Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12


Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12

Đề bài

Câu 1: Cho số phức \(z = 5 - 2i\). Phần ảo của số phức z bằng:

A. 3.                               B. 4.

C. 11.                             D. \( - 2\).

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. \(\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)

B. \(\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)

C. \( - \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)

D. \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)

Câu 3: \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \) bằng

A. \( - \cot x + C.\)

B. \(\cot x + C.\)

C. \( - \frac{1}{{\sin x}} + C.\)

D. \(\tan x + C.\)

Câu 4: \(\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1 + \frac{1}{x}} \right)dx} \) bằng

A. \(4 - \ln 2.\)                B. \(4\ln 2.\)

C. \(4 + \ln 2.\)               D. 4.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm là \(I\left( {2; - 2;1} \right)\) và đi qua gốc tọa độ O thì có bán kính bằng

A. 9.                               B. \(\sqrt 3 \)

C. 3.                               D. 1.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right);\,\,B\left( {5; - 4;1} \right)\). Trung điểm đoạn AB có tọa độ là

A. \(\left( {3; - 1; - 1} \right).\)                         B. \(\left( {3; - 1;1} \right).\)

C. \(\left( {2; - 3;2} \right)\)                             D. \(\left( {3;1; - 1} \right)\)

Câu 7: \(\int {{x^\pi }dx} \) bằng

A. \({x^\pi } + C.\)

B. \(\pi {x^{\pi  - 1}} + C.\)

C. \(\frac{{{x^\pi }}}{{\ln \pi }} + C.\)

D. \(\frac{{{x^{\pi  + 1}}}}{{\pi  + 1}} + C.\)

Câu 8: Cho số phức z có điểm biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm \(M\left( {3; - 4} \right)\). Môđun của z bằng

A. 25.                             B. 5.

C. 1.                               D. \(\sqrt 5 \)

Câu 9: Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 3t\\z = 3\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là

A. \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {1;3;3} \right).\)                      B. \(\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {2; - 1;0} \right).\)

C. \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3;0} \right).\)                      D. \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Câu 10: Cho số phức \(z = 3 + 2i\). Giá trị của \(z.\overline z \) bằng

A. 5.                               B. 9.

C. 13.                             D. \(\sqrt {13} \).

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( { - 1;4; - 2} \right)\). Giá trị của biểu thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng

A. \( - 16.\)                     B. \( - 4.\)

C. 4.                               D. 16.

Câu 12: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;2; - 4} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( {0;2; - 4} \right).\)                            B. \(\left( {0;0; - 4} \right).\)

C. \(\left( {3;0; - 4} \right).\)                            D. \(\left( {3;2;0} \right).\)

Câu 13: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox

A. \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)

B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)

C. \(\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)

D. \(\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)

Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {e^{2x}}\) là

A. \(2{e^{2x}} + C.\)

B. \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + C.\)

C. \({e^{2x}} + C.\)

D. \(4{e^{2x - 1}} + C.\)

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {1; - 2;5} \right)\). Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng

A. \(\sqrt 5 .\)                 B. 5.

C. 1.                               D. 2.

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 3}}\) là

A. \(\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\)

B. \(2\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\)

C. \(\frac{1}{3}\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\)

D. \(\ln \left| {2x - 3} \right| + C.\)

Câu 17: \(\int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} \) bằng

A. 2.                               B. \(\frac{3}{2}.\)

C. \( - \frac{3}{2}.\)        D. \(\frac{1}{2}.\)

Câu 18: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y + z - 4 = 0\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(N\left( {0;2;0} \right)\)

B. \(M\left( {1;0;0} \right)\)

C. \(P\left( {0;0; - 4} \right)\)

D. \(Q\left( {1; - 1;1} \right)\)

Câu 19: Gọi các số phức \({z_1};\,\,{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \(3{z^2} - 2z + 12 = 0\). Giá trị biểu thức \(M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right|\) bằng

A. 2.                               B. \( - 4.\)

C. \( - 2.\)                       D. \( - 12.\)

Câu 20: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;1; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:

A. \(\frac{1}{3}.\)           B. 2.

C. 3.                               D. 1.

Câu 21: Cho biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx}  = a\pi  + b\), với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(a + b\) bằng

A. \( - 4.\)                       B. 6.

C. 1.                               D. 3.

Câu 22: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 17\) cắt trục Oz tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn AB bằng

A. \(4\sqrt {13} \)           B. \(2\sqrt {17} \)

C. \(2\sqrt 3 \)                D. \(\sqrt {17} \)

Câu 23: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có bán kính bằng

A. 11.                             B. \(\sqrt 3 \)

C. 25.                             D. 5.

Câu 24: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx =  - 3} \). Giá trị biểu thức \(f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right)\) bằng

A. \( - 2.\)                       B. 1.

C. 3.                               D. \( - 3.\)

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x.\cos 2x\) là

A. \( - \frac{1}{3}{\rm{cos}}3x + \cos x + C.\)

B. \(\frac{1}{3}{\rm{cos}}3x + \cos x + C.\)

C. \(\frac{1}{3}{\rm{cos}}3x - \cos x + C.\)

D. \( - {\rm{cos}}3x + \cos x + C.\)

Câu 26: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 3} ,\) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx =  - 5} \). Giá trị \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. 8.                               B. \( - 15\).

C. \( - 8\).                       D. \( - 2.\)

Câu 27: Cho số phức \(z = 2 - i + \frac{{ - 1 + i}}{{1 - 3i}}\). Giá trị của \(\left| z \right|\) bằng

A. \(\sqrt 2 \)                  B. \(2\sqrt 3 \)

C. 2                                D. \(\sqrt {10} \)

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho các vecto \(\overrightarrow a  = \left( {5;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {m; - 1;m + 3} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \) là góc tù?

A. 2.                               B. 3.

C. 1.                               D. 5.

Câu 29: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) =  - 3\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \( - 4.\)                       B. \( - 3.\)

C. \( - 2.\)                       D. 4.

Câu 30: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):3x + y - 4z - 12 = 0\) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Chu vi tam giác OAB bằng:

A. 6.                               B. 12.

C. 36.                             D. 5.

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y =  - 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\), giao điểm của d với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là:

A. \(\left( {4; - 3;0} \right)\).

B. \(\left( {2; - 2;0} \right)\)

C. \(\left( {0; - 1; - 1} \right)\)

D. \(\left( { - 2;0; - 2} \right)\)

Câu 32: Cho hai số phức \(z = 3 - 4i\) và \(z' = \left( {2 + m} \right) + mi\,\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\). Tổng tất cả các giá trị của m bằng

A. \( - 1.\)                       B. \(\frac{{\sqrt {46} }}{2}.\)

C. 0.                               D. \( - 2.\)

Câu 33: Hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5\) là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. \(y =  - {e^{ - x}} + \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 1.\)

B. \(y = {e^{ - x}} + {x^2} - 5x.\)

C. \(y =  - {e^{ - x}} + 2.\)

D. \(y =  - {e^{ - x}} + {x^2} - 5x + 3.\)

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 13 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thì giá trị của \(a + b + c\) bằng:

A. 5.                               B. 2.

C. \( - 11.\)                     D. 1.

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0; - 4} \right)\). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

A. \(116\pi .\)                  B. \(29\pi .\)

C. \(16\pi \)                     D. \(\frac{{29\pi }}{4}\)

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right) \le 4} \)?

A. 6.                               B. 5.

C. 3.                               D. 4.

Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn \(\frac{{\left( { - 1 + i} \right)z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i\). Số phức liên hợp của z là \(\overline z  = a + bi\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}\).  Giá trị của \(a + b\) bằng:

A. \( - 1\).                       B. \( - 12.\)

C. \( - 6\)                        D. 1.

Câu 38: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx = m} \), \(\int\limits_0^b {f\left( x \right)dx = n} \). Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bằng

A. \(m.n\)                       B. \(m - n\)

C. \(m + n\)                    D. \(n - m\)

Câu 39: Cho các số phức \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} =  - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\). Diện tích tam giác ABC bằng:

A. \(2\sqrt {17.} \)          B. 12.

C. \(4\sqrt {13} \)           D. 9.

Câu 40: Cho biết \(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx = \frac{a}{3} + b\sqrt 3 } \) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a\) bằng

A. \( - 1.\)                       B. \(\frac{7}{2}.\)

C. 8.                               D. 6.

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(A\left( {3; - 1;2} \right)\) và đường thẳng  \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:

A. \(3x - 5y - z + 8 = 0\)

B. \(2x + y - 2z - 6 = 0\)

C. \(x + y + z - 4 = 0.\)

D. \(x - 2y + z - 7 = 0\)

Câu 42: Cho biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}dx = a + b\ln \frac{3}{2}} \) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(a - 2b\) bằng

A. 6.                               B. 3.

C. \( - 5.\)                       D. 7.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn \(\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\), giá trị của \(\left| z \right|\) bằng

A. \(\sqrt 5 \)                  B. \(\sqrt {10} \)

C. 1                                D. \(\sqrt 2 \)

Câu 44: Cho biết \(\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} dx = \frac{{a\sqrt 2  - 1}}{b}} \) với \(a,\,\,b\) là các số tự nhiên. Giá trị của \({a^2} - {b^2}\) bằng

A. \( - 5.\)                       B. 5.

C. 2.                               D. 1.

Câu 45: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên tập hợp \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx = 3} \) và \(f\left( { - 3} \right) = 2\). Giá trị của \(\int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - 3\)                        B. 11

C. 6                                D. 9

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),\) \(B\left( {3;2; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 4z - 7 = 0\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại M. Giá trị của biểu thức \(\frac{{MA}}{{MB}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{21}}.\)      B. 1.

C. \(\frac{1}{3}.\)           D. \(\frac{{11}}{4}.\)

Câu 47: Gọi z là một nghiệm của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0\). Giá trị của biểu thức  \(M = {z^{2019}} + {z^{2018}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}} + \frac{1}{{{z^{2018}}}} + 5\) bằng

A. 5.                               B. 2.

C. 7.                               D. \( - 1\)

Câu 48: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\) và \({\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\)?

A. 1.                               B. 0.

C. 2.                               D. 4.

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) và điểm \(M\left( {3;1;2} \right)\). Điểm A di chuyển trên mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA}  =  - 3\) thì A thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. \(x + y + 6z - 2 = 0.\)

B. \(3x + y + 2z - 3 = 0.\)

C. \(5x + y - 2z - 4 = 0.\)

D. \(2x - 4z - 1 = 0\)

Câu 50: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( {3x} \right) = f\left( x \right) - 2x,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5} \). Giá trị \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. 4.                               B. 10.

C. 7.                          D. 12.

Lời giải chi tiết

1. D

2.A

3.A

4.C

5.C

6.A

7.D

8.B

9.C

10.C

11.A

12.D

13.B

14.B

15.A

16.A

17.B

18.D

19.C

20.D

21.C

22.B

23.D

24.C

25.A

26.C

27.C

28.A

29.A

30.B

31.B

32.D

33.C

34.A

35.B

36.A

37.A

38.B

39.D

40.C

41.C

42.D

43.B

44.A

45.A

46.D

47.A

48.C

49.A

50.C

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có phần ảo là b.

Cách giải:

Số phức \(z = 5 - 2i\) có phần ảo là \( - 2\).

Chọn D.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

Cách giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

Chọn A.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác: \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx =  - \cot x + C} \).

Cách giải:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx =  - \cot x + C} \)

Chọn A.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1 + \frac{1}{x}} \right)} dx\\ = \left. {\left( {{x^2} + x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\\ = 4 + 2 + \ln 2 - \left( {1 + 1 + \ln 1} \right)\\ = 4 + \ln 2\end{array}\)

Chọn C.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

- Mặt cầu có tâm là \(I\left( {2; - 2;1} \right)\) và đi qua gốc tọa độ O thì có bán kính bằng \(R = OI\).

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(OI = \sqrt {{{\left( {{x_I} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_O}} \right)}^2}} \).

Cách giải:

Vì mặt cầu tâm I đi qua gốc tọa độ O nên có bán kính \(R = IO = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}}  = 3.\)

Chọn C.

Câu 6 (NB)

Phương pháp: 

Trung điểm đoạn AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

Cách giải:

Gọi I là trung điểm đoạn AB ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\\{z_I} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {3; - 1; - 1} \right).\)

Chọn A.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

\(\int {{x^\pi }dx = \frac{{{x^{\pi  + 1}}}}{{\pi  + 1}} + C} .\)

Chọn D.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

- Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z = a + bi\).

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có \(M\left( {3; - 4} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức z nên \(z = 3 - 4i.\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.\)

Chọn B.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là 1 VTCP của đường thẳng trên.

Cách giải:

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 3t\\z = 3\end{array} \right.\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3;0} \right).\)

Chọn C.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(z.\overline z  = {\left| z \right|^2}\).

Cách giải:

\(z.\overline z  = {\left| z \right|^2} = {3^2} + {2^2} = 13.\)

Chọn C.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right);\) \(\overrightarrow b  = \left( { - 1;4; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).4 + 1.\left( { - 2} \right) =  - 16.\)

Chọn A.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(\left( {x;y;0} \right)\).

Cách giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;2; - 4} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(\left( {3;2;0} \right).\)

Chọn D.

Câu 13 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng\(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox có diện tích là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Mà \(f\left( x \right) \ge 0\) \(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\), do đó \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Chọn B.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng \(\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\)

Cách giải:

\(\int {{e^{2x}}dx = } \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.\)

Chọn B.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) đến trục \(Oz\) là \(d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Cách giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1; - 2;5} \right)\) đến trục \(Oz\) là \(d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \).

Chọn A.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.\)

Cách giải:

\(\int {\frac{1}{{2x - 3}}dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 3} \right|}  + C.\)

Chọn A.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

- Phá dấu của trị tuyệt đối.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(x - 2 < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}.\)

Chọn B.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng.

Cách giải:

Ta thấy \(Q\left( {1; - 1;1} \right) \in \left( \alpha  \right):x - 2y + z - 4 = 0\) vì \(1 - 2.\left( { - 1} \right) + 1 - 4 = 0\).

Chọn D.

Câu 19 (NB)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). Tính \(\left| {{z_1}} \right|,\,\,\left| {{z_2}} \right|\).

- Thay vào tính giá trị biểu thức \(M\).

Cách giải:

Phương trình \(3{z^2} - 2z + 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt {35} }}{3}i\\{z_2} = \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt {35} }}{3}i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\).

Vậy \(M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right| = 2.2 - 3.2 =  - 2.\)

Chọn C.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Khoảng cách từ \(M\left( {3;1; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0\) là \(d = \frac{{\left| {2.3 - 1 + 2\left( { - 2} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1.\)

Chọn D.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính tổng \(a + b\).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {4x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = 2\pi  + \cos \frac{\pi }{2} - \left( {0 + \cos 0} \right)\\ = 2\pi  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 2,\,\,b =  - 1.\)

Vậy \(a + b = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.\)

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Tìm giao điểm của mặt cầu với trục Oz bằng cách cho \(x = y = 0\).

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

\(AB\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

Cách giải:

Cao độ của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 17\) và trục Oz  là nghiệm của phương trình: \({\left( {z + 2} \right)^2} = 17 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \sqrt {17}  - 2\\z =  - \sqrt {17}  - 2\end{array} \right.\).

Suy ra giao điểm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và trục \(Oz\) là: \(A\left( {0;0;\sqrt {17}  - 2} \right)\) và \(B\left( {0;0; - \sqrt {17}  - 2} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2\sqrt {17} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {17} .\)

Chọn B.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + 11}  = \sqrt {25}  = 5.\)

Chọn D.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính phân Newton – Leibniz: \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) =  - 3.\)

Vậy \(f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right) = 3.\)

Chọn C.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx}  =  - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C\).

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right) = 2\sin x\cos 2x \)

\(= \sin 3x + \sin \left( { - x} \right) = \sin 3x - \sin x\).

Khi đó ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\sin 3x - \sin x} \right)dx} \)\( =  - \frac{1}{3}\cos 3x + \cos x + C\).

Chọn A.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,\) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_2^1 {f\left( x \right)dx} \).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^1 {f\left( x \right)dx} \)\( =  - 5 - 3 =  - 8\)

Chọn C.

Câu 27 (TH)

Phương pháp:

- Tính số phức z bằng MTCT.

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Sử dụng MTCT ta có \(z = 2 - i + \frac{{ - 1 + i}}{{1 - 3i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i.\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2}}  = 2.\)

Chọn C.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

- Để góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \) là góc tù thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) > 0\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {5;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {m; - 1;m + 3} \right)\).

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\\ = \frac{{5m - 3 - 2m - 6}}{{\sqrt {38\left( {{m^2} + 1 + {{\left( {m + 3} \right)}^2}} \right)} }}\\ = \frac{{3m - 9}}{{\sqrt {38\left( {{m^2} + 1 + {{\left( {m + 3} \right)}^2}} \right)} }}\end{array}\)

Mà góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) là góc tù nên \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) < 0\).

\( \Rightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3.\)

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton – Leibniz: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) là \(F\left( x \right)\). Khi đó ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Cách giải:

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right)\) \( =  - 3 - 1 =  - 4\)

Chọn A.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm A, B.

- Tính độ dài các cạnh \(OA,\,\,OB,\,\,OC\). Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng

\(AB \)\(= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

- Tính chu vi tam giác OAB bằng \({P_{\Delta OAB}} = A + OB + AB\).

Cách giải:

Cho \(y = z = 0\) ta có \(3x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 4\). Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(A\left( {4;0;0} \right)\).

Cho \(x = y = 0\) ta có \( - 4z - 12 = 0 \Leftrightarrow z =  - 3\). Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt trục \(Oz\) tại \(B\left( {0;0; - 3} \right)\).

Ta có: \(OA = 4,\,\,OB = 3\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5\).

Vậy chu vi tam giác OAB là \(4 + 3 + 5 = 12.\)

Chọn B.

Câu 31 (TH)

Phương pháp:

- Tìm giao điểm của d với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tức \(z = 0\).

- Cho \(z = 0\) tìm \(t\), từ đó tìm được \(x,\,\,y\) và suy ra tọa độ giao điểm.

Cách giải:

Cho \(z = 0\)\( \Rightarrow 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t = 4 - 2.1 = 2\\y =  - 3 + t =  - 3 + 1 =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy giao điểm của d với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(\left( {2; - 2;0} \right)\).

Chọn B.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Lập phương trình bậc hai ẩn \(m\), áp dụng định lí Vi-ét: \({m_1} + {m_2} = \frac{{ - b}}{a}\).

Cách giải:

Ta có \(z = 3 - 4i\)\( \Rightarrow iz = i\left( {3 - 4i} \right) = 4 + 3i.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {m^2} = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 21 = 0\end{array}\)

Áp dụng định lý viet ta có tổng các giá trị của m là \(\frac{{ - 4}}{2} =  - 2.\)

Chọn D.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) =  - {e^{ - x}} + 2\)

Vậy \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5\) là một nguyên hàm của hàm số \( - {e^{ - x}} + 2\).

Chọn C.

Chú ý: Phân biệt với câu hỏi tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5\).

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\) chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Xác định tâm \(A\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AI\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

- Tìm \(I\) là giao điểm của \(AI\) và \(\left( P \right)\).

Cách giải:

Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) có tâm là \(A\left( {1;2; - 1} \right).\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\) chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do đó \(AI\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).

Ta có \({\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Suy ra phương trinh đường thẳng \(AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\).

Vì \(I \in AI\) nên gọi \(I\left( {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right).\)

Mặt khác \(I \in \left( P \right)\), nên ta có: \(1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\)

\( \Rightarrow I\left( {4;5; - 4} \right) \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c =  - 4.\)

Vậy \(a + b + c = 4 + 5 + \left( { - 4} \right) = 5.\)

Chọn A.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\).

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{O^2} = I{B^2}\\I{O^2} = I{C^2}\end{array} \right.\) tìm tọa độ điểm \(I\).

- Tính bán kính mặt cầu \(R = OI\).

- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).

Cách giải:

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\)\( \Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y =  - 1\\z =  - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2}; - 1;2} \right)\). Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(R = IO = \sqrt {\frac{9}{4} + 1 + 4}  = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).

Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{29}}{4} = 29\pi .\)

Chọn B.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

- Giải bất phương trình tìm \(a\) và suy ra các giá trị của \(a\) thỏa mãn.

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx}  = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 3a.\)

Theo bài ra ta có: \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx}  \le 4\)\( \Rightarrow {a^2} - 3a \le 4 \Leftrightarrow  - 1 \le a \le 4.\)

Mà \(a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\)

Vậy có 6 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 37 (VD)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT rồi suy ra \(\overline z \): Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\).

- Xác định các hệ số \(a,\,\,b\) và tính tổng \(a + b\).

Cách giải:

Ta có \(\frac{{\left( { - 1 + i} \right)z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i\)

\( \Rightarrow z = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - 2i} \right) - 2}}{{ - 1 + i}}\) \( =  - \frac{7}{2} - \frac{5}{2}i\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  =  - \frac{7}{2} + \frac{5}{2}i\\ \Rightarrow a =  - \frac{7}{2};\,\,b = \frac{5}{2}\end{array}\)

Vậy \(a + b =  - \frac{7}{2} + \frac{5}{2} =  - 1.\)

Chọn A.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = 0\,\,\left( {a < 0} \right)\), ta có \({S_1} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx}  = m\).

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0,\,\,x = b\,\,\left( {b > 0} \right)\), ta có \({S_2} = \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx}  =  - n\).

Vậy diện tích cần tính là \(S = {S_1} + {S_2} = m - n.\)

Chọn B.

Câu 39 (VD)

Phương pháp:

- Suy ra tọa độ của A,B,C : Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {a;b} \right)\).

- Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,BC\). Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng

\(AB\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

- Sử dụng công thức Herong để tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\).

Cách giải:

Ta có \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} =  - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\) nên \(A\left( {3; - 2} \right);\,\,B\left( {1;4} \right);\,\,C\left( { - 1;1} \right).\)

Khi đó ta có: \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}}  = 2\sqrt {10} \\AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}}  = 5\\BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \end{array} \right..\)

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\) ta có: \(p = \frac{{2\sqrt {10}  + 5 + \sqrt {13} }}{2}.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{\Delta ABC}} \)\(= \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \)

\(= 9.\)

Chọn D.

Câu 40 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {\ln x + 3} \).

- Tính tích phân sau khi đổi biến, đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Cách giải:

Gọi \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {\ln x + 3} \)\( \Rightarrow {t^2} = \ln x + 3\) \( \Rightarrow 2tdt = \frac{{dx}}{x}\) .

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{t^2}dt}  = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 3 }^2 = \frac{{16}}{3} - 2\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow a = 16,\,\,b =  - 2.\)

Vậy \(\frac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a = \frac{1}{{{2^{ - 2}}}} + {\log _2}16\)\( = 4 + 4 = 8\)

Chọn C.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Lấy điểm \(B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\).

- \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)  với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Ta có \(B\left( {0;1;3} \right) \in d\). Mà \(d \subset \left( P \right)\)\( \Rightarrow B\left( {0;1;3} \right) \in \left( P \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;1} \right)\)

Đường thẳng d có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \)  cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\). Do đó \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(x - 3 + y + 1 + z - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\)

Chọn C.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Bậc tử = bậc mẫu => Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.\)

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính \(a - 2b\).

Cách giải:

Ta có \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 3}}{{x + 2}}\)\( = 1 - \frac{3}{{x + 2}}\) .

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = 1 - 3\ln 3 - \left( {0 - 3\ln 2} \right)\\ = 1 - 3\ln \frac{3}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 1;\,\,b =  - 3.\)

Vậy \(a - 2b = 1 - 2.\left( { - 3} \right) = 7.\)

Chọn D.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức \(z.\overline z  = {\left| z \right|^2}\).

- Quy đồng mẫu tìm số phức \(z\).

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{z.\overline z }} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{2 + 3i}}{z} + 2 + i\\ \Leftrightarrow 3 - 4i = 2 + 3i + \left( {2 + i} \right).z\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right).z = 1 - 7i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 7i}}{{2 + i}} =  - 1 - 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .\)

Chọn B.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \).

- Tích tích phân sau khi đổi biến.

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính \({a^2} - {b^2}\).

Cách giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow tdt = xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} \\ = \left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3}\\ = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}\end{array}\).

\( \Rightarrow a = 2,\,\,b = 3\).

Vậy \({a^2} - {b^2} = {2^2} - {3^2} =  - 5.\)

Chọn A.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Sử dụng phương pháp đổi biến để tính \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Ta gọi \(I = \int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_{ - 3}^0 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \\I = 3f\left( { - 3} \right) - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \\I = 6 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Xét tích phân \(\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx = 3} \).

Đặt \(t = 3x - 6 \Rightarrow dt = 3dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t =  - 3\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx}  = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( t \right)dt} \)\( = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx}  = 3\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx}  = 9.\)

Vậy \(I = 6 - 9 =  - 3.\)

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Xác định vị trí của A,B so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( P \right)\), sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{P_A} = 1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7 =  - 22\\{P_B} = 3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7 = 8\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {P_A}.{P_B} < 0 \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( P \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( P \right)\\BK \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel BK\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

\(\begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{22}}{{\sqrt {21} }}\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {21} }}\end{array}\)

Vậy \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{22}}{8} = \frac{{11}}{4}.\)

Chọn D.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm một nghiệm \(z\).

- Tính \({z^3}\), từ đó phân tích \({z^{2019}},\,\,{z^{2018}}\) theo \({z^3}\) và tính giá trị biểu thức \(M\).

Cách giải:

Ta có \({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\).

Chọn 1 nghiệm của phương trình trên là \(z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\), ta có \({z^3} =  - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{z^{2019}} = {\left( {{z^3}} \right)^{673}} = {\left( { - 1} \right)^{673}} =  - 1\\{z^{2018}} = {\left( {{z^3}} \right)^{672}}.{z^2}\\ = {\left( { - 1} \right)^{672}}.{\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\ =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}M =  - 1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ - 1}} + \frac{1}{{ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} + 5\\M =  - 1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ - 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + 5\\M = 2.\end{array}\) 

Chọn B.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

- Đặt \(z = a + bi\) rồi thay vào biểu thức \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\), từ đó rút \(b\) theo \(b\).

- Thay vào biểu thức \({\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\) tìm \(a,\,\,b\).

Cách giải:

Đặt \(z = a + bi.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = \left| {a + bi + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 4a + 4 + 6b + 9 = 2a + 1 - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a - 8b = 11 \Rightarrow b = \frac{{6a - 11}}{8}\end{array}\)

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 4a = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {\left( {\frac{{6a - 11}}{8}} \right)^2} + 4a - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{{16}}{a^2} + \frac{{31}}{{16}}a - \frac{{199}}{{64}} = 0\end{array}\)

Phương trình trên có 2 nghiệm \(a\) phân biệt. Do đó có 2 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Gọi \(A\left( {a;b;c} \right),\) tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} .\)

- Từ đó suy ra tập hợp các điểm \(A\).

Cách giải:

Gọi \(A\left( {a;b;c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {a;b;c} \right);\)\(\overrightarrow {MA}  = \left( {a - 3;b - 1;c - 2} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA}  = a\left( {a - 3} \right) + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3a - b - 2c =  - 3\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mà \(A \in \left( S \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a + 4c =  - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta có: \(a + b + 6c = 2\)\( \Leftrightarrow a + b + 6c - 2 = 0\)

Vậy điểm A thuộc mặt phẳng \(x + y + 6z - 2 = 0.\)

Chọn A.

Câu 50 (VDC)

Phương pháp:

- Áp dụng phương pháp tích phân từ 0 đến 1 hai vế của \(f\left( {3x} \right) = f\left( x \right) - 2x,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Ta có \(f\left( {3x} \right) = f\left( x \right) - 2x\).

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {3x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^1 {2xdx}  \)\(= 5 - 1 = 4\)

Đặt \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {3x} \right)dx} \\ = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = 4\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = 12\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 12\).

Vậy \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)\( =  - 5 + 12 = 7\)

Chọn C. 

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài