rightarrow M\left( {0; - 9;0} \right) \in \left( P \right)$

Vậy  $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)$$= \frac{{\left| { - 2.\left( { - 9} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2$

Chọn B.

Câu 41 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $t = {x^3} + 1$.

Cách giải:

Đặt $t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx$$\Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}dt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 9\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx}$$= \frac{1}{3}.6 = 2$.

Chọn B.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Gọi $M\left( {0;0;m} \right) \in Oz$.

- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng $\left( P \right)$$\Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)$.

- Sử dụng các công thức

$MA$$= \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_M}} \right)}^2}}$

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là 

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Cách giải:

Gọi $M\left( {0;0;m} \right) \in Oz$.

Ta có: $MA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}}$$= \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13}$ .

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}$

Vì M cách đều điểm A và mặt phẳng $\left( P \right)$$\Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13}  = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 14\left( {{m^2} - 8m + 16 + 13} \right) = {m^2} - 34m + 289\\ \Leftrightarrow 13{m^2} - 78m + 117 = 0\\ \Leftrightarrow 13\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 13{\left( {m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 3.\end{array}$

Vậy $M\left( {0;0;3} \right)$.

Chọn B.

Câu 43 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

Cách giải:

$I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right.$.

$\Rightarrow I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx}$.

Chọn C.

Câu 44 (NB)

Phương pháp:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: $\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

Cách giải:

Cho hai điểm $A\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và $B\left( {0;3;1} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: $\left( { - 1;1;2} \right)$.

Chọn C.

Câu 45 (NB)

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

$\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5$.

Chọn B.

Câu 46 (NB)

Phương pháp:

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường $x = a$, $x = b$, $y = 0$ và $y = f\left( x \right)$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Cách giải:

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx}$.

Chọn C.

Câu 47 (TH)

Phương pháp:

- Tính thời điểm $t$ khi vận tốc đạt 200 m/s.

- Sử dụng công thức $s = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt}$.

Cách giải:

Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200 m/s là: ${t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow t = 10\,\,\left( s \right)$.

Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng từ thời điểm $t = 0\,\,\left( s \right)$ tới thời điểm $t = 10\,\,\left( s \right)$ là:

$s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dx}  = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt}$$= \frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)$

Chọn C.

Câu 48 (VDC)

Phương pháp:

- Sử dụng công thức $\left( {uv} \right)' = u'v + uv'$.

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'\\ = f''\left( x \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right).f'\left( x \right)\\ = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\end{array}$

Do đó: $\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\begin{array}{l}\int {\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'dx}  = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\end{array}$

Thay $x = 0$ ta có: $f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1$.

$\Rightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1$

Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\begin{array}{l}\int {f'\left( x \right)f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + C'\end{array}$

Thay $x = 0$ ta có: $\frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{2} = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{2}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\end{array}$

Vậy ${f^2}\left( 1 \right) = 1 + 4 + 2 + 1 = 8$.

Chọn A.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ là đường kính.

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$.

- Tham số hóa tọa độ điểm A, B. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.$ với $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ lần lượt là VTCP của $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$.

- Viết phương trình mặt cầu.

Cách giải:

Gọi $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;1; - 1} \right)$ lần lượt là 1 VTCP của $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$.

Gọi AB là đoạn vuông góc chung của $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$,  với $A\left( {4 - 2t;t;3} \right) \in {d_1}$, $B\left( {1;t'; - t'} \right) \in {d_2}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3 + 2t;\,\,t' - t;\,\, - t' - 3} \right)$.

Vì AB là đoạn vuông góc chung của $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot {d_1}\\AB \bot {d_2}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2t - 3} \right).\left( { - 2} \right) + t' - t = 0\\t' - t + t' + 3 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' =  - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {1; - 1;1} \right)$.

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ nhận AB là đường kính.

$\Rightarrow$ Tâm mặt cầu là trung điểm của AB, có tọa độ $I\left( {\frac{3}{2};0;2} \right)$, bán kính $R = IA = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + 1}  = \frac{3}{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}$.

Chọn D.

Câu 50 (VDC)

Phương pháp:

- Giải các phương trình hoành độ giao điểm để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{8} \Leftrightarrow x = 0\\2{x^2} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\frac{{{x^2}}}{8} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {x \ge 0} \right)\end{array}$

Vậy $S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx}$$+ \int\limits_{\frac{3}{2}}^4 {\left( { - x + 6 - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx}$ $= \frac{{185}}{{24}}$

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm

Loigiaihay.com