Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12


Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:

A. \(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\)

B. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

C. \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

D. \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Câu 2: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) là:

A. \( - 1 + 2i.\)                B. \(1 - 2i.\)

C. \( - 1 - 2i.\)                 D. \(1 + 2i.\)

Câu 3: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,\) \(x = \pi ,\) \(y = 0\) và \(y =  - \cos x\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. \(V = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} \)

B. \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \)

C. \(V = \pi \left| {\int\limits_0^\pi  {\left( { - \cos x} \right)dx} } \right|\)

D. \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} \)

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến là

A. \( - 2x + 5y + 2z - 28 = 0\)

B. \(x - 4y - 3z + 28 = 0\)

C. \(x - 4y - 3z - 28 = 0\)

D. \( - 2x + 5y + 2z + 28 = 0\)

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) là:

A. \(3{x^3} - 2{x^2} + 3x + C.\)

B. \({x^3} - {x^2} + C.\)

C. \({x^3} - {x^2} + 3x + C.\)

D. \(6x - 2 + C.\)

Câu 6: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:

A. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\)

B. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

C. \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .} \right|\)

D. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx - \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} .} .\)

Câu 7: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;9} \right]\), thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7} \) và \(\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính giá trị biểu thức \(P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \)

A. \(P = 4\).                    B. \(P = 3\).

C. \(P = 10\).                  D. \(P = 2\).

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

A. \(A'\left( {2;0;5} \right)\)

B. \(A'\left( {0;3;5} \right)\)

C. \(A'\left( {0;3;0} \right)\)

D. \(A'\left( {2;0;0} \right)\)

Câu 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).\)

A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

B. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\)

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}.\)

D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\)

Câu 10: Gọi \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\), trong đó \({z_1}\) có phần ảo dương. Số phức \(2{z_1} + 4{z_2}\) bằng

A. \(1 - 15i.\)                  B. \( - 15 + i\)

C. \( - 15 - i\)                  D. \( - 1 - 15i\)

Câu 11: Số phức \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\) có phần thực là

A. 3.                               B. 1.

C. \( - 3\).                       D. \( - 1.\)

Câu 12: Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) là:

A. \(\overrightarrow n  = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)

B. \(\overrightarrow n  = \left( { - \frac{1}{5}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)

C. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right)\)

D. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2; - 10;20} \right)\)

Câu 13: Phần thực của số phức \(\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\) là:

A. 4.                               B. 5.

C. 3.                               D. 0.

Câu 14: Cho các số phức \({z_1} = 3 + 4i,\) \({z_2} = 5 - 2i\). Tìm số phức liên hơp \(\overline z \) của số phức \(z = 2{z_1} + 3{z_2}\).

A. \(\overline z  = 8 - 2i.\)

B. \(\overline z  = 21 - 2i.\)

C. \(\overline z  = 21 + 2i.\)

D. \(\overline z  = 8 + 2i.\)

Câu 15: Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \) cho điểm

\(M\left( {3; - 4;12} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow {OM}  =  - 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \) 

B. \(\overrightarrow {OM}  =  - 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  - 12\overrightarrow k \)

C. \(\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

D. \(\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Câu 16: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;1;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(x + y + 3z + 5 = 0\) có phương trình là

A. \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\)

B. \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)

C. \(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)

D. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\)

Câu 17: \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} \) bằng

A. \(\frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

B. \( - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

C. \({e^{ - 2x + 1}} + C.\)

D. \( - 2{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

Câu 18: Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1\).

A. \(\left| z \right| = 17.\)

B. \(\left| z \right| = \sqrt {15} .\)

C. \(\left| z \right| = 3.\)

D. \(\left| z \right| = \sqrt {17} .\)

Câu 19: Cho \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\), biết \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức \({\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2\).

A. 3.                               B. \( - 12.\)

C. \( - 3.\)                       D. \(12.\)

Câu 20: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} \). Nếu đặt \(t = \ln x\) thì:

A. \(I = \int\limits_1^e {\left( {2t + 3} \right)dt} .\)

B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t} \right)dt} .\)

C. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} .\)

D. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2\ln t + 3} \right)dt} .\)

Câu 21: Cho hai hàm số \(y = g\left( x \right)\) và \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:

A. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( + \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \)

B. \(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

C. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \)

D. \(S = \left| {\int\limits_a^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)

Câu 22: Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = a\ln 2 + b\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Khi đó \({b^2} - 2a\) bằng

A. 33.                             B. 26.

C. 17.                             D. 6.

Câu 23: Cho hai số phức \({z_1} =  - 1 + 2i;\) \({z_2} = 1 + 2i\). Tinh \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\)

A. \(T = 2\sqrt 5 \)          B. \(T = 4\)

C. \(T = 10\)                   D. \(T = 7\)

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 12z + 5 = 0\) và điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) lấy điểm M. Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM} \). Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).

A. \(d = 9.\)                    B. \(d = \frac{{30}}{{13}}.\)

C. \(d = 6.\)                    D. \(d = \frac{{66}}{{13}}.\)

Câu 25: Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\), phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 156.\)                B. \(T = 62.\)

C. \(T = 159.\)                D. \(T = 167.\)

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0\) theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {3;4; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x + 6y - 3z + 4 = 0\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là:

A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\)

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\)

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 49\)

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\)

Câu 28: Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chứa trục Ox. Tính \(k = \frac{b}{c}.\)

A. \(k =  - 5.\)                 B. \(k = \frac{1}{5}\)

C. \(k = 5.\)                    D. \(k =  - \frac{1}{5}\)

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).

A. \(S = \frac{{81}}{{12}}\)                              B. \(S = 13\)

C. \(S = \frac{9}{4}\)      D. \(S = \frac{{37}}{{12}}\)

Câu 30: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x =  - 1,\) \(x = 5\) bằng:

A. \(\frac{{49}}{3}\)       B. 18

C. \(\frac{{65}}{3}\)       D. 36

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right),\) \(B\left( {1;1;2} \right),\) \(C\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng \(\frac{1}{{27}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

A. \( - y + z - 4 = 0\)

B. \(y - z - 1 = 0\)

C. \(y + z - 4 = 0\)

D. \(3x - 3z - 4 = 0\)

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\)

A. \(k = \frac{{66}}{{49}}\)                              B. \(k = \frac{{36}}{{29}}\)

C. \(k = \frac{{74}}{{49}}\)                              D. \(k = \frac{{12}}{7}\)

Câu 33: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) được biểu diễn bởi \(\frac{{{e^a} - b}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + 3b - c.\)

A. \(P = 5.\)                    B. \(P =  - 1\)

C. \(P = 6\)                     D. \(P = 3\)

Câu 34: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\frac{\pi }{4}.\)

A. \(F\left( x \right) = \tan x - 1\)

B. \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1\)

C. \(F\left( x \right) = \tan x + x + \frac{\pi }{4} - 1\)

D. \(F\left( x \right) = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4\)

Câu 35: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\)

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\)

B. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)

Câu 36: Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

A. \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\)

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)

D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Câu 37: Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0;3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\)

A. \(S = 2\sqrt {61} \)     B. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{2}\)

C. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{3}\)                      D. \(S = \sqrt {61} \)

Câu 38: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox.

A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)

B. \(V = \frac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)

C. \(V = \frac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)

D. \(V = \frac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)

Câu 39: Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\) là:

A. \(\overline z  =  - 2 - 10i\)

B. \(\overline z  =  - 1 + 5i\)

C. \(\overline z  =  - 2 + 10i\)

D. \(\overline z  =  - 1 - 5i\)

Câu 40: Tính tích phân \(I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .\)

A. \(I = 19\)                    B. \(I = 38\)

C. \(I = \frac{{670}}{3}\) D. \(I = \frac{{38}}{3}\)

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\) và \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

A. \(OM = \sqrt {35} \)   B. \(OM = 2\sqrt {35} \)

C. \(OM = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\)                  D. \(OM = \sqrt 5 \)

Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y =  - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^{2x}}dx} \)

B. \(S = \int\limits_0^4 {\left( { - {3^x}} \right)dx} \)

C. \(S = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)

D. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)

Câu 43: Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \). Biết \(z = a + bi\) với\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\), tính \(m = 2{a^2} - 3b.\)

A. \(m = 14.\)                 B. \(m =  - 18.\)

C. \(m =  - 10.\)              D. \(m = 54.\)

Câu 44: Cho phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) (với phân số \(\frac{c}{d}\) tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tính \(P = c + 2d.\)

A. \(P =  - 14\)                B. \(P = 22\)

C. \(P = 18\)                   D. \(P =  - 10\)

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - 6y - 4z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right);\) \(B\left( {1;4; - 1} \right);\) \(C\left( {2;4;3} \right)\). Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(SA = SB = SC\). Tính \(l = SA + SB\).

A. \(l = \sqrt {53} \)

B. \(l = \sqrt {37} \)

C. \(l = \sqrt {117} \)

D. \(l = \sqrt {101} \)

Câu 46: Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx}  = \frac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 27.\)                  B. \(T = 35.\)

C. \(T = 23.\)                  D. \(T = 11.\)

Câu 47: Trên tập số phức, phương trình \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\) có một nghiệm là

A. \(z = 3 - {2019^{2020}}i\)

B. \(z = 3 - {2019^{1010}}i\)

C. \(z = 3 + {2019^{1010}}i\)

D. \(z = 3 + {2019^{2020}}i\)

Câu 48: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\)

A. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 9\)

B. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 9\)

C. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 3\)

D. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 3\)

Câu 49: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \(\frac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)\) với ab là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = a - {b^2}.\)

A. \(T = 2.\)                    B. \(T =  - 12.\)

C. \(T =  - 1.\)                 D. \(T =  - 9.\)

Câu 50: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{a - be}}{a}} \) với a là số nguyên tố. Tính \(S = 2{a^2} + b.\)

A. \(S = 19.\)                  B. \(S = 241.\)

C. \(S = 99.\)         D. \(S = 9.\)

Lời giải chi tiết

 

1. B

2. D

3. D

4. D

5. C

6.B

7. C

8. C

9. A

10. C

11. A

12. C

13. A

14. B

15. D

16. B

17. B

18. D

19. B

20. C

21. C

22. C

23. C

24. C

25. A

26. B

27. B

28. A

29. D

30. D

31. B

32. D

33. A

34. B

35. A

36. B

37. D

38. B

39.D

40. D

41. D

42. C

43. C

44. B

45. A

46. D

47. B

48. D

49. A

50. A

 

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Chon B.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Tìm hai nghiệm phức của phương trình, sử dụng MTCT.

Cách giải:

Phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là \(z = 1 + 2i.\)

Chọn D.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( { - \cos x} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} .\)

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là  \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\)

Chọn D.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \).

\( \Rightarrow \int {f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 3x + C} .\)

Chọn C.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,\) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_9^4 {f\left( x \right)dx} \\ + \int\limits_5^4 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_4^9 {f\left( x \right)dx} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \\P = 7 - 3 = 4.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;y;0} \right)\).

Cách giải:

Hình chiếu của điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\) lên trục Oy là điểm \(A'\left( {0;3;0} \right).\)

Chọn C.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

Chọn A.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi suy ra \({z_1};\,\,{z_2}\).

- Xác định đúng \({z_1},\,\,{z_2}\) dựa vào giả thiết, sau đó tính \(2{z_1} + 4{z_2}\).

Cách giải:

Ta có \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\\z =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1}\) có phần ảo dương nên \({z_1} =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i;\,\,{z_2} =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.\)

Vậy \(2{z_1} + 4{z_2} =  - 15 - i.\)

Chọn C.\(\)

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT sau đó suy ra phần thực.

Cách giải:

\(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\)

Vậy phần thực của z bằng 3.

Chọn A.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0\)

Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right).\)

Chọn C.

Câu 13 (NB)

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT và suy ra phần thực của nó.

Cách giải:

Ta có \(z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 4 + 3i.\)

Vậy phần thực của số phức z là 4.

Chọn A.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 5 - 2i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow z = 2{z_1} + 3{z_2}\) \( = 2\left( {3 + 4i} \right) + 3\left( {5 - 2i} \right)\) \( = 21 + 2i\)

\( \Rightarrow \overline z  = 21 - 2i.\)

Chọn B.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \).

Cách giải:

Ta có \(M\left( {3; - 4;12} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Chọn D.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

- Đường thẳng d vuông có với mp(P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \) với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P).

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z + 5 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).\)

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).\)

Mà đường thẳng d đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) nên phương trình đường thẳng d là \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.\)

Chọn B.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\)

Cách giải:

Ta có \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx =  - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \)

Chọn B.

Câu 18 (TH) Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1 =  - 1 + 4i.\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} .\)

Chọn D.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho.

- Sử dụng dữ kiện để tìm \({z_1};\,\,{z_2}\) rồi tính số phức w.

Cách giải:

Ta có \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 =  - 3 - 12i\).

Vậy phần ảo của số phức w là \( - 12.\)

Chọn B.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ \(t = \ln x\), biểu diễn tất cả theo \(t\) và \(dt\).

- Đổi cận.

- Từ đó suy ra I biểu diễn theo t.

Cách giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} \)

Chọn C.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

- Dựa vào đồ thị hàm số để phá trị tuyệt đối.

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có diện tích\(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]:\) \(f\left( x \right) > g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\), do đó \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) - g\left( x \right),\)\(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)

+ Trên đoạn \(\left[ {b;c} \right]:\) \(f\left( x \right) < g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\), do đó \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| =  - \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right],\)\(\forall x \in \left[ {b;c} \right]\)

Vậy \(S = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\)

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.\)

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}}dx} \\I = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{5}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2x - 5\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\I = 6 - 5\ln 4 - 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln {2^2} + 5\ln 2\\I = 4 - 10\ln 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln 2\end{array}\)

Khi đó \(a = 4;\,\,b =  - 5\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \({b^2} - 2a = {\left( { - 5} \right)^2} - 2.4 = 17.\)

Chọn C.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.\)

Chọn C.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

- Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P).

- Sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

- Tính khoảng cách từ A đến (P): Khoảng cách từ \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Vì \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM}  \Rightarrow A;\,\,B\) nằm hai phía của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{1}{2}\).

Mà \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\).

Vậy \(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 6.\)

Chọn C.

Câu 25 (VD) 

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ t = tanx.

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng T = a + b + c.

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx} \)

Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) \( = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\) \( = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\)

\( \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \tan u\)\( \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \frac{\pi }{4}\).

\( \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}\)\( \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4\)

Vậy \(T = a + b + c\)\( = 47 + 105 + 4 = 156\)

Chọn A.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

- Tính \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\). Khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng  là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Sử dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\) với R là bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến.

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4.

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 2.1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\)

Gọi R là bán kính mặt cầu (S), áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).

Chọn B.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

+) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

+) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

+) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) \( = \frac{{\left| {2.3 + 6.4 - 3\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{49}}{7} = 7\)

+) Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\)

Chọn B.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P).

- \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P) nên \(\overrightarrow n \) cùng phương với vectơ \(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\).

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P).

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c =  - 1\).

Vậy \(k = \frac{b}{c} = \frac{5}{{ - 1}} =  - 5\).

Chọn A.

Câu 29 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\) là

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x =  - 1,\) \(x = 5\) là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right|\\ = 9 + 27 = 36.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB,AC,AD lần lượt tại B’,C’,D’.

- Áp dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó ta có: \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\).

- Tính tỉ số, từ đó xác định tọa độ điểm B’.

- Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD) và đi qua điểm B’.

Cách giải:

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB, AC, AD lần lượt tại B’, C’, D’.

Đặt \(\frac{{AB'}}{{AB}} = k\). Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{AD'}}{{AD}} = k\).

Khi đó ta có  \(\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow {k^3} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \frac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \frac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \frac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow B'\left( {\frac{1}{3};1;0} \right)\end{array}\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) \( = \left( {0;2; - 2} \right)\parallel \left( {0;1; - 1} \right)\)

Vì \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( {BCD} \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {0;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(0.\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) - 1.z = 0\) \( \Leftrightarrow y - z - 1 = 0\).

Chọn B.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng tính chất của trực tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

- Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\), giải hệ phương trình tìm \(H\).

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\)

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\).

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH}  = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\).

Vậy \(k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.\)

Chọn D.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C.\)

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính P.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Sử dụng các công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) là

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx} \)\( = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^4} - 1}}{2}\)

Khi dó \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\)

Vậy \(P = a + 3b - c\) \( = 4 + 3.1 - 2 = 5.\)

Chọn A.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

- Sử dụng biến đổi lượng giác: \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\).

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}  = \tan x + C\).

- Sử dụng giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm C.

Cách giải:

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.\)

Chọn B.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) , suy ra \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;4;4} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{1}\).

Ta thấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta \) , do đó phương trình \(\Delta \) cũng có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Chọn A.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Hai đường thẳng song song thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia.

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Do đó đường thẳng d’ song song với d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {u'} \left( {1; - 2;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ đi qua M(2;1;-1) và song song với d có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Dễ thấy điểm \(A\left( {0;5; - 3} \right) \in d'\), do đó phương trình đường thẳng d’ có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Chọn B.

Câu 37 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;4} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)\).

Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)\( = \frac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}}  = \sqrt {61} \)

Chọn D.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi \(\left( H \right)\) là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thanh khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Ox được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)

Xét \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \)

\( \Rightarrow V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {x{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx}  \approx 1,775\).

Chọn B.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

Ta có \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}} =  - 1 + 5i\)\( \Rightarrow \overline z  =  - 1 - 5i\)

Chọn D.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\sqrt {ax + b} dx} \)\( = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b}  + C\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} \\ = \frac{2}{3}\left. {\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} } \right|_2^7 = \frac{{38}}{3}.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho.

- Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó.

Cách giải:

Gọi \(A \in {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)\)

\(B \in {d_2}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 - 2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy trung điểm M của AB là \(M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\)

Chọn D.

Câu 42 (TH)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\) có diện tích là:

\(S = \int\limits_0^4 {\left| { - {3^x}} \right|dx}  = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)

Chọn C.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

- Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.

- Khi đó: \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }}\).

Cách giải:

Vì  \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \) nên tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm \(I\left( {2;8} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {17} .\)

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó ta có \(\left| z \right| = OM\).

Do đó \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Rightarrow M\) là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C).

Ta có đường thẳng OI có dạng \(y = 4x\)

M là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {4x - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\17{\left( {x - 2} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,\,\,y = 12\\x = 1,\,\,y = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;12} \right)\\M\left( {1;4} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với M(3;12) thì \(OM = \sqrt {{3^2} + {{12}^2}}  = 3\sqrt {17} \).

Với M(1;4) thì \(OM = \sqrt {{1^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Vậy \(O{M_{\min }} = \sqrt {17}  \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 4\) \( \Rightarrow m = 2{a^2} - 3b =  - 10.\)

Chọn C.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng định lý viet.

- Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Cách giải:

Phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{d}\end{array} \right.\)

Ta có \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2\)

Đặt \(A\left( {2;b} \right);B\left( {2; - b} \right)\)

Vì tam giác OAB đều nên \(OA = AB\)

\( \Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{4}{3}\)

Mà \(\frac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{{16}}{3}\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = c + 2d = 22\)

Chọn B.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Gọi \(S\left( {a;b;c} \right)\).

- Lập 3 phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình tìm a, b, c.

- Tính \(SA\), sau đó tính l.

Cách giải:

Gọi \(S\left( {a;b;c} \right).\)

Vì \(S \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow 2a - 6b - 4c + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo bài ra ta có:

Thay vào (1) ta có: \(2.\frac{3}{2} - 6b - 4.1 + 7 = 0\)\( \Leftrightarrow b = 1.\)

Khi đó ta có: \(S\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)\)\( \Rightarrow SA = \sqrt {\frac{1}{4} + 9 + 4}  = \frac{{\sqrt {53} }}{2}\)

Vậy \(l = SA + SB = 2SA = \sqrt {53} .\)

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = {x^2} + 1\), sau đó sử dụng phương pháp từng phân.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T.

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \)

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\frac{1}{t}dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \left( {17 - 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c =  - 8\).

Vậy \(T = a + b + c\) \( = 17 + 2 + \left( { - 8} \right) = 11.\)

Chọn D.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Cách giải:

Ta có \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.\)

Đặt \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

Mà \({z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}}\) \( \Rightarrow b =  \pm {2019^{1010}}\)

Vậy \(z = 3 \pm {2019^{1010}}i.\)

Chọn B.    

Câu 48 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\) có tâm là \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 + 3}  = 3.\)

Chọn D.

Câu 49 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\ln x = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)

Khi đó ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)

Đặt

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{x}\ln xdx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\end{array}\)

Đặt \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{3}\left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} } \right]\\ = \frac{2}{3}\left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\end{array}\)

Khi đó

\(V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \frac{2}{9}{x^3}\ln x + \frac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right]\)

\( = \frac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\end{array}\)

Chọn A.

Câu 50 (VDC)

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 4} \right){e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)'.{e^x}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right)} 'dx\\ = \left. {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right|_0^1 = \frac{{ - e}}{3} + 1 = \frac{{3 - e}}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = 2{a^2} + b = 19.\end{array}\)

Chọn A.

Nguồn: Sưu tầm

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.4 trên 8 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài