Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho số phức $z = 5 - 2i$. Phần ảo của số z bằng:

A. 3.                               B. 4.

C. 11.                             D. $- 2$.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi quay hình dạng phẳng như hình vẽ xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tính là:

A. $\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .$

B. $\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .$

C. $- \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .$

D. $- \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .$

Câu 3: $\int {\frac{1}{{{\sin }^2}x}}dx}$ bằng

A. $- \cot x + C.$

B. $\cot x + C.$

C. $- \frac{1}{{\sin x}} + C.$

D. $\tan x + C.$

Câu 4: $\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1 + \frac{1}{x}} \right)dx}$ bằng

A. $4 - \ln 2.$                B. $4\ln 2.$

C. $4 + \ln 2.$               D. 4.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm là $I\left( {2; - 2;1} \right)$ và đi qua gốc tọa độ O thì có bán kính bằng

A. 9.                               B. $\sqrt 3$

C. 3.                               D. 1.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;2; - 3} \right);\,\,B\left( {5; - 4;1} \right)$. Trung điểm đoạn AB có tọa độ là

A. $\left( {3; - 1; - 1} \right).$                         B. $\left( {3; - 1;1} \right).$

C. $\left( {2; - 3;2} \right)$                             D. $\left( {3;1; - 1} \right)$

Câu 7: $\int {{x^\pi }dx}$ bằng

A. ${x^\pi } + C.$

B. $\pi {x^{\pi  - 1}} + C.$

C. $\frac{{{x^\pi }}}{{\ln \pi }} + C.$

D. $\frac{{{x^{\pi  + 1}}}}{{\pi  + 1}} + C.$

Câu 8: Cho số phức z có điểm biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm $M\left( {3; - 4} \right)$. Môđun của z bằng

A. 25.                             B. 5.

C. 1.                               D. $\sqrt 5$

Câu 9: Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 3t\\z = 3\end{array} \right.$ có một vecto chỉ phương là

A. $\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {1;3;3} \right).$                      B. $\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {2; - 1;0} \right).$

C. $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3;0} \right).$                      D. $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;3} \right).$

Câu 10: Cho số phức $z = 3 + 2i$. Giá trị của $z.\overline z$ bằng

A. 5.                               B. 9.

C. 13.                             D. $\sqrt {13}$.

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( { - 1;4; - 2} \right)$. Giá trị của biểu thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ bằng

A. $- 16.$                     B. $- 4.$

C. 4.                               D. 16.

Câu 12: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {3;2; - 4} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là

A. $\left( {0;2; - 4} \right).$                            B. $\left( {0;0; - 4} \right).$

C. $\left( {3;0; - 4} \right).$                            D. $\left( {3;2;0} \right).$

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ và trục Ox là

A. $- \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .$

B. $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .$

C. $\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .$

D. $\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .$

Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^{2x}}$ là

A. $2{e^{2x}} + C.$

B. $\frac{1}{2}{e^{2x}} + C.$

C. ${e^{2x}} + C.$

D. $4{e^{2x - 1}} + C.$

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {1; - 2;5} \right)$. Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng

A. $\sqrt 5 .$                 B. 5.

C. 1.                               D. 2.

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 3}}$ là

A. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 3} \right| + C.$

B. $2\ln \left| {2x - 3} \right| + C.$

C. $\frac{1}{3}\ln \left| {2x - 3} \right| + C.$

D. $\ln \left| {2x - 3} \right| + C.$

Câu 17: $\int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx}$ bằng

A. 2.                               B. $\frac{3}{2}.$

C. $- \frac{3}{2}.$        D. $\frac{1}{2}.$

Câu 18: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x - 2y + z - 4 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $N\left( {0;2;0} \right)$

B. $M\left( {1;0;0} \right)$

C. $P\left( {0;0; - 4} \right)$

D. $Q\left( {1; - 1;1} \right)$

Câu 19: Gọi các số phức ${z_1};\,\,{z_2}$ là các nghiệm của phương trình $3{z^2} - 2z + 12 = 0$. Giá trị biểu thức $M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right|$ bằng

A. 2.                               B. $- 4.$

C. $- 2.$                       D. $- 12.$

Câu 20: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0$. Khoảng cách từ điểm $M\left( {3;1; - 2} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng:

A. $\frac{1}{3}.$           B. 2.

C. 3.                               D. 1.

Câu 21: Cho biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx}  = a\pi  + b$, với $a,\,\,b$ là các số nguyên. Giá trị biểu thức $a + b$ bằng

A. $- 4.$                       B. 6.

C. 1.                               D. 3.

Câu 22: Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 17$ cắt trục Oz tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn AB bằng

A. $4\sqrt {13}$           B. $2\sqrt {17}$

C. $2\sqrt 3$                D. $\sqrt {17}$

Câu 23: Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0$ có bán kính bằng

A. 11.                             B. $\sqrt 3$

C. 25.                             D. 5.

Câu 24: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx =  - 3}$. Giá trị biểu thức $f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right)$ bằng

A. $- 2.$                       B. 1.

C. 3.                               D. $- 3.$

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2\sin x.\cos 2x$ là

A. $- \frac{1}{3}{\rm{cos}}3x + \cos x + C.$

B. $\frac{1}{3}{\rm{cos}}3x + \cos x + C.$

C. $\frac{1}{3}{\rm{cos}}3x - \cos x + C.$

D. $- {\rm{cos}}3x + \cos x + C.$

Câu 26: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên tập $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 3} ,$ $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx =  - 5}$. Giá trị $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ bằng

A. 8.                               B. $- 15$.

C. $- 8$.                       D. $- 2.$

Câu 27: Cho số phức $z = 2 - i + \frac{{ - 1 + i}}{{1 - 3i}}$. Giá trị của $\left| z \right|$ bằng

A. $\sqrt 2$                  B. $2\sqrt 3$

C. 2                                D. $\sqrt {10}$

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho các vecto $\overrightarrow a  = \left( {5;3; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {m; - 1;m + 3} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vecto $\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b$ là góc tù?

A. 2.                               B. 3.

C. 1.                               D. 5.

Câu 29: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ là $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right) =  - 3$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Giá trị $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ bằng

A. $- 4.$                       B. $- 3.$

C. $- 2.$                       D. 4.

Câu 30: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right):3x + y - 4z - 12 = 0$ cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Chu vi tam giác OAB bằng:

A. 6.                               B. 12.

C. 36.                             D. 5.

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y =  - 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.$, giao điểm của d với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là:

A. $\left( {4; - 3;0} \right)$.

B. $\left( {2; - 2;0} \right)$

C. $\left( {0; - 1; - 1} \right)$

D. $\left( { - 2;0; - 2} \right)$

Câu 32: Cho hai số phức $z = 3 - 4i$ và $z' = \left( {2 + m} \right) + mi\,\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|$. Tổng tất cả các giá trị của m bằng

A. $- 1.$                       B. $\frac{{\sqrt {46} }}{2}.$

C. 0.                               D. $- 2.$

Câu 33: Hàm số $f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5$ là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $y =  - {e^{ - x}} + \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 1.$

B. $y = {e^{ - x}} + {x^2} - 5x.$

C. $y =  - {e^{ - x}} + 2.$

D. $y =  - {e^{ - x}} + {x^2} - 5x + 3.$

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z - 13 = 0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ thì giá trị của $a + b + c$ bằng:

A. 5.                               B. 2.

C. $- 11.$                     D. 1.

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {3;0;0} \right),$ $B\left( {0; - 2;0} \right)$ và $C\left( {0;0; - 4} \right)$. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

A. $116\pi .$                  B. $29\pi .$

C. $16\pi$                     D. $\frac{{29\pi }}{4}$

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để $\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right) \le 4}$?

A. 6.                               B. 5.

C. 3.                               D. 4.

Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn $\frac{{\left( { - 1 + i} \right)z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i$. Số phức liên hợp của z là $\overline z  = a + bi$ với $a,\,\,b \in \mathbb{R}$.  Giá trị của $a + b$ bằng:

A. $- 1$.                       B. $- 12.$

C. $- 6$                        D. 1.

Câu 38: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx = m}$, $\int\limits_0^b {f\left( x \right)dx = n}$. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bằng

A. $m.n$                       B. $m - n$

C. $m + n$                    D. $n - m$

Câu 39: Cho các số phức ${z_1} = 3 - 2i,$ ${z_2} = 1 + 4i$ và ${z_3} =  - 1 + i$ có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm $A,B,C$. Diện tích tam giác ABC bằng:

A. $2\sqrt {17.}$          B. 12.

C. $4\sqrt {13}$           D. 9.

Câu 40: Cho biết $\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx = \frac{a}{3} + b\sqrt 3 }$ với $a,\,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $\frac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a$ bằng

A. $- 1.$                       B. $\frac{7}{2}.$

C. 8.                               D. 6.

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa điểm $A\left( {3; - 1;2} \right)$ và đường thẳng  $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là:

A. $3x - 5y - z + 8 = 0$

B. $2x + y - 2z - 6 = 0$

C. $x + y + z - 4 = 0.$

D. $x - 2y + z - 7 = 0$

Câu 42: Cho biết $\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}dx = a + b\ln \frac{3}{2}}$ với $a,\,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $a - 2b$ bằng

A. 6.                               B. 3.

C. $- 5.$                       D. 7.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn $\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i$, giá trị của $\left| z \right|$ bằng

A. $\sqrt 5$                  B. $\sqrt {10}$

C. 1                                D. $\sqrt 2$

Câu 44: Cho biết $\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} dx = \frac{{a\sqrt 2  - 1}}{b}}$ với $a,\,\,b$ là các số tự nhiên. Giá trị của ${a^2} - {b^2}$ bằng

A. $- 5.$                       B. 5.

C. 2.                               D. 1.

Câu 45: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên tập hợp $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx = 3}$ và $f\left( { - 3} \right) = 2$. Giá trị của $\int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left( x \right)dx}$ bằng:

A. $- 3$                        B. 11

C. 6                                D. 9

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1; - 2;3} \right),$ $B\left( {3;2; - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 4z - 7 = 0$. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại M. Giá trị của biểu thức $\frac{{MA}}{{MB}}$ bằng

A. $\frac{5}{{21}}.$      B. 1.

C. $\frac{1}{3}.$           D. $\frac{{11}}{4}.$

Câu 47: Gọi z là một nghiệm của phương trình ${z^2} - z + 1 = 0$. Giá trị của biểu thức  $M = {z^{2019}} + {z^{2018}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}} + \frac{1}{{{z^{2018}}}} + 5$ bằng

A. 5.                               B. 2.

C. 7.                               D. $- 1$

Câu 48: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|$ và ${\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5$?

A. 1.                               B. 0.

C. 2.                               D. 4.

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4$ và điểm $M\left( {3;1;2} \right)$. Điểm A di chuyển trên mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA}  =  - 3$ thì A thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $x + y + 6z - 2 = 0.$

B. $3x + y + 2z - 3 = 0.$

C. $5x + y - 2z - 4 = 0.$

D. $2x - 4z - 1 = 0$

Câu 50: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $f\left( {3x} \right) = f\left( x \right) - 2x,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5}$. Giá trị $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$ bằng

A. 4.                               B. 10.

C. 7.                           D. 12.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Number $z = a + bi$ has a virtual part is b .

Cách giải:

Number $z = 5 - 2i$ has an virtual part is $- 2$.

Chọn D.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể phân tích là: $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \ phải]}^2}dx}$

Cách giải:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể phân tích là: $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \ phải]}^2}dx}$

Chọn A.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác: $\int {\frac{1}{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C}$.

Cách giải:

$\int {\frac{1}{{{{\sin}^2}x}}dx = - \cot x + C}$

Chọn A.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: $\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne - 1} \right)$, $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1 + \frac{1}{x}} \right)} dx\\ = \left. {\left( {{x^2} + x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\\ = 4 + 2 + \ln 2 - \left( {1 + 1 + \ln 1} \right)\\ = 4 + \ln 2\end{array}$

Chọn C.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

- Mặt cầu có tâm là $I\left( {2; - 2;1} \right)$ và đi qua gốc tọa độ O thì có bán kính bằng $R = OI$.

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $OI = \sqrt {{{\left( {{x_I} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_O}} \right)}^2}}$.

Cách giải:

Vì mặt cầu tâm I đi qua gốc tọa độ O nên có bán kính $R = IO = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}}  = 3.$

Chọn C.

Câu 6 (NB)

Phương pháp: 

Trung điểm đoạn AB có tọa độ là $\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

Cách giải:

Gọi I là trung điểm đoạn AB ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\\{z_I} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} =  - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {3; - 1; - 1} \right).$

Chọn A.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$.

Cách giải:

$\int {{x^\pi }dx = \frac{{{x^{\pi  + 1}}}}{{\pi  + 1}} + C} .$

Chọn D.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

- Điểm $M\left( {a;b} \right)$ biểu diễn cho số phức $z = a + bi$.

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Ta có $M\left( {3; - 4} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức z nên $z = 3 - 4i.$

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.$

Chọn B.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với $\overrightarrow u$ đều là 1 VTCP của đường thẳng trên.

Cách giải:

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 3t\\z = 3\end{array} \right.$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3;0} \right).$

Chọn C.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức $z.\overline z  = {\left| z \right|^2}$.

Cách giải:

$z.\overline z  = {\left| z \right|^2} = {3^2} + {2^2} = 13.$

Chọn C.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Cho hai vecto $\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$. Khi đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right);$ $\overrightarrow b  = \left( { - 1;4; - 2} \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).4 + 1.\left( { - 2} \right) =  - 16.$

Chọn A.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {x;y;z} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là $\left( {x;y;0} \right)$.

Cách giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {3;2; - 4} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là $\left( {3;2;0} \right).$

Chọn D.

Câu 13 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ và trục Ox là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, các đường thẳng$x = a,\,\,x = b$ và trục Ox có diện tích là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Mà $f\left( x \right) \ge 0$ $\forall x \in \left[ {a;b} \right]$, do đó $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$.

Chọn B.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .$

Cách giải:

$\int {{e^{2x}}dx = } \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.$

Chọn B.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ đến trục $Oz$ là $d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

Cách giải:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {1; - 2;5} \right)$ đến trục $Oz$ là $d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5$.

Chọn A.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: $\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.$

Cách giải:

$\int {\frac{1}{{2x - 3}}dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 3} \right|}  + C.$

Chọn A.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

- Phá dấu của trị tuyệt đối.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$.

Cách giải:

Ta có $x - 2 < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx}$

$= \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}.$

Chọn B.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng.

Cách giải:

Ta thấy $Q\left( {1; - 1;1} \right) \in \left( \alpha  \right):x - 2y + z - 4 = 0$ vì $1 - 2.\left( { - 1} \right) + 1 - 4 = 0$.

Chọn D.

Câu 19 (NB)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm ${z_1},\,\,{z_2}$.

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$. Tính $\left| {{z_1}} \right|,\,\,\left| {{z_2}} \right|$.

- Thay vào tính giá trị biểu thức $M$.

Cách giải:

Phương trình $3{z^2} - 2z + 12 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt {35} }}{3}i\\{z_2} = \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt {35} }}{3}i\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2$.

Vậy $M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right| = 2.2 - 3.2 =  - 2.$

Chọn C.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Cách giải:

Khoảng cách từ $M\left( {3;1; - 2} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0$ là $d = \frac{{\left| {2.3 - 1 + 2\left( { - 2} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1.$

Chọn D.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$, $\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C$.

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$ và tính tổng $a + b$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {4x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = 2\pi  + \cos \frac{\pi }{2} - \left( {0 + \cos 0} \right)\\ = 2\pi  - 1\end{array}$

$\Rightarrow a = 2,\,\,b =  - 1.$

Vậy $a + b = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.$

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Tìm giao điểm của mặt cầu với trục Oz bằng cách cho $x = y = 0$.

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

$AB$$= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

Cách giải:

Cao độ của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 17$ và trục Oz  là nghiệm của phương trình: ${\left( {z + 2} \right)^2} = 17 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \sqrt {17}  - 2\\z =  - \sqrt {17}  - 2\end{array} \right.$.

Suy ra giao điểm của mặt cầu $\left( S \right)$ và trục $Oz$ là: $A\left( {0;0;\sqrt {17}  - 2} \right)$ và $B\left( {0;0; - \sqrt {17}  - 2} \right)$.

Vậy $AB = \sqrt {{{\left( { - 2\sqrt {17} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {17} .$

Chọn B.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu $\left( S \right):$${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + 11}  = \sqrt {25}  = 5.$

Chọn D.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính phân Newton – Leibniz: $\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)$.

Cách giải:

Ta có $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) =  - 3.$

Vậy $f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right) = 3.$

Chọn C.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]$.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx}  =  - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C$.

Cách giải:

Ta có $f\left( x \right) = 2\sin x\cos 2x$

$= \sin 3x + \sin \left( { - x} \right) = \sin 3x - \sin x$.

Khi đó ta có $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\sin 3x - \sin x} \right)dx}$$=  - \frac{1}{3}\cos 3x + \cos x + C$.

Chọn A.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,$ $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .$

Cách giải:

Ta có $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_2^1 {f\left( x \right)dx}$.

Vậy $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^1 {f\left( x \right)dx}$$=  - 5 - 3 =  - 8$

Chọn C.

Câu 27 (TH)

Phương pháp:

- Tính số phức z bằng MTCT.

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Sử dụng MTCT ta có $z = 2 - i + \frac{{ - 1 + i}}{{1 - 3i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i.$

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2}}  = 2.$

Chọn C.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.

- Để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b$ là góc tù thì $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) > 0$.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow a  = \left( {5;3; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {m; - 1;m + 3} \right)$.

$\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\\ = \frac{{5m - 3 - 2m - 6}}{{\sqrt {38\left( {{m^2} + 1 + {{\left( {m + 3} \right)}^2}} \right)} }}\\ = \frac{{3m - 9}}{{\sqrt {38\left( {{m^2} + 1 + {{\left( {m + 3} \right)}^2}} \right)} }}\end{array}$

Mà góc giữa hai vecto $\overrightarrow a ;\overrightarrow b$ là góc tù nên $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) < 0$.

$\Rightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3.$

Mà $m \in {\mathbb{Z}^ + }$$\Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton – Leibniz: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ là $F\left( x \right)$. Khi đó ta có: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Cách giải:

Ta có: $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right)$ $=  - 3 - 1 =  - 4$

Chọn A.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm A, B.

- Tính độ dài các cạnh $OA,\,\,OB,\,\,OC$. Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng

$AB$$= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

- Tính chu vi tam giác OAB bằng ${P_{\Delta OAB}} = A + OB + AB$.

Cách giải:

Cho $y = z = 0$ ta có $3x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 4$. Suy ra mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt trục $Ox$ tại $A\left( {4;0;0} \right)$.

Cho $x = y = 0$ ta có $- 4z - 12 = 0 \Leftrightarrow z =  - 3$. Suy ra mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt trục $Oz$ tại $B\left( {0;0; - 3} \right)$.

Ta có: $OA = 4,\,\,OB = 3$ và $AB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5$.

Vậy chu vi tam giác OAB là $4 + 3 + 5 = 12.$

Chọn B.

Câu 31 (TH)

Phương pháp:

- Tìm giao điểm của d với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ tức $z = 0$.

- Cho $z = 0$ tìm $t$, từ đó tìm được $x,\,\,y$ và suy ra tọa độ giao điểm.

Cách giải:

Cho $z = 0$$\Rightarrow 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t = 4 - 2.1 = 2\\y =  - 3 + t =  - 3 + 1 =  - 2\end{array} \right.$

Vậy giao điểm của d với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là $\left( {2; - 2;0} \right)$.

Chọn B.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

- Lập phương trình bậc hai ẩn $m$, áp dụng định lí Vi-ét: ${m_1} + {m_2} = \frac{{ - b}}{a}$.

Cách giải:

Ta có $z = 3 - 4i$$\Rightarrow iz = i\left( {3 - 4i} \right) = 4 + 3i.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {m^2} = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 21 = 0\end{array}$

Áp dụng định lý viet ta có tổng các giá trị của m là $\frac{{ - 4}}{2} =  - 2.$

Chọn D.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Hàm số $F\left( x \right)$ là 1 nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Cách giải:

Ta có $f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5$$\Rightarrow f'\left( x \right) =  - {e^{ - x}} + 2$

Vậy $f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số $- {e^{ - x}} + 2$.

Chọn C.

Chú ý: Phân biệt với câu hỏi tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{ - x}} + 2x - 5$.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có tâm $I$ thì $I$ chính là hình chiếu của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Xác định tâm $A$ của mặt cầu $\left( S \right)$.

- Viết phương trình đường thẳng $AI$ đi qua $A$ và vuông góc với $mp\left( P \right)$.

- Tìm $I$ là giao điểm của $AI$ và $\left( P \right)$.

Cách giải:

Ta có mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45$ có tâm là $A\left( {1;2; - 1} \right).$

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có tâm $I$ thì $I$ chính là hình chiếu của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Do đó $AI$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $mp\left( P \right)$.

Ta có ${\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)$. Suy ra phương trinh đường thẳng $AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.$.

Vì $I \in AI$ nên gọi $I\left( {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right).$

Mặt khác $I \in \left( P \right)$, nên ta có: $1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0$

$\Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.$

$\Rightarrow I\left( {4;5; - 4} \right) \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c =  - 4.$

Vậy $a + b + c = 4 + 5 + \left( { - 4} \right) = 5.$

Chọn A.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ $\Rightarrow IO = IA = IB = IC$.

- Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{O^2} = I{B^2}\\I{O^2} = I{C^2}\end{array} \right.$ tìm tọa độ điểm $I$.

- Tính bán kính mặt cầu $R = OI$.

- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4\pi {R^2}$.

Cách giải:

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ $\Rightarrow IO = IA = IB = IC$$\Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}$.

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y =  - 1\\z =  - 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow I\left( {\frac{3}{2}; - 1;2} \right)$. Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $R = IO = \sqrt {\frac{9}{4} + 1 + 4}  = \sqrt {\frac{{29}}{4}}$.

Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{29}}{4} = 29\pi .$

Chọn B.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$.

- Giải bất phương trình tìm $a$ và suy ra các giá trị của $a$ thỏa mãn.

Cách giải:

Ta có $\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx}  = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 3a.$

Theo bài ra ta có: $\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx}  \le 4$$\Rightarrow {a^2} - 3a \le 4 \Leftrightarrow  - 1 \le a \le 4.$

Mà $a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}.$

Vậy có 6 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 37 (VD)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT rồi suy ra $\overline z$: Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\overline z  = a - bi$.

- Xác định các hệ số $a,\,\,b$ và tính tổng $a + b$.

Cách giải:

Ta có $\frac{{\left( { - 1 + i} \right)z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i$

$\Rightarrow z = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - 2i} \right) - 2}}{{ - 1 + i}}$ $=  - \frac{7}{2} - \frac{5}{2}i$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  =  - \frac{7}{2} + \frac{5}{2}i\\ \Rightarrow a =  - \frac{7}{2};\,\,b = \frac{5}{2}\end{array}$

Vậy $a + b =  - \frac{7}{2} + \frac{5}{2} =  - 1.$

Chọn A.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ và trục Ox là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = a,\,\,x = 0\,\,\left( {a < 0} \right)$, ta có ${S_1} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx}  = m$.

Gọi ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = 0,\,\,x = b\,\,\left( {b > 0} \right)$, ta có ${S_2} = \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx}  =  - n$.

Vậy diện tích cần tính là $S = {S_1} + {S_2} = m - n.$

Chọn B.

Câu 39 (VD)

Phương pháp:

- Suy ra tọa độ của A,B,C : Số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$.

- Tính độ dài các đoạn thẳng $AB,\,\,AC,\,\,BC$. Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng

$AB$$= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

- Sử dụng công thức Herong để tính diện tích tam giác: ${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}$ với $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$.

Cách giải:

Ta có ${z_1} = 3 - 2i,$ ${z_2} = 1 + 4i$ và ${z_3} =  - 1 + i$ có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm $A,B,C$ nên $A\left( {3; - 2} \right);\,\,B\left( {1;4} \right);\,\,C\left( { - 1;1} \right).$

Khi đó ta có: $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}}  = 2\sqrt {10} \\AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}}  = 5\\BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \end{array} \right..$

Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$ ta có: $p = \frac{{2\sqrt {10}  + 5 + \sqrt {13} }}{2}.$

Diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{\Delta ABC}}$$= \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}$

$= 9.$

Chọn D.

Câu 40 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $t = \sqrt {\ln x + 3}$.

- Tính tích phân sau khi đổi biến, đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$.

Cách giải:

Gọi $I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 3} }}{x}dx}$.

Đặt $t = \sqrt {\ln x + 3}$$\Rightarrow {t^2} = \ln x + 3$ $\Rightarrow 2tdt = \frac{{dx}}{x}$ .

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{t^2}dt}  = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 3 }^2 = \frac{{16}}{3} - 2\sqrt 3$.

$\Rightarrow a = 16,\,\,b =  - 2.$

Vậy $\frac{1}{{{2^b}}} + {\log _2}a = \frac{1}{{{2^{ - 2}}}} + {\log _2}16$$= 4 + 4 = 8$

Chọn C.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Lấy điểm $B$ bất kì thuộc đường thẳng $d$.

- $\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]$  với $\overrightarrow {{u_d}}$ là 1 VTCP của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Cách giải:

Ta có $B\left( {0;1;3} \right) \in d$. Mà $d \subset \left( P \right)$$\Rightarrow B\left( {0;1;3} \right) \in \left( P \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;1} \right)$

Đường thẳng d có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 2} \right)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)$.

Gọi $\overrightarrow {{n_P}}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.$

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}$  cùng phương với $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]$. Do đó $\left( P \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x - 3 + y + 1 + z - 2 = 0$$\Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0$

Chọn C.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Bậc tử = bậc mẫu => Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$, $\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.$

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$ và tính $a - 2b$.

Cách giải:

Ta có $\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 3}}{{x + 2}}$$= 1 - \frac{3}{{x + 2}}$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = 1 - 3\ln 3 - \left( {0 - 3\ln 2} \right)\\ = 1 - 3\ln \frac{3}{2}\end{array}$

$\Rightarrow a = 1;\,\,b =  - 3.$

Vậy $a - 2b = 1 - 2.\left( { - 3} \right) = 7.$

Chọn D.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức $z.\overline z  = {\left| z \right|^2}$.

- Quy đồng mẫu tìm số phức $z$.

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{z.\overline z }} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{2 + 3i}}{z} + 2 + i\\ \Leftrightarrow 3 - 4i = 2 + 3i + \left( {2 + i} \right).z\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right).z = 1 - 7i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 7i}}{{2 + i}} =  - 1 - 3i\end{array}$

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .$

Chọn B.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}$.

- Tích tích phân sau khi đổi biến.

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$ và tính ${a^2} - {b^2}$.

Cách giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow tdt = xdx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} \\ = \left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3}\\ = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}\end{array}$.

$\Rightarrow a = 2,\,\,b = 3$.

Vậy ${a^2} - {b^2} = {2^2} - {3^2} =  - 5.$

Chọn A.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

- Sử dụng phương pháp đổi biến để tính $\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} .$

Cách giải:

Ta gọi $I = \int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left( x \right)dx}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.$, khi đó ta có:

$\begin{array}{l}I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_{ - 3}^0 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \\I = 3f\left( { - 3} \right) - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \\I = 6 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \end{array}$

Xét tích phân $\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx = 3}$.

Đặt $t = 3x - 6 \Rightarrow dt = 3dx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t =  - 3\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx}  = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( t \right)dt}$$= \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx}  = 3$

$\Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx}  = 9.$

Vậy $I = 6 - 9 =  - 3.$

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Xác định vị trí của A,B so với mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,\,B$ lên $\left( P \right)$, sử dụng định lí Ta-lét chứng minh $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}$.

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{P_A} = 1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7 =  - 22\\{P_B} = 3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7 = 8\end{array} \right.$

$\Rightarrow {P_A}.{P_B} < 0 \Rightarrow A,\,\,B$ nằm khác phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,\,B$ lên $\left( P \right)$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( P \right)\\BK \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel BK$. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}$.

Mà

$\begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{22}}{{\sqrt {21} }}\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {21} }}\end{array}$

Vậy $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{22}}{8} = \frac{{11}}{4}.$

Chọn D.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm một nghiệm $z$.

- Tính ${z^3}$, từ đó phân tích ${z^{2019}},\,\,{z^{2018}}$ theo ${z^3}$ và tính giá trị biểu thức $M$.

Cách giải:

Ta có ${z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.$.

Chọn 1 nghiệm của phương trình trên là $z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$, ta có ${z^3} =  - 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{z^{2019}} = {\left( {{z^3}} \right)^{673}} = {\left( { - 1} \right)^{673}} =  - 1\\{z^{2018}} = {\left( {{z^3}} \right)^{672}}.{z^2}\\ = {\left( { - 1} \right)^{672}}.{\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\ =  - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}$

Vậy

$\begin{array}{l}M =  - 1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ - 1}} + \frac{1}{{ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} + 5\\M =  - 1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ - 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + 5\\M = 2.\end{array}$ 

Chọn B.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

- Đặt $z = a + bi$ rồi thay vào biểu thức $\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|$, từ đó rút $b$ theo $b$.

- Thay vào biểu thức ${\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5$ tìm $a,\,\,b$.

Cách giải:

Đặt $z = a + bi.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = \left| {a + bi + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 4a + 4 + 6b + 9 = 2a + 1 - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a - 8b = 11 \Rightarrow b = \frac{{6a - 11}}{8}\end{array}$

Mặt khác ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 4a = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {\left( {\frac{{6a - 11}}{8}} \right)^2} + 4a - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{{16}}{a^2} + \frac{{31}}{{16}}a - \frac{{199}}{{64}} = 0\end{array}$

Phương trình trên có 2 nghiệm $a$ phân biệt. Do đó có 2 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Gọi $A\left( {a;b;c} \right),$ tính tích vô hướng của $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA} .$

- Từ đó suy ra tập hợp các điểm $A$.

Cách giải:

Gọi $A\left( {a;b;c} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {a;b;c} \right);$$\overrightarrow {MA}  = \left( {a - 3;b - 1;c - 2} \right)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MA}  = a\left( {a - 3} \right) + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3a - b - 2c =  - 3\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Mà $A \in \left( S \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a + 4c =  - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta có: $a + b + 6c = 2$$\Leftrightarrow a + b + 6c - 2 = 0$

Vậy điểm A thuộc mặt phẳng $x + y + 6z - 2 = 0.$

Chọn A.

Câu 50 (VDC)

Phương pháp:

- Áp dụng phương pháp tích phân từ 0 đến 1 hai vế của $f\left( {3x} \right) = f\left( x \right) - 2x,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

- Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}$.

Cách giải:

Ta có $f\left( {3x} \right) = f\left( x \right) - 2x$.

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {3x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^1 {2xdx}$$= 5 - 1 = 4$

Đặt $t = 3x \Rightarrow dt = 3dx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {3x} \right)dx} \\ = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = 4\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = 12\end{array}$

$\Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 12$.

Vì $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$$= - 5 + 12 = 7$

Chọn C. 

loigiaihay.com