Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12


Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12

Đề bài

Câu 1: Cho các số phức \({z_1} = 1 + 3i\), \({z_2} =  - 5 - 3i\). Tìm điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \({z_3}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) và môđun của số phức \(w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\) B. \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)

C. \(M\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\)                   D. \(M\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)

Câu 2: Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(A,\,\,B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là:

A. \(x + y + z - 2 = 0\)

B. \(3x - 2y - z - 3 = 0\)

C. \(3x - 2y - z + 3 = 0\)

D. \( - x + y = 0\)

Câu 3: Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là:

A. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(R = 5\)

B. \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)

C. \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = 5\)

D. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \)

Câu 4: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Giả sử \(M,\,\,N\) là các điểm biểu diễn hình học của \({z_1},\,\,{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của \(MN\) là:

A. \(\sqrt 5 \)                         B. \(4\)

C. \(2\sqrt 5 \)                       D. \(5\)

Câu 5: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\). Đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có bán kính là:

A. \(\sqrt 5 \)                         B. \(4\)

C. \(2\sqrt 5 \)                       D. \(5\)

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Hình chiếu của \(M\) trên trục \(Oy\) là:

A. \(Q\left( {0;2;0} \right)\)

B. \(S\left( {0;0;3} \right)\)

C. \(R\left( {1;0;0} \right)\)

D. \(P\left( {1;0;3} \right)\)

Câu 7: Tìm số phức \(z\) biết: \(\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\).

A. \(z =  - 3 - 2i\)

B. \(z = 3 - 2i\)

C. \(z = 3 + 2i\)

D. \(z =  - 3 + 2i\)

Câu 8: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2}\) và \({z_3} = a - i\). Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng:

A. \( - 3\)                               B. \( - 2\)

C. \(3\)                                   D. \( - 4\)

Câu 9: Tính môđun của số phức \(z = 2 + i + {i^{2019}}\).

A. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)

B. \(\left| z \right| = 2\)

C. \(\left| z \right| = 2\sqrt 2 \)

D. \(\left| z \right| = \sqrt {10} \)

Câu 10: Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 9 = 0\). Tính \(\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} \).

A. \(\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 3\)

B. \(\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 4i\)

C. \(\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 9i\)

D. \(\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 0\)

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài
đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. \(\sqrt 3 \)                         B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\sqrt 2 \)                         D. \(\sqrt 6 \)

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow b  = \left( { - 2;4;1} \right)\), \(\overrightarrow c  = \left( { - 1;3;4} \right)\). Véc tơ \(\overrightarrow v  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c \) có toạ độ là:

A. \(\overrightarrow v  = \left( {3;7;23} \right)\)

B. \(\overrightarrow v  = \left( {23;7;3} \right)\)

C. \(\overrightarrow v  = \left( {7;3;23} \right)\)

D. \(\overrightarrow v  = \left( {7;23;3} \right)\)

Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\).

A. \(2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)

B. \(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)

C. \(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)

D. \(\frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (-4;0;0) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 3t\\z =  - 2t\end{array} \right.\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là chân hình chiếu từ lên \(\Delta \). Tính a + b + c.

A. 5                                        B. 7

C. -3                                       D. -1

Câu 15: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm véc tơ chỉ phương?
(với \(t \in \mathbb{R}\)).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z =  - 4 + t\end{array} \right.\)  

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 5t\\z =  - 4 - 3t\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\), \(A\left( {2;2; - 3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)

  C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\)

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng (P)?

A. Q(1;-3;-4)

B. P(1;-2;0)  

C. N(0;1;-2)

D. M(2;-1;1)

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + \sin x\) là:

A. \(F\left( x \right) = {e^x} + \cos x + C\)

B. \(F\left( x \right) = {e^x} - \sin x + C\)

C. \(F\left( x \right) = {e^x} - \cos x + C\)

D. \(F\left( x \right) = {e^x} + \sin x + C\)

Câu 19: Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) theo điều kiện \(\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z  = 22 - 20i\). Tính \(S = a + b\).

A. \(S = 3\)

B. \(S =  - 4\)

C. \(S =  - 6\)

D. \(S = 2\)

Câu 20: Chọn khẳng định đúng?

A. \(\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C\)

B. \(\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C\)

C. \(\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{3^{2x + 1}}}}{{2x + 1}} + C\)

D. \(\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{{{9^x}}}{{\ln 3}} + C\)

Câu 21: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \) và \(F\left( 1 \right) = 1\).

A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{2}\)

B. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x \)

C. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  - \frac{5}{3}\)

D. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  + \frac{1}{3}\)

Câu 22: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\).

A. \(\overline z  = 1 - i\)

B. \(\overline z  = 5 + i\)

C. \(\overline z  = 5 - i\)         D. \(\overline z  = 1 + i\)

Câu 23: Cho số phức \({z_1} = 2 + 3i\), \({z_2} =  - 4 - 5i\). Tính \(z = {z_1} + {z_2}\).

A. \(z = 2 + 2i\)

B. \(z =  - 2 + 2i\)

C. \(z = 2 - 2i\)

D. \(z =  - 2 - 2i\)

Câu 24: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;3;2} \right)\)

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {6;2;3} \right)\)

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {3;6;2} \right)\)

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {2;3;6} \right)\)

Câu 25: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\)

B. \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)\)

C. \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx} \)

D. \(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \)

Câu 26: Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn số phức

A. \(z =  - 1 + 3i\)  

B. \(z =  - 3 + i\)

C. \(z = 1 - 3i\)

D. \(z = 3 - i\)

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow k  - \overrightarrow i \). Tọa độ của điểm A là

A. \(A\left( {3;0; - 1} \right)\)  

B. \(A\left( { - 1;0;3} \right)\)

C. \(A\left( { - 1;3;0} \right)\)

D. \(A\left( {3; - 1;0} \right)\)

Câu 28: Trong không gian Oxyz phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng
(Oyz)?

A. \(x = 0\)

B. \(y + z = 0\)

C. \(x = y + z\)

D. \(y - z = 0\)

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^5} - {x^3}\) và trục hoành:

A. \(S = \frac{{13}}{6}\)

B. \(S = \frac{7}{6}\)

C. \(S = \frac{1}{6}\)

D. \(S = \frac{{17}}{6}\)

Câu 30: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z + 5 = 0\). Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

A. \(M\left( { - 1;0;4} \right)\)

B. \(M\left( {0;0;5} \right)\)

C. \(M\left( { - 5; - 2;2} \right)\)

D. \(M\left( { - 3; - 1;3} \right)\)

Câu 31: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\) là đường thẳng nào?

A. \(4x + 2y - 1 = 0\)

B. \(4x - 2y + 1 = 0\)

C. \(4x - 2y - 1 = 0\)

D. \(4x - 6y - 1 = 0\)

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0\). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)  

B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\)

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)

D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0\) . Tìm m để hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau

A. \(m = 1\)

B. Không tồn tại m

C. \(m =  - 2\)

D. \(m = 2\)

Câu 34: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx}  = \frac{{ - 1}}{m} + n\ln 2\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = m + n\).

A. \(S = 1\)  

B. \(S = 4\)

C. \(S =  - 1\)

D. \(S =  - 5\)

Câu 35: Cho \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 2\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx}  = 1\). Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \).

A. \(2025\)                             B. \(2019\)

C. \(2021\)                            D. \(2027\)

Câu 36: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} \).

A. \(I = e + 1\)  

B. \(I = e + 2\)

C. \(I = e + 3\)

D. \(I = e - 1\)

Câu 37: Phần ảo của số phức \(z = 2 - 3i\) là:

A. \(2\)                                   B. \(3\)

C. \( - 3\)                               D. \( - 3i\)

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

A. \( - 1 + 2i\)  

B. \( - \frac{1}{2} + 2i\)

C. \(2 - i\)

D. \(2 - \frac{1}{2}i\)

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R}\). Hỏi d đi qua điểm nào dưới
đây?

A. \(\left( {3;6;8} \right)\)  

B. \(\left( {1; - 4; - 5} \right)\)

C. \(\left( { - 1;2;3} \right)\)

D. \(\left( {0;6;8} \right)\)

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y - 2z - 9 = 0\) và \(\left( Q \right):\,4x - 2y - 4z - 6 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng

A. \(0\)                                   B. \(2\)

C. \(1\)                                  D. \(3\)

Câu 41: Cho tích phân \(\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx}  = 6\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^2}f\left( {{x^3} + 1} \right)dx} \).

A. \(I = 3\)                              B. \(I = 2\)

C. \(I = 8\)                              D. \(I = 4\)

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và
mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 17 = 0\).

A. \(M\left( {0;0; - 3} \right)\)  

B. \(M\left( {0;0;3} \right)\)

C. \(M\left( {0;0; - 4} \right)\)

D. \(M\left( {0;0;4} \right)\)

Câu 43: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} \) và đặt \(u = {x^2},\,\,dv = \cos xdx\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?

A. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} \)

B. \(I = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^\pi  + 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} \)

 C. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} \)

D. \(I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} \)

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B\left( {0;3;1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. \(\left( {2;4; - 2} \right)\)

B. \(\left( { - 2;2;4} \right)\)

C. \(\left( { - 1;1;2} \right)\)

D. \(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)

Câu 45: Cho số phức \(z = 1 - 2i\). Tính \(\left| z \right|\).

A. \(\left| z \right| = 5\)  

B. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)

C. \(\left| z \right| = 3\)

D. \(\left| z \right| = 2\)

Câu 46: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x = 0\), \(x = 1\), \(y = 0\) và \(y = \sqrt {2x + 1} \). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. \(V = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)  

B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx} \)

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)

D. \(V = \int\limits_0^1 {\sqrt {2x + 1} dx} \)

Câu 47: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\,\,\left( {m/s} \right)\) với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:

A. \(\frac{{4000}}{3}\,\,\left( m \right)\) 

B. \(500\,\,\left( m \right)\)

C. \(\frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)\)

D. \(2000\,\,\left( m \right)\)

Câu 48: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \({f^2}\left( 1 \right)\) bằng:

A. \(8\)                                   B. \(\frac{5}{2}\)

C. \(10\)                                D. \(4\)

Câu 49: Cho đường thẳng \({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = t\\z = 3\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và \({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t'\\z =  - t'\end{array} \right.\,\,\left( {t' \in \mathbb{R}} \right)\). Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là:

A. \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\) 

B. \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{3}{2}\)

 C. \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{3}{2}\)

D. \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\)

Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{8}\), \(y =  - x + 6\). Tính diện tích hình phẳng D nằm bên phải của trục tung

A. \(S = \frac{{1075}}{{192}}\)  

B. \(S = \frac{{135}}{{64}}\)

C. \(S = \frac{{185}}{{24}}\)

D. \(S = \frac{{335}}{{96}}\)

Lời giải chi tiết

1. A

2. B

3. B

4. C

5. A

6. A

7. B

8. A

9. B

10. D

11. C

12. A

13. D

14. D

15. D

16. B

17. A

18. C

19. B

20. A

21. D

22. B

23. D

24. A

25. D

26. D

27. B

28. A

29. C

30. A

31. C

32. C

33. B

34. A

35. D

36. A

37. C

38. B

39. D

40. B

41. B

42. B

43. C

44. C

45. B

46. C

47. C

48. A

49. D

50. C

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

- Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow \) Số phức \({z_3}\).

- Tính \(w\) và tính \(\left| w \right|\).

- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.

Cách giải:

Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow {z_3} = 2a - 1 + ai\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\\w = 3\left( {2a - 1 + ai} \right) - \left( { - 5 - 3i} \right) - 2\left( {1 + 3i} \right)\\w = \left( {6a - 3 + 5 - 2} \right) + \left( {3a + 3 - 6} \right)i\\w = 6a + \left( {3a - 3} \right)i\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} + {{\left( {3a - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{a^2} - 18a + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - \frac{2}{5}a} \right) + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{5} + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{9}{5} + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{{\left( {a - \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{{36}}{5}} \\ \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{{36}}{5}}  = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{5}\end{array}\)

Vậy \({\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\).

Chọn A. 

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

- \(\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\).

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:

\(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0\).

Chọn B. 

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right)\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > d\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 9}  = \sqrt 5 \).

Chọn B. 

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Tìm các điểm \(M,\,\,N\). Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

- Tính độ dài đoạn thẳng

\(MN\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}} \)

Cách giải:

Ta có: \({z^2} - 4z + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 5 i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {2;\sqrt 5 } \right)\) và \(N\left( {2; - \sqrt 5 } \right)\).

Vậy \(MN = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 5  - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)\( = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \)

Chọn C.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

- Xác định tâm và mặt cầu \(\left( S \right)\):

Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)  có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > d\).

- Tính \(d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right)\).

- Áp dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\) với \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}}  = \sqrt {14} \).

Ta có: \(d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\), áp dụng định lí Pytago ta có:

\({R^2} = {r^2} + {d^2}\)\( \Leftrightarrow {r^2} = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \) \( = \sqrt {14 - 9}  = \sqrt 5 \)

Chọn A.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên \(Oy\) là \(M'\left( {0;b;0} \right)\).

Cách giải:

Hình chiếu của \(M\left( {1;2;3} \right)\) trên trục \(Oy\) là: \(Q\left( {0;2;0} \right)\).

Chọn A.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức tìm \(z\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 1 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 5i}}{{1 - i}} = 3 - 2i.\end{array}\)

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

- Tìm các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\).

- Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

Cách giải:

Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i\) và \({z_3} = a - i\) nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a; - 3} \right)\).

Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

\( \Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\)

Chọn A.

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

- Biến đổi \({i^{2019}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\). Sử dụng \({i^2} =  - 1\).

- Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}\)

Chọn B.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

Ta có:

\({z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 9\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3i\\{z_2} =  - 3i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overline {{z_1}}  =  - 3i\\\overline {{z_2}}  = 3i\end{array} \right. \Rightarrow \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 0\).

Chọn D.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

- Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

- Sử dụng công thức: \(d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\).

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\).

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: \(d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \)

Chọn C.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Tìm vectơ \(\overrightarrow v \)  và suy ra tọa độ.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow v  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c \\\overrightarrow v  = 2\left( {1;2;3} \right) - 3\left( { - 2;4;1} \right) + 5\left( { - 1;3;4} \right)\\\overrightarrow v  = \left( {2 + 6 - 5;4 - 12 + 15;6 - 3 + 20} \right)\\\overrightarrow v  = \left( {3;7;23} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  =  - \frac{1}{x} + C\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}dx} \\ = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\end{array}\)

Chọn D.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \(\Delta \) theo tham số t.

- \(MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\) với \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

Cách giải:

Vì H là hình chiếu của M lên \(\Delta \) nên \(H \in \Delta \), gọi \(H\left( {1 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {5 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \). Vì \(MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 1.\left( {5 - t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 2.\left( { - 2t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 5 + t - 6 + 9t + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{14}}\\ \Rightarrow H\left( {\frac{3}{{14}};\frac{5}{{14}};\frac{{ - 22}}{{14}}} \right)\\ \Rightarrow a = \frac{3}{{14}},\,\,b = \frac{5}{{14}},\,\,c =  - \frac{{22}}{{14}}\end{array}\)

Vậy \(a + b + c =  - 1\).

Chọn D.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là VTCP của đường thẳng trên.

Cách giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)\).

Chọn D.

Câu 16 (TH) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có bán kính:

\(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \)

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và đi qua điểm A có bán kính \(R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 3\).

 Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\), bán kính R = 3 có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).

Chọn B.

Câu 17 (NB)

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm phương trình mặt phẳng, điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì thuộc mặt phẳng.

Cách giải:

Ta có: 2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0 nên điểm Q(1;-3;-4) thuộc mặt phẳng (P).

Chọn A.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\), \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {{e^x} + \sin x} \right)dx} \\ = {e^x} - \cos x + C\end{array}\).

Chọn C.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

- Thay vào biểu thức tìm \(a,\,\,b\).

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z  = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) - 7i\left( {a - bi} \right) = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a + 2bi - 3ai + 3b - 7ai - 7b = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a - 4b + \left( {2b - 10a} \right)i = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4b = 22\\2b - 10a =  - 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 1 - 5i\end{array}\)

Vậy \(a + b = 1 + \left( { - 5} \right) =  - 4\).

Chọn B.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

Cách giải:

\(\int {{3^{2x}}dx}  = \int {{9^x}dx} \)\( = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C\)

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Viết \(f\left( x \right) = \sqrt x  = {x^{\frac{1}{2}}}\). Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

- Thay \(x = 1\), tìm C và suy ra \(F\left( x \right)\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\sqrt x dx}  = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}x\sqrt x  + C\\ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}\end{array}\)

Vậy \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  + \frac{1}{3}\).

Chọn D.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Nhân khai triển số phức \(z\).

- Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\\z = 3 + 2i - 3i + 2\\z = 5 - i\\ \Rightarrow \overline z  = 5 + i\end{array}\)

Chọn B.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\), \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) \( \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}z = {z_1} + {z_2}\\z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( { - 4 - 5i} \right)\\z =  - 2 - 2i\end{array}\)

Chọn D.

Câu 24 (NB)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) đều là VTPT của mặt phẳng trên.

Cách giải:

Ta có: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\), mặt phẳng có 1 VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;3;2} \right)\).

Chọn A.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của tích phân:

\(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\) 

\(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)\)

\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx} \)

Cách giải:

Dễ thấy mệnh đề \(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \) sai.

Chọn D.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

Cách giải:

Trong mặt phẳng (Oxy), điểm \(M\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn số phức \(z = 3 - i\).

Chọn D.

Câu 27 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) thì tọa độ của điểm A là \(A\left( {x;y;z} \right)\).

Cách giải:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow k  - \overrightarrow i \). Tọa độ của điểm A là \(A\left( { - 1;0;3} \right)\).

Chọn B.

Câu 28 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là \(x = 0\).

Cách giải:

Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là \(x = 0\).

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^5} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\) .

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx}  + \int\limits_0^1 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right|\\ = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\end{array}\)

Chọn C.

Câu 30 (TH)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in d\) theo ẩn \(t\).

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(t\).

Cách giải:

Vì \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M \in d,\,\,M \in \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 1 + t;3 + t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow  - 3 + 2t + 2\left( { - 1 + t} \right) - \left( {3 + t} \right) + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)

Vậy \(M\left( { - 1;0;4} \right)\).

Chọn A.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

- Thay vào biểu thức đề bài cho và suy ra biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\).

Cách giải:

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x - yi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 \\= {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\) là đường thẳng \(4x - 2y - 1 = 0\).

Chọn C.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

- Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính \(R = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\).

- Khoảng cách từ \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính \(R = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( {2;1;1} \right)\), bán kính R = 2 có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).

Chọn C.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) và \(\left( \beta  \right):\,\,A'x + B'y + C'z + D' = 0\) song song khi và chỉ khi \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\).

Cách giải:

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0\) song song với nhau khi và chỉ khi

\(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu, sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

- Đồng nhất hệ số tìm m, n và tính S.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ =  - \frac{1}{2} - \ln 2\\ \Rightarrow m = 2,\,\,n =  - 1.\end{array}\)

Vậy \(S = m + n = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.\)

Chọn A.

Câu 35 (TH) 

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân:

+) \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

+) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với \(k \ne 0\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \\I = 4\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  + 2019\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \\I = 4.2 + 2019.1\\I = 2027\end{array}\)

Chọn D.

Câu 36 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\), \(\int {dx}  = x + C\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx}  = \left. {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\, = {e^1} + 2 - {e^0} - 0 = e + 1.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 37 (NB)

Phương pháp:

Phần ảo của số phức \(z = a + bi\) là \(b\).

Cách giải:

Phần ảo của số phức \(z = 2 - 3i\) là \( - 3\).

Chọn C.

Câu 38 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm I của AB: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).

- Số phức được biểu diễn bởi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) là \(z = a + bi\).

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\).

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức \( - \frac{1}{2} + 2i\).

Chọn B.

Câu 39 (NB)

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) vào phương trình đường thẳng ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1\).

Vậy điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) thuộc đường thẳng d.

Chọn D.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

- Nhận xét (P) // (Q).

- \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)\) với \(M \in \left( P \right)\) bất kì.

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Vì \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 6}}\) nên \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

Xét \(\left( P \right)\), cho \(x = z = 0 \Rightarrow y =  - 9\)\( \Rightarrow M\left( {0; - 9;0} \right) \in \left( P \right)\)

Vậy  \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| { - 2.\left( { - 9} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\)

Chọn B.

Câu 41 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = {x^3} + 1\).

Cách giải:

Đặt \(t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx\)\( \Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 9\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{1}{3}.6 = 2\).

Chọn B.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Gọi \(M\left( {0;0;m} \right) \in Oz\).

- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\).

- Sử dụng các công thức

\(MA\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_M}} \right)}^2}} \)

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là 

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Gọi \(M\left( {0;0;m} \right) \in Oz\).

Ta có: \(MA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} \) .

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\)

M cách đều điểm A và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13}  = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 14\left( {{m^2} - 8m + 16 + 13} \right) = {m^2} - 34m + 289\\ \Leftrightarrow 13{m^2} - 78m + 117 = 0\\ \Leftrightarrow 13\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 13{\left( {m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 3.\end{array}\)

Vậy \(M\left( {0;0;3} \right)\).

Chọn B.

Câu 43 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

\(I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} \).

Chọn C.

Câu 44 (NB)

Phương pháp:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

Cách giải:

Cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B\left( {0;3;1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \(\left( { - 1;1;2} \right)\).

Chọn C.

Câu 45 (NB)

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

\(\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \).

Chọn B.

Câu 46 (NB)

Phương pháp:

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x = a\), \(x = b\), \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} \).

Chọn C.

Câu 47 (TH)

Phương pháp:

- Tính thời điểm \(t\) khi vận tốc đạt 200 m/s.

- Sử dụng công thức \(s = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \).

Cách giải:

Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200 m/s là: \({t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow t = 10\,\,\left( s \right)\).

Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng từ thời điểm \(t = 0\,\,\left( s \right)\) tới thời điểm \(t = 10\,\,\left( s \right)\) là:

\(s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dx}  = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} \)\( = \frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)\)

Chọn C.

Câu 48 (VDC)

Phương pháp:

- Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'\\ = f''\left( x \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right).f'\left( x \right)\\ = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\end{array}\)

Do đó: \(\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'dx}  = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {f'\left( x \right)f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + C'\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(\frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{2} = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\end{array}\)

Vậy \({f^2}\left( 1 \right) = 1 + 4 + 2 + 1 = 8\).

Chọn A.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là đường kính.

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).

- Tham số hóa tọa độ điểm A, B. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\) với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là VTCP của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).

- Viết phương trình mặt cầu.

Cách giải:

Gọi \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;1; - 1} \right)\) lần lượt là 1 VTCP của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi AB là đoạn vuông góc chung của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\),  với \(A\left( {4 - 2t;t;3} \right) \in {d_1}\), \(B\left( {1;t'; - t'} \right) \in {d_2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3 + 2t;\,\,t' - t;\,\, - t' - 3} \right)\).

Vì AB là đoạn vuông góc chung của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot {d_1}\\AB \bot {d_2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2t - 3} \right).\left( { - 2} \right) + t' - t = 0\\t' - t + t' + 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {1; - 1;1} \right)\).

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) nhận AB là đường kính.

\( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu là trung điểm của AB, có tọa độ \(I\left( {\frac{3}{2};0;2} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + 1}  = \frac{3}{2}\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}\).

Chọn D.

Câu 50 (VDC)

Phương pháp:

- Giải các phương trình hoành độ giao điểm để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{8} \Leftrightarrow x = 0\\2{x^2} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\frac{{{x^2}}}{8} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {x \ge 0} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} \)\( + \int\limits_{\frac{3}{2}}^4 {\left( { - x + 6 - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} \) \( = \frac{{185}}{{24}}\)

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài