

Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12
Đề bài
Câu 1: Cho các số phức z1=1+3i, z2=−5−3i. Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức z3, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x−2y+1=0 và môđun của số phức w=3z3−z2−2z1 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M(−35;15) B. M(35;−15)
C. M(35;15) D. M(−35;−15)
Câu 2: Trong không gian Oxyz cho A(1;−1;2), B(2;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z+1=0. Mặt phẳng (Q) chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là:
A. x+y+z−2=0
B. 3x−2y−z−3=0
C. 3x−2y−z+3=0
D. −x+y=0
Câu 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z2−2x+4y−6z+9=0. Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là:
A. I(−1;2;−3) và R=5
B. I(1;−2;3) và R=√5
C. I(1;−2;3) và R=5
D. I(−1;2;−3) và R=√5
Câu 4: Gọi z1,z2 là các nghiệm của phương trình z2−4z+9=0. Giả sử M,N là các điểm biểu diễn hình học của z1,z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:
A. √5 B. 4
C. 2√5 D. 5
Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−6z=0. Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là:
A. √5 B. 4
C. 2√5 D. 5
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hình chiếu của M trên trục Oy là:
A. Q(0;2;0)
B. S(0;0;3)
C. R(1;0;0)
D. P(1;0;3)
Câu 7: Tìm số phức z biết: (1−i)z−1+5i=0.
A. z=−3−2i
B. z=3−2i
C. z=3+2i
D. z=−3+2i
Câu 8: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C lần lượt biểu diễn ba số phức z1=1+i, z2=(1+i)2 và z3=a−i. Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng:
A. −3 B. −2
C. 3 D. −4
Câu 9: Tính môđun của số phức z=2+i+i2019.
A. |z|=√5
B. |z|=2
C. |z|=2√2
D. |z|=√10
Câu 10: Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+9=0. Tính ¯z1+¯z2.
A. ¯z1+¯z2=3
B. ¯z1+¯z2=4i
C. ¯z1+¯z2=9i
D. ¯z1+¯z2=0
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài
đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC?
A. √3 B. √32
C. √2 D. √6
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ →a=(1;2;3), →b=(−2;4;1), →c=(−1;3;4). Véc tơ →v=2→a−3→b+5→c có toạ độ là:
A. →v=(3;7;23)
B. →v=(23;7;3)
C. →v=(7;3;23)
D. →v=(7;23;3)
Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x4+3x2.
A. 2x3−3x+C
B. 2x33+3x+C
C. 2x33+32x+C
D. 2x33−3x+C
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (-4;0;0) và đường thẳng Δ:{x=1−ty=−2+3tz=−2t. Gọi H(a;b;c) là chân hình chiếu từ M lên Δ. Tính a + b + c.
A. 5 B. 7
C. -3 D. -1
Câu 15: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận →u=(2;3;−4) làm véc tơ chỉ phương?
(với t∈R).
A. {x=1+2ty=2−3tz=2−4t
B. {x=2+ty=3+3tz=−4+t
C. {x=2+ty=3+5tz=−4−3t
D. {x=1+2ty=3+3tz=2−4t
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm I(1;0;−1), A(2;2;−3). Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:
A. (x+1)2+y2+(z−1)2=3
B. (x−1)2+y2+(z+1)2=9
C. (x+1)2+y2+(z−1)2=9
D. (x−1)2+y2+(z+1)2=3
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng (P)?
A. Q(1;-3;-4)
B. P(1;-2;0)
C. N(0;1;-2)
D. M(2;-1;1)
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=ex+sinx là:
A. F(x)=ex+cosx+C
B. F(x)=ex−sinx+C
C. F(x)=ex−cosx+C
D. F(x)=ex+sinx+C
Câu 19: Cho số phức z=a+bi(a,b∈R) theo điều kiện (2−3i)z−7i¯z=22−20i. Tính S=a+b.
A. S=3
B. S=−4
C. S=−6
D. S=2
Câu 20: Chọn khẳng định đúng?
A. ∫32xdx=32xln9+C
B. ∫32xdx=32xln3+C
C. ∫32xdx=32x+12x+1+C
D. ∫32xdx=9xln3+C
Câu 21: Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=√x và F(1)=1.
A. F(x)=12√x+12
B. F(x)=23x√x
C. F(x)=23x√x−53
D. F(x)=23x√x+13
Câu 22: Tìm số phức liên hợp của số phức z=(1−i)(3+2i).
A. ¯z=1−i
B. ¯z=5+i
C. ¯z=5−i D. ¯z=1+i
Câu 23: Cho số phức z1=2+3i, z2=−4−5i. Tính z=z1+z2.
A. z=2+2i
B. z=−2+2i
C. z=2−2i
D. z=−2−2i
Câu 24: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng x1+y2+z3=1 là:
A. →n1=(6;3;2)
B. →n2=(6;2;3)
C. →n3=(3;6;2)
D. →n4=(2;3;6)
Câu 25: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx với k≠0
B. (∫f(x)dx)′=f(x)
C. ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
D. ∫[f(x).g(x)]dx=∫f(x)dx.∫g(x)dx
Câu 26: Trong mặt phẳng (Oxy), điểm M(3;−1) biểu diễn số phức
A. z=−1+3i
B. z=−3+i
C. z=1−3i
D. z=3−i
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho →OA=3→k−→i. Tọa độ của điểm A là
A. A(3;0;−1)
B. A(−1;0;3)
C. A(−1;3;0)
D. A(3;−1;0)
Câu 28: Trong không gian Oxyz phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng
(Oyz)?
A. x=0
B. y+z=0
C. x=y+z
D. y−z=0
Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x5−x3 và trục hoành:
A. S=136
B. S=76
C. S=16
D. S=176
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x+32=y+11=z−31 và mặt phẳng (P):x+2y−z+5=0. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
A. M(−1;0;4)
B. M(0;0;5)
C. M(−5;−2;2)
D. M(−3;−1;3)
Câu 31: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn |z−2−i|=|¯z+2i| là đường thẳng nào?
A. 4x+2y−1=0
B. 4x−2y+1=0
C. 4x−2y−1=0
D. 4x−6y−1=0
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P):2x−y+2z+1=0. Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
A. (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=9
B. (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=2
C. (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=4
D. (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=36
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α):x+2y−z−1=0 và (β):2x+4y−mz−2=0 . Tìm m để hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau
A. m=1
B. Không tồn tại m
C. m=−2
D. m=2
Câu 34: Biết 1∫0x2−2x+1dx=−1m+nln2 với m,n∈Z. Tính S=m+n.
A. S=1
B. S=4
C. S=−1
D. S=−5
Câu 35: Cho 3∫1f(x)dx=2 và 3∫1g(x)dx=1. Tính I=3∫1[4f(x)+2019g(x)]dx.
A. 2025 B. 2019
C. 2021 D. 2027
Câu 36: Tính tích phân I=1∫0(ex+2)dx.
A. I=e+1
B. I=e+2
C. I=e+3
D. I=e−1
Câu 37: Phần ảo của số phức z=2−3i là:
A. 2 B. 3
C. −3 D. −3i
Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.
Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
A. −1+2i
B. −12+2i
C. 2−i
D. 2−12i
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d:{x=1+ty=2−4tz=3−5t,t∈R. Hỏi d đi qua điểm nào dưới
đây?
A. (3;6;8)
B. (1;−4;−5)
C. (−1;2;3)
D. (0;6;8)
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x−y−2z−9=0 và (Q):4x−2y−4z−6=0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
A. 0 B. 2
C. 1 D. 3
Câu 41: Cho tích phân 9∫2f(x)dx=6. Tính tích phân I=2∫1x2f(x3+1)dx.
A. I=3 B. I=2
C. I=8 D. I=4
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và
mặt phẳng (P):2x+3y+z−17=0.
A. M(0;0;−3)
B. M(0;0;3)
C. M(0;0;−4)
D. M(0;0;4)
Câu 43: Cho tích phân I=π∫0x2cosxdx và đặt u=x2,dv=cosxdx. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?
A. I=x2sinx|π0−π∫0x.sinxdx
B. I=x2.sinx|π0+2π∫0x.sinxdx
C. I=x2sinx|π0−2π∫0x.sinxdx
D. I=x2sinx|π0+π∫0x.sinxdx
Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2;−1;3) và B(0;3;1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. (2;4;−2)
B. (−2;2;4)
C. (−1;1;2)
D. (−2;−4;2)
Câu 45: Cho số phức z=1−2i. Tính |z|.
A. |z|=5
B. |z|=√5
C. |z|=3
D. |z|=2
Câu 46: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x=0, x=1, y=0 và y=√2x+1. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:
A. V=1∫0(2x+1)dx
B. V=π1∫0√2x+1dx
C. V=π1∫0(2x+1)dx
D. V=1∫0√2x+1dx
Câu 47: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t)=t2+10t(m/s) với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:
A. 40003(m)
B. 500(m)
C. 25003(m)
D. 2000(m)
Câu 48: Cho hàm số f(x) thỏa mãn (f′(x))2+f(x).f″(x)=15x4+12x,∀x∈R và f(0)=f′(0)=1. Giá trị của f2(1) bằng:
A. 8 B. 52
C. 10 D. 4
Câu 49: Cho đường thẳng d1:{x=4−2ty=tz=3(t∈R) và d2:{x=1y=t′z=−t′(t′∈R). Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1),(d2) là:
A. (x+32)2+y2+(z+2)2=94
B. (x+32)2+y2+(z+2)2=32
C. (x−32)2+y2+(z−2)2=32
D. (x−32)2+y2+(z−2)2=94
Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=2x2, y=x28, y=−x+6. Tính diện tích hình phẳng D nằm bên phải của trục tung
A. S=1075192
B. S=13564
C. S=18524
D. S=33596
Lời giải chi tiết
1. A |
2. B |
3. B |
4. C |
5. A |
6. A |
7. B |
8. A |
9. B |
10. D |
11. C |
12. A |
13. D |
14. D |
15. D |
16. B |
17. A |
18. C |
19. B |
20. A |
21. D |
22. B |
23. D |
24. A |
25. D |
26. D |
27. B |
28. A |
29. C |
30. A |
31. C |
32. C |
33. B |
34. A |
35. D |
36. A |
37. C |
38. B |
39. D |
40. B |
41. B |
42. B |
43. C |
44. C |
45. B |
46. C |
47. C |
48. A |
49. D |
50. C |
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
- Gọi M(2a−1;a) thuộc đường thẳng x−2y+1=0 ⇒ Số phức z3.
- Tính w và tính |w|.
- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.
Cách giải:
Gọi M(2a−1;a) thuộc đường thẳng x−2y+1=0 ⇒z3=2a−1+ai.
Khi đó ta có:
w=3z3−z2−2z1w=3(2a−1+ai)−(−5−3i)−2(1+3i)w=(6a−3+5−2)+(3a+3−6)iw=6a+(3a−3)i
⇒|w|=√(6a)2+(3a−3)2|w|=√45a2−18a+9|w|=√45(a2−25a)+9|w|=√45(a2−2.a.15+125)−95+9|w|=√45(a−15)2+365⇒|w|≥√365=6√5⇒|w|min
Vậy {\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right).
Chọn A.
Câu 2 (VD)
Phương pháp:
- \left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right].
- Phương trình mặt phẳng đi qua M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) và có 1 VTPT \overrightarrow n \left( {A;B;C} \right) là:
A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.
Cách giải:
Gọi \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right) là 1 VTPT của mặt phẳng \left( P \right), \overrightarrow {{n_Q}} là 1 VTPT của mặt phẳng \left( Q \right).
Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right).
Vì \left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right).
Vậy phương trình mặt phẳng \left( Q \right) là:
3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0.
Chọn B.
Câu 3 (NB)
Phương pháp:
Mặt cầu \left( S \right)\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I\left( {a;b;c} \right), bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} với {a^2} + {b^2} + {c^2} > d.
Cách giải:
Mặt cầu \left( S \right) có phương trình: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0 có tâm I\left( {1; - 2;3} \right), bán kính R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 9} = \sqrt 5 .
Chọn B.
Câu 4 (TH)
Phương pháp:
- Giải phương trình bậc hai tìm {z_1},\,\,{z_2}.
- Tìm các điểm M,\,\,N. Điểm biểu diễn số phức z = a + bi là M\left( {a;b} \right).
- Tính độ dài đoạn thẳng
MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}}
Cách giải:
Ta có: {z^2} - 4z + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 5 i\end{array} \right.
\Rightarrow M\left( {2;\sqrt 5 } \right) và N\left( {2; - \sqrt 5 } \right).
Vậy MN = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 5 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5
Chọn C.
Câu 5 (TH)
Phương pháp:
- Xác định tâm và mặt cầu \left( S \right):
Mặt cầu \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I\left( {a;b;c} \right), bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} với {a^2} + {b^2} + {c^2} > d.
- Tính d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right).
- Áp dụng định lí Pytago: {R^2} = {r^2} + {d^2} với r là bán kính đường tròn giao tuyến của \left( S \right) và \left( {Oxy} \right).
Cách giải:
Mặt cầu \left( S \right) có tâm I\left( {1;2;3} \right), bán kính R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} .
Ta có: d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3.
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của \left( S \right) và \left( {Oxy} \right), áp dụng định lí Pytago ta có:
{R^2} = {r^2} + {d^2} \Leftrightarrow {r^2} = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {14 - 9} = \sqrt 5
Chọn A.
Câu 6 (NB)
Phương pháp:
Hình chiếu của M\left( {a;b;c} \right) trên Oy là M'\left( {0;b;0} \right).
Cách giải:
Hình chiếu của M\left( {1;2;3} \right) trên trục Oy là: Q\left( {0;2;0} \right).
Chọn A.
Câu 7 (NB)
Phương pháp:
Thực hiện phép chia số phức tìm z.
Cách giải:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 1 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 5i}}{{1 - i}} = 3 - 2i.\end{array}
Chọn B.
Câu 8 (TH)
Phương pháp:
- Tìm các điểm biểu diễn số phức {z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}.
- Tam giác ABC vuông tại B thì \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0.
Cách giải:
Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức {z_1} = 1 + i, {z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i và {z_3} = a - i nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).
Ta có: \overrightarrow {BA} = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {a; - 3} \right).
Tam giác ABC vuông tại B thì \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0.
\Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = - 3
Chọn A.
Câu 9 (TH)
Phương pháp:
- Biến đổi {i^{2019}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i. Sử dụng {i^2} = - 1.
- Môđun của số phức z = a + bi là \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}
Chọn B.
Câu 10 (TH)
Phương pháp:
- Giải phương trình tìm {z_1},\,\,{z_2}.
- Số phức z = a + bi có số phức liên hợp \overline z = a - bi.
Cách giải:
Ta có:
{z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3i\\{z_2} = - 3i\end{array} \right.
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overline {{z_1}} = - 3i\\\overline {{z_2}} = 3i\end{array} \right. \Rightarrow \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = 0.
Chọn D.
Câu 11 (TH)
Phương pháp:
- Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
- Sử dụng công thức: d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.
Cách giải:
Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;1;1} \right).
Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2
Chọn C.
Câu 12 (NB)
Phương pháp:
Tìm vectơ \overrightarrow v và suy ra tọa độ.
Cách giải:
\begin{array}{l}\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c \\\overrightarrow v = 2\left( {1;2;3} \right) - 3\left( { - 2;4;1} \right) + 5\left( { - 1;3;4} \right)\\\overrightarrow v = \left( {2 + 6 - 5;4 - 12 + 15;6 - 3 + 20} \right)\\\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\end{array}
Chọn A.
Câu 13 (TH)
Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu.
- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right), \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = - \frac{1}{x} + C.
Cách giải:
\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}dx} \\ = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\end{array}
Chọn D.
Câu 14 (TH)
Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \Delta theo tham số t.
- MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 với \overrightarrow {{u_\Delta }} là 1 VTCP của đường thẳng \Delta .
Cách giải:
Vì H là hình chiếu của M lên \Delta nên H \in \Delta , gọi H\left( {1 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right).
\Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {5 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right).
Gọi \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;3; - 2} \right) là 1 VTCP của đường thẳng \Delta . Vì MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0.
\begin{array}{l} \Rightarrow - 1.\left( {5 - t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 2.\left( { - 2t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 5 + t - 6 + 9t + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{14}}\\ \Rightarrow H\left( {\frac{3}{{14}};\frac{5}{{14}};\frac{{ - 22}}{{14}}} \right)\\ \Rightarrow a = \frac{3}{{14}},\,\,b = \frac{5}{{14}},\,\,c = - \frac{{22}}{{14}}\end{array}
Vậy a + b + c = - 1.
Chọn D.
Câu 15 (NB)
Phương pháp:
- Đường thẳng \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right. có 1 VTPT là \overrightarrow u \left( {a;b;c} \right).
- Mọi vectơ cùng phương với \overrightarrow u đều là VTCP của đường thẳng trên.
Cách giải:
Đường thẳng \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right. có 1 VTCP là \overrightarrow u = \left( {2;3; - 4} \right).
Chọn D.
Câu 16 (TH) – Phương trình mặt cầu
Phương pháp:
- Mặt cầu \left( S \right) tâm I và đi qua điểm A có bán kính:
R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}}
- Mặt cầu \left( S \right) tâm I\left( {a;b;c} \right), bán kính R có phương trình {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.
Cách giải:
Mặt cầu \left( S \right) tâm I và đi qua điểm A có bán kính R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3.
Mặt cầu \left( S \right) tâm I\left( {1;0; - 1} \right), bán kính R = 3 có phương trình: {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.
Chọn B.
Câu 17 (NB)
Phương pháp:
Thay tọa độ từng điểm phương trình mặt phẳng, điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì thuộc mặt phẳng.
Cách giải:
Ta có: 2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0 nên điểm Q(1;-3;-4) thuộc mặt phẳng (P).
Chọn A.
Câu 18 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{e^x}dx} = {e^x} + C, \int {\sin xdx} = - \cos x + C.
Cách giải:
\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {{e^x} + \sin x} \right)dx} \\ = {e^x} - \cos x + C\end{array}.
Chọn C.
Câu 19 (TH)
Phương pháp:
- Đặt z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.
- Thay vào biểu thức tìm a,\,\,b.
Cách giải:
Đặt z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.
Theo bài ra ta có:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) - 7i\left( {a - bi} \right) = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a + 2bi - 3ai + 3b - 7ai - 7b = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a - 4b + \left( {2b - 10a} \right)i = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4b = 22\\2b - 10a = - 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 1 - 5i\end{array}
Vậy a + b = 1 + \left( { - 5} \right) = - 4.
Chọn B.
Câu 20 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C.
Cách giải:
\int {{3^{2x}}dx} = \int {{9^x}dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C
Chọn A.
Câu 21 (TH)
Phương pháp:
- Viết f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}. Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C.
- Thay x = 1, tìm C và suy ra F\left( x \right).
Cách giải:
\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\\ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}\end{array}
Vậy F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{1}{3}.
Chọn D.
Câu 22 (TH)
Phương pháp:
- Nhân khai triển số phức z.
- Số phức liên hợp của z = a + bi là \overline z = a - bi.
Cách giải:
\begin{array}{l}z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\\z = 3 + 2i - 3i + 2\\z = 5 - i\\ \Rightarrow \overline z = 5 + i\end{array}
Chọn B.
Câu 23 (NB)
Phương pháp:
Cho {z_1} = {a_1} + {b_1}i, {z_2} = {a_2} + {b_2}i \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.
Cách giải:
\begin{array}{l}z = {z_1} + {z_2}\\z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( { - 4 - 5i} \right)\\z = - 2 - 2i\end{array}
Chọn D.
Câu 24 (NB)
Phương pháp:
- Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có 1 VTPT là \overrightarrow n \left( {A;B;C} \right).
- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \overrightarrow n \left( {A;B;C} \right) đều là VTPT của mặt phẳng trên.
Cách giải:
Ta có: \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0, mặt phẳng có 1 VTPT là: \overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;3;2} \right).
Chọn A.
Câu 25 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của tích phân:
\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} với k \ne 0
\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)
\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx}
Cách giải:
Dễ thấy mệnh đề \int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} sai.
Chọn D.
Câu 26 (NB)
Phương pháp:
Trong mặt phẳng (Oxy), điểm M\left( {a;b} \right) biểu diễn số phức z = a + bi.
Cách giải:
Trong mặt phẳng (Oxy), điểm M\left( {3; - 1} \right) biểu diễn số phức z = 3 - i.
Chọn D.
Câu 27 (NB)
Phương pháp:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k thì tọa độ của điểm A là A\left( {x;y;z} \right).
Cách giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow k - \overrightarrow i . Tọa độ của điểm A là A\left( { - 1;0;3} \right).
Chọn B.
Câu 28 (NB)
Phương pháp:
Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0.
Cách giải:
Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0.
Chọn A.
Câu 29 (TH)
Phương pháp:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm.
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), trục hoành, đường thẳng x = a,\,\,x = b là S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^5} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right. .
\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right|\\ = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\end{array}
Chọn C.
Câu 30 (TH)
Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm M \in d theo ẩn t.
- Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng \left( P \right) tìm t.
Cách giải:
Vì M = d \cap \left( P \right) nên M \in d,\,\,M \in \left( P \right).
\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 1 + t;3 + t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow - 3 + 2t + 2\left( { - 1 + t} \right) - \left( {3 + t} \right) + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}
Vậy M\left( { - 1;0;4} \right).
Chọn A.
Câu 31 (VD)
Phương pháp:
- Đặt z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi.
- Thay vào biểu thức đề bài cho và suy ra biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa x,\,\,y.
Cách giải:
Đặt z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi.
Theo bài ra ta có:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x - yi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 \\= {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0\end{array}
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z + 2i} \right| là đường thẳng 4x - 2y - 1 = 0.
Chọn C.
Câu 32 (TH)
Phương pháp:
- Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính R = d\left( {A;\left( P \right)} \right).
- Khoảng cách từ A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) đến mặt phẳng \left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0 là d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.
- Mặt cầu \left( S \right) tâm A\left( {a;b;c} \right), bán kính R có phương trình {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.
Cách giải:
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính R = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2
Mặt cầu \left( S \right) tâm A\left( {2;1;1} \right), bán kính R = 2 có phương trình {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.
Chọn C.
Câu 33 (TH)
Phương pháp:
Hai mặt phẳng \left( \alpha \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0 và \left( \beta \right):\,\,A'x + B'y + C'z + D' = 0 song song khi và chỉ khi \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}.
Cách giải:
Hai mặt phẳng \left( \alpha \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0 và \left( \beta \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0 song song với nhau khi và chỉ khi
\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne - 2\end{array} \right.
\Rightarrow Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 34 (VD)
Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu, sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.
- Đồng nhất hệ số tìm m, n và tính S.
Cách giải:
\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = - \frac{1}{2} - \ln 2\\ \Rightarrow m = 2,\,\,n = - 1.\end{array}
Vậy S = m + n = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.
Chọn A.
Câu 35 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân:
+) \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}
+) \int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} với k \ne 0.
Cách giải:
\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \\I = 4\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + 2019\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \\I = 4.2 + 2019.1\\I = 2027\end{array}
Chọn D.
Câu 36 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{e^x}dx} = {e^x} + C, \int {dx} = x + C.
Cách giải:
\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\, = {e^1} + 2 - {e^0} - 0 = e + 1.\end{array}
Chọn A.
Câu 37 (NB)
Phương pháp:
Phần ảo của số phức z = a + bi là b.
Cách giải:
Phần ảo của số phức z = 2 - 3i là - 3.
Chọn C.
Câu 38 (TH)
Phương pháp:
- Tìm tọa độ trung điểm I của AB: \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right..
- Số phức được biểu diễn bởi điểm I\left( {a;b} \right) là z = a + bi.
Cách giải:
Dựa vào hình vẽ ta thấy A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right).
Gọi I là trung điểm của AB \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};2} \right).
Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức - \frac{1}{2} + 2i.
Chọn B.
Câu 39 (NB)
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.
Cách giải:
Thay tọa độ điểm \left( {0;6;8} \right) vào phương trình đường thẳng ta có: \left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 1.
Vậy điểm \left( {0;6;8} \right) thuộc đường thẳng d.
Chọn D.
Câu 40 (TH)
Phương pháp:
- Nhận xét (P) // (Q).
- d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) với M \in \left( P \right) bất kì.
- Khoảng cách từ M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) đến mặt phẳng \left( Q \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0 là
d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.
Cách giải:
Vì \frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 6}} nên \left( P \right)\parallel \left( Q \right).
Xét \left( P \right), cho x = z = 0 \Rightarrow y = - 9 \Rightarrow M\left( {0; - 9;0} \right) \in \left( P \right)
Vậy d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.\left( { - 9} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2
Chọn B.
Câu 41 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt t = {x^3} + 1.
Cách giải:
Đặt t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}dt
Đổi cận: \left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 9\end{array} \right..
Khi đó ta có: I = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}.6 = 2.
Chọn B.
Câu 42 (VD)
Phương pháp:
- Gọi M\left( {0;0;m} \right) \in Oz.
- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng \left( P \right) \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right).
- Sử dụng các công thức
MA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_M}} \right)}^2}}
- Khoảng cách từ M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) đến mặt phẳng \left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0 là
d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.
Cách giải:
Gọi M\left( {0;0;m} \right) \in Oz.
Ta có: MA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} .
d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}
Vì M cách đều điểm A và mặt phẳng \left( P \right) \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right).
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 14\left( {{m^2} - 8m + 16 + 13} \right) = {m^2} - 34m + 289\\ \Leftrightarrow 13{m^2} - 78m + 117 = 0\\ \Leftrightarrow 13\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 13{\left( {m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 3.\end{array}
Vậy M\left( {0;0;3} \right).
Chọn B.
Câu 43 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} .
Cách giải:
I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} .
Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right..
\Rightarrow I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} .
Chọn C.
Câu 44 (NB)
Phương pháp:
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right).
Cách giải:
Cho hai điểm A\left( { - 2; - 1;3} \right) và B\left( {0;3;1} \right). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \left( { - 1;1;2} \right).
Chọn C.
Câu 45 (NB)
Phương pháp:
Số phức z = a + bi có môđun \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .
Cách giải:
\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 .
Chọn B.
Câu 46 (NB)
Phương pháp:
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0 và y = f\left( x \right). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .
Cách giải:
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} .
Chọn C.
Câu 47 (TH)
Phương pháp:
- Tính thời điểm t khi vận tốc đạt 200 m/s.
- Sử dụng công thức s = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} .
Cách giải:
Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200 m/s là: {t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow t = 10\,\,\left( s \right).
Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng từ thời điểm t = 0\,\,\left( s \right) tới thời điểm t = 10\,\,\left( s \right) là:
s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dx} = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)
Chọn C.
Câu 48 (VDC)
Phương pháp:
- Sử dụng công thức \left( {uv} \right)' = u'v + uv'.
- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{l}\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'\\ = f''\left( x \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right).f'\left( x \right)\\ = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\end{array}
Do đó: \left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\begin{array}{l}\int {\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\end{array}
Thay x = 0 ta có: f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1.
\Rightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1
Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\begin{array}{l}\int {f'\left( x \right)f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + C'\end{array}
Thay x = 0 ta có: \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{2} = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{2}.
\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\end{array}
Vậy {f^2}\left( 1 \right) = 1 + 4 + 2 + 1 = 8.
Chọn A.
Câu 49 (VDC)
Phương pháp:
- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) là đường kính.
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right).
- Tham số hóa tọa độ điểm A, B. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. với \overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} lần lượt là VTCP của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right).
- Viết phương trình mặt cầu.
Cách giải:
Gọi \overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;0} \right) và \overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1; - 1} \right) lần lượt là 1 VTCP của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right).
Gọi AB là đoạn vuông góc chung của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right), với A\left( {4 - 2t;t;3} \right) \in {d_1}, B\left( {1;t'; - t'} \right) \in {d_2}.
Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( { - 3 + 2t;\,\,t' - t;\,\, - t' - 3} \right).
Vì AB là đoạn vuông góc chung của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) nên \left\{ \begin{array}{l}AB \bot {d_1}\\AB \bot {d_2}\end{array} \right..
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2t - 3} \right).\left( { - 2} \right) + t' - t = 0\\t' - t + t' + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = - 1\end{array} \right.
\Rightarrow A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {1; - 1;1} \right).
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) nhận AB là đường kính.
\Rightarrow Tâm mặt cầu là trung điểm của AB, có tọa độ I\left( {\frac{3}{2};0;2} \right), bán kính R = IA = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + 1} = \frac{3}{2}.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}.
Chọn D.
Câu 50 (VDC)
Phương pháp:
- Giải các phương trình hoành độ giao điểm để xác định các cận.
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right), đường thẳng x = a,\,\,x = b là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .
Cách giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{8} \Leftrightarrow x = 0\\2{x^2} = - x + 6 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\frac{{{x^2}}}{8} = - x + 6 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {x \ge 0} \right)\end{array}
Vậy S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^4 {\left( { - x + 6 - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} = \frac{{185}}{{24}}
Chọn C.
Nguồn: Sưu tầm
Loigiaihay.com


- Đề số 7 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12
- Đề số 8 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12
- Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12
- Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12
- Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |