Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12


Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12

Đề bài

Câu 1: Cho các số phức z1=1+3i, z2=53i. Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức z3, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x2y+1=0 và môđun của số phức w=3z3z22z1 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M(35;15) B. M(35;15)

C. M(35;15)                   D. M(35;15)

Câu 2: Trong không gian Oxyz cho A(1;1;2), B(2;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z+1=0. Mặt phẳng (Q) chứa A,B và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

A. x+y+z2=0

B. 3x2yz3=0

C. 3x2yz+3=0

D. x+y=0

Câu 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z22x+4y6z+9=0. Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là:

A. I(1;2;3)R=5

B. I(1;2;3)R=5

C. I(1;2;3)R=5

D. I(1;2;3)R=5

Câu 4: Gọi z1,z2 là các nghiệm của phương trình z24z+9=0. Giả sử M,N là các điểm biểu diễn hình học của z1,z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:

A. 5                         B. 4

C. 25                       D. 5

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z22x4y6z=0. Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là:

A. 5                         B. 4

C. 25                       D. 5

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hình chiếu của M trên trục Oy là:

A. Q(0;2;0)

B. S(0;0;3)

C. R(1;0;0)

D. P(1;0;3)

Câu 7: Tìm số phức z biết: (1i)z1+5i=0.

A. z=32i

B. z=32i

C. z=3+2i

D. z=3+2i

Câu 8: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C lần lượt biểu diễn ba số phức z1=1+i, z2=(1+i)2z3=ai. Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng:

A. 3                               B. 2

C. 3                                   D. 4

Câu 9: Tính môđun của số phức z=2+i+i2019.

A. |z|=5

B. |z|=2

C. |z|=22

D. |z|=10

Câu 10: Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+9=0. Tính ¯z1+¯z2.

A. ¯z1+¯z2=3

B. ¯z1+¯z2=4i

C. ¯z1+¯z2=9i

D. ¯z1+¯z2=0

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài
đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. 3                         B. 32

C. 2                         D. 6

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ a=(1;2;3), b=(2;4;1), c=(1;3;4). Véc tơ v=2a3b+5c có toạ độ là:

A. v=(3;7;23)

B. v=(23;7;3)

C. v=(7;3;23)

D. v=(7;23;3)

Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x4+3x2.

A. 2x33x+C

B. 2x33+3x+C

C. 2x33+32x+C

D. 2x333x+C

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (-4;0;0) và đường thẳng Δ:{x=1ty=2+3tz=2t. Gọi H(a;b;c) là chân hình chiếu từ lên Δ. Tính a + b + c.

A. 5                                        B. 7

C. -3                                       D. -1

Câu 15: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận u=(2;3;4) làm véc tơ chỉ phương?
(với tR).

A. {x=1+2ty=23tz=24t

B. {x=2+ty=3+3tz=4+t  

C. {x=2+ty=3+5tz=43t

D. {x=1+2ty=3+3tz=24t

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm I(1;0;1), A(2;2;3). Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A. (x+1)2+y2+(z1)2=3

B. (x1)2+y2+(z+1)2=9

  C. (x+1)2+y2+(z1)2=9

D. (x1)2+y2+(z+1)2=3

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng (P)?

A. Q(1;-3;-4)

B. P(1;-2;0)  

C. N(0;1;-2)

D. M(2;-1;1)

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=ex+sinx là:

A. F(x)=ex+cosx+C

B. F(x)=exsinx+C

C. F(x)=excosx+C

D. F(x)=ex+sinx+C

Câu 19: Cho số phức z=a+bi(a,bR) theo điều kiện (23i)z7i¯z=2220i. Tính S=a+b.

A. S=3

B. S=4

C. S=6

D. S=2

Câu 20: Chọn khẳng định đúng?

A. 32xdx=32xln9+C

B. 32xdx=32xln3+C

C. 32xdx=32x+12x+1+C

D. 32xdx=9xln3+C

Câu 21: Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=xF(1)=1.

A. F(x)=12x+12

B. F(x)=23xx

C. F(x)=23xx53

D. F(x)=23xx+13

Câu 22: Tìm số phức liên hợp của số phức z=(1i)(3+2i).

A. ¯z=1i

B. ¯z=5+i

C. ¯z=5i         D. ¯z=1+i

Câu 23: Cho số phức z1=2+3i, z2=45i. Tính z=z1+z2.

A. z=2+2i

B. z=2+2i

C. z=22i

D. z=22i

Câu 24: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng x1+y2+z3=1 là:

A. n1=(6;3;2)

B. n2=(6;2;3)

C. n3=(3;6;2)

D. n4=(2;3;6)

Câu 25: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. kf(x)dx=kf(x)dx với k0

B. (f(x)dx)=f(x)

C. [f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx

D. [f(x).g(x)]dx=f(x)dx.g(x)dx

Câu 26: Trong mặt phẳng (Oxy), điểm M(3;1) biểu diễn số phức

A. z=1+3i  

B. z=3+i

C. z=13i

D. z=3i

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA=3ki. Tọa độ của điểm A là

A. A(3;0;1)  

B. A(1;0;3)

C. A(1;3;0)

D. A(3;1;0)

Câu 28: Trong không gian Oxyz phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng
(Oyz)?

A. x=0

B. y+z=0

C. x=y+z

D. yz=0

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x5x3 và trục hoành:

A. S=136

B. S=76

C. S=16

D. S=176

Câu 30: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x+32=y+11=z31 và mặt phẳng (P):x+2yz+5=0. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

A. M(1;0;4)

B. M(0;0;5)

C. M(5;2;2)

D. M(3;1;3)

Câu 31: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn |z2i|=|¯z+2i| là đường thẳng nào?

A. 4x+2y1=0

B. 4x2y+1=0

C. 4x2y1=0

D. 4x6y1=0

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P):2xy+2z+1=0. Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. (x2)2+(y1)2+(z1)2=9  

B. (x2)2+(y1)2+(z1)2=2

C. (x2)2+(y1)2+(z1)2=4

D. (x2)2+(y1)2+(z1)2=36

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α):x+2yz1=0(β):2x+4ymz2=0 . Tìm m để hai mặt phẳng (α)(β) song song với nhau

A. m=1

B. Không tồn tại m

C. m=2

D. m=2

Câu 34: Biết 10x22x+1dx=1m+nln2 với m,nZ. Tính S=m+n.

A. S=1  

B. S=4

C. S=1

D. S=5

Câu 35: Cho 31f(x)dx=231g(x)dx=1. Tính I=31[4f(x)+2019g(x)]dx.

A. 2025                             B. 2019

C. 2021                            D. 2027

Câu 36: Tính tích phân I=10(ex+2)dx.

A. I=e+1  

B. I=e+2

C. I=e+3

D. I=e1

Câu 37: Phần ảo của số phức z=23i là:

A. 2                                   B. 3

C. 3                               D. 3i

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

A. 1+2i  

B. 12+2i

C. 2i

D. 212i

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d:{x=1+ty=24tz=35t,tR. Hỏi d đi qua điểm nào dưới
đây?

A. (3;6;8)  

B. (1;4;5)

C. (1;2;3)

D. (0;6;8)

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2xy2z9=0(Q):4x2y4z6=0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P)(Q) bằng

A. 0                                   B. 2

C. 1                                  D. 3

Câu 41: Cho tích phân 92f(x)dx=6. Tính tích phân I=21x2f(x3+1)dx.

A. I=3                              B. I=2

C. I=8                              D. I=4

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và
mặt phẳng (P):2x+3y+z17=0.

A. M(0;0;3)  

B. M(0;0;3)

C. M(0;0;4)

D. M(0;0;4)

Câu 43: Cho tích phân I=π0x2cosxdx và đặt u=x2,dv=cosxdx. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?

A. I=x2sinx|π0π0x.sinxdx

B. I=x2.sinx|π0+2π0x.sinxdx

 C. I=x2sinx|π02π0x.sinxdx

D. I=x2sinx|π0+π0x.sinxdx

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3)B(0;3;1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. (2;4;2)

B. (2;2;4)

C. (1;1;2)

D. (2;4;2)

Câu 45: Cho số phức z=12i. Tính |z|.

A. |z|=5  

B. |z|=5

C. |z|=3

D. |z|=2

Câu 46: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x=0, x=1, y=0y=2x+1. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. V=10(2x+1)dx  

B. V=π102x+1dx

C. V=π10(2x+1)dx

D. V=102x+1dx

Câu 47: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t)=t2+10t(m/s) với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:

A. 40003(m) 

B. 500(m)

C. 25003(m)

D. 2000(m)

Câu 48: Cho hàm số f(x) thỏa mãn (f(x))2+f(x).f(x)=15x4+12x,xRf(0)=f(0)=1. Giá trị của f2(1) bằng:

A. 8                                   B. 52

C. 10                                D. 4

Câu 49: Cho đường thẳng d1:{x=42ty=tz=3(tR)d2:{x=1y=tz=t(tR). Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1),(d2) là:

A. (x+32)2+y2+(z+2)2=94 

B. (x+32)2+y2+(z+2)2=32

 C. (x32)2+y2+(z2)2=32

D. (x32)2+y2+(z2)2=94

Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=2x2, y=x28, y=x+6. Tính diện tích hình phẳng D nằm bên phải của trục tung

A. S=1075192  

B. S=13564

C. S=18524

D. S=33596

Lời giải chi tiết

1. A

2. B

3. B

4. C

5. A

6. A

7. B

8. A

9. B

10. D

11. C

12. A

13. D

14. D

15. D

16. B

17. A

18. C

19. B

20. A

21. D

22. B

23. D

24. A

25. D

26. D

27. B

28. A

29. C

30. A

31. C

32. C

33. B

34. A

35. D

36. A

37. C

38. B

39. D

40. B

41. B

42. B

43. C

44. C

45. B

46. C

47. C

48. A

49. D

50. C

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

- Gọi M(2a1;a) thuộc đường thẳng x2y+1=0 Số phức z3.

- Tính w và tính |w|.

- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.

Cách giải:

Gọi M(2a1;a) thuộc đường thẳng x2y+1=0 z3=2a1+ai.

Khi đó ta có:

w=3z3z22z1w=3(2a1+ai)(53i)2(1+3i)w=(6a3+52)+(3a+36)iw=6a+(3a3)i

|w|=(6a)2+(3a3)2|w|=45a218a+9|w|=45(a225a)+9|w|=45(a22.a.15+125)95+9|w|=45(a15)2+365|w|365=65|w|min

Vậy {\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right).

Chọn A. 

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

- \left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right].

- Phương trình mặt phẳng đi qua M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) và có 1 VTPT \overrightarrow n \left( {A;B;C} \right) là:

A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.

Cách giải:

Gọi \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right) là 1 VTPT của mặt phẳng \left( P \right), \overrightarrow {{n_Q}} là 1 VTPT của mặt phẳng \left( Q \right).

Ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 1} \right).

\left\{ \begin{array}{l}A,\,\,B \in \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right).

Vậy phương trình mặt phẳng \left( Q \right) là:

3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0.

Chọn B. 

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu \left( S \right)\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I\left( {a;b;c} \right), bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} với {a^2} + {b^2} + {c^2} > d.

Cách giải:

Mặt cầu \left( S \right) có phương trình: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0 có tâm I\left( {1; - 2;3} \right), bán kính R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 9}  = \sqrt 5 .

Chọn B. 

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai tìm {z_1},\,\,{z_2}.

- Tìm các điểm M,\,\,N. Điểm biểu diễn số phức z = a + biM\left( {a;b} \right).

- Tính độ dài đoạn thẳng

MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}}

Cách giải:

Ta có: {z^2} - 4z + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 5 i\end{array} \right.

\Rightarrow M\left( {2;\sqrt 5 } \right)N\left( {2; - \sqrt 5 } \right).

Vậy MN = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 5  - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5

Chọn C.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

- Xác định tâm và mặt cầu \left( S \right):

Mặt cầu \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0  có tâm I\left( {a;b;c} \right), bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} với {a^2} + {b^2} + {c^2} > d.

- Tính d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right).

- Áp dụng định lí Pytago: {R^2} = {r^2} + {d^2} với r là bán kính đường tròn giao tuyến của \left( S \right)\left( {Oxy} \right).

Cách giải:

Mặt cầu \left( S \right) có tâm I\left( {1;2;3} \right), bán kính R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}}  = \sqrt {14} .

Ta có: d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3.

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của \left( S \right)\left( {Oxy} \right), áp dụng định lí Pytago ta có:

{R^2} = {r^2} + {d^2} \Leftrightarrow {r^2} = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {14 - 9}  = \sqrt 5

Chọn A.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Hình chiếu của M\left( {a;b;c} \right) trên OyM'\left( {0;b;0} \right).

Cách giải:

Hình chiếu của M\left( {1;2;3} \right) trên trục Oy là: Q\left( {0;2;0} \right).

Chọn A.

Câu 7 (NB)

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức tìm z.

Cách giải:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {1 - i} \right)z - 1 + 5i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 1 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 5i}}{{1 - i}} = 3 - 2i.\end{array}

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

- Tìm các điểm biểu diễn số phức {z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}.

- Tam giác ABC vuông tại B thì \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0.

Cách giải:

Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức {z_1} = 1 + i, {z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i{z_3} = a - i nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).

Ta có: \overrightarrow {BA}  = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a; - 3} \right).

Tam giác ABC vuông tại B thì \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0.

\Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3

Chọn A.

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

- Biến đổi {i^{2019}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i. Sử dụng {i^2} =  - 1.

- Môđun của số phức z = a + bi\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .

Cách giải:

Ta có:

\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}

Chọn B.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình tìm {z_1},\,\,{z_2}.

- Số phức z = a + bi có số phức liên hợp \overline z  = a - bi.

Cách giải:

Ta có:

{z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3i\\{z_2} =  - 3i\end{array} \right.

\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overline {{z_1}}  =  - 3i\\\overline {{z_2}}  = 3i\end{array} \right. \Rightarrow \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 0.

Chọn D.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

- Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

- Sử dụng công thức: d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.

Cách giải:

Ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;1;1} \right).

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2

Chọn C.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Tìm vectơ \overrightarrow v   và suy ra tọa độ.

Cách giải:

\begin{array}{l}\overrightarrow v  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c \\\overrightarrow v  = 2\left( {1;2;3} \right) - 3\left( { - 2;4;1} \right) + 5\left( { - 1;3;4} \right)\\\overrightarrow v  = \left( {2 + 6 - 5;4 - 12 + 15;6 - 3 + 20} \right)\\\overrightarrow v  = \left( {3;7;23} \right)\end{array}

Chọn A.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right), \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  =  - \frac{1}{x} + C.

Cách giải:

\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}dx} \\ = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\end{array}

Chọn D.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \Delta theo tham số t.

- MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 với \overrightarrow {{u_\Delta }} là 1 VTCP của đường thẳng \Delta .

Cách giải:

Vì H là hình chiếu của M lên \Delta nên H \in \Delta , gọi H\left( {1 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right).

\Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {5 - t; - 2 + 3t; - 2t} \right).

Gọi \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;3; - 2} \right) là 1 VTCP của đường thẳng \Delta . Vì MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0.

\begin{array}{l} \Rightarrow  - 1.\left( {5 - t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 2.\left( { - 2t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 5 + t - 6 + 9t + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{14}}\\ \Rightarrow H\left( {\frac{3}{{14}};\frac{5}{{14}};\frac{{ - 22}}{{14}}} \right)\\ \Rightarrow a = \frac{3}{{14}},\,\,b = \frac{5}{{14}},\,\,c =  - \frac{{22}}{{14}}\end{array}

Vậy a + b + c =  - 1.

Chọn D.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right. có 1 VTPT là \overrightarrow u \left( {a;b;c} \right).

- Mọi vectơ cùng phương với \overrightarrow u đều là VTCP của đường thẳng trên.

Cách giải:

Đường thẳng \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right. có 1 VTCP là \overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right).

Chọn D.

Câu 16 (TH) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

- Mặt cầu \left( S \right) tâm I và đi qua điểm A có bán kính:

R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}}

- Mặt cầu \left( S \right) tâm I\left( {a;b;c} \right), bán kính R có phương trình {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.

Cách giải:

Mặt cầu \left( S \right) tâm I và đi qua điểm A có bán kính R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 3.

 Mặt cầu \left( S \right) tâm I\left( {1;0; - 1} \right), bán kính R = 3 có phương trình: {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.

Chọn B.

Câu 17 (NB)

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm phương trình mặt phẳng, điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì thuộc mặt phẳng.

Cách giải:

Ta có: 2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0 nên điểm Q(1;-3;-4) thuộc mặt phẳng (P).

Chọn A.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{e^x}dx}  = {e^x} + C, \int {\sin xdx}  =  - \cos x + C.

Cách giải:

\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {{e^x} + \sin x} \right)dx} \\ = {e^x} - \cos x + C\end{array}.

Chọn C.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Đặt z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.

- Thay vào biểu thức tìm a,\,\,b.

Cách giải:

Đặt z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)z - 7i\overline z  = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) - 7i\left( {a - bi} \right) = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a + 2bi - 3ai + 3b - 7ai - 7b = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow 2a - 4b + \left( {2b - 10a} \right)i = 22 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4b = 22\\2b - 10a =  - 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 1 - 5i\end{array}

Vậy a + b = 1 + \left( { - 5} \right) =  - 4.

Chọn B.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C.

Cách giải:

\int {{3^{2x}}dx}  = \int {{9^x}dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 9}} + C

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Viết f\left( x \right) = \sqrt x  = {x^{\frac{1}{2}}}. Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C.

- Thay x = 1, tìm C và suy ra F\left( x \right).

Cách giải:

\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\sqrt x dx}  = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}x\sqrt x  + C\\ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}\end{array}

Vậy F\left( x \right) = \frac{2}{3}x\sqrt x  + \frac{1}{3}.

Chọn D.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Nhân khai triển số phức z.

- Số phức liên hợp của z = a + bi\overline z  = a - bi.

Cách giải:

\begin{array}{l}z = \left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\\z = 3 + 2i - 3i + 2\\z = 5 - i\\ \Rightarrow \overline z  = 5 + i\end{array}

Chọn B.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Cho {z_1} = {a_1} + {b_1}i, {z_2} = {a_2} + {b_2}i \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.

Cách giải:

\begin{array}{l}z = {z_1} + {z_2}\\z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( { - 4 - 5i} \right)\\z =  - 2 - 2i\end{array}

Chọn D.

Câu 24 (NB)

Phương pháp:

- Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có 1 VTPT là \overrightarrow n \left( {A;B;C} \right).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \overrightarrow n \left( {A;B;C} \right) đều là VTPT của mặt phẳng trên.

Cách giải:

Ta có: \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0, mặt phẳng có 1 VTPT là: \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;3;2} \right).

Chọn A.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của tích phân:

\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} với k \ne 0 

\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right)

\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx}

Cách giải:

Dễ thấy mệnh đề \int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} sai.

Chọn D.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

Trong mặt phẳng (Oxy), điểm M\left( {a;b} \right) biểu diễn số phức z = a + bi.

Cách giải:

Trong mặt phẳng (Oxy), điểm M\left( {3; - 1} \right) biểu diễn số phức z = 3 - i.

Chọn D.

Câu 27 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow {OA}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k thì tọa độ của điểm A là A\left( {x;y;z} \right).

Cách giải:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow k  - \overrightarrow i . Tọa độ của điểm A là A\left( { - 1;0;3} \right).

Chọn B.

Câu 28 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0.

Cách giải:

Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0.

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right), trục hoành, đường thẳng x = a,\,\,x = bS = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^5} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right. .

\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx}  + \int\limits_0^1 {\left| {{x^5} - {x^3}} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^5} - {x^3}} \right)dx} } \right|\\ = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\end{array}

Chọn C.

Câu 30 (TH)

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm M \in d theo ẩn t.

- Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng \left( P \right) tìm t.

Cách giải:

M = d \cap \left( P \right) nên M \in d,\,\,M \in \left( P \right).

\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 1 + t;3 + t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow  - 3 + 2t + 2\left( { - 1 + t} \right) - \left( {3 + t} \right) + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}

Vậy M\left( { - 1;0;4} \right).

Chọn A.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Đặt z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi.

- Thay vào biểu thức đề bài cho và suy ra biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa x,\,\,y.

Cách giải:

Đặt z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi.

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x - yi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 \\= {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0\end{array}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right| là đường thẳng 4x - 2y - 1 = 0.

Chọn C.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

- Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính R = d\left( {A;\left( P \right)} \right).

- Khoảng cách từ A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) đến mặt phẳng \left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.

- Mặt cầu \left( S \right) tâm A\left( {a;b;c} \right), bán kính R có phương trình {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.

Cách giải:

Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là có bán kính R = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2

Mặt cầu \left( S \right) tâm A\left( {2;1;1} \right), bán kính R = 2 có phương trình {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.

Chọn C.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Hai mặt phẳng \left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\left( \beta  \right):\,\,A'x + B'y + C'z + D' = 0 song song khi và chỉ khi \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}.

Cách giải:

Hai mặt phẳng \left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0 song song với nhau khi và chỉ khi

\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.

\Rightarrow Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 34 (VD)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu, sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

- Đồng nhất hệ số tìm m, n và tính S.

Cách giải:

\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ =  - \frac{1}{2} - \ln 2\\ \Rightarrow m = 2,\,\,n =  - 1.\end{array}

Vậy S = m + n = 2 + \left( { - 1} \right) = 1.

Chọn A.

Câu 35 (TH) 

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân:

+) \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}

+) \int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} với k \ne 0.

Cách giải:

\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\left[ {4f\left( x \right) + 2019g\left( x \right)} \right]dx} \\I = 4\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  + 2019\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \\I = 4.2 + 2019.1\\I = 2027\end{array}

Chọn D.

Câu 36 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \int {{e^x}dx}  = {e^x} + C, \int {dx}  = x + C.

Cách giải:

\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 2} \right)dx}  = \left. {\left( {{e^x} + 2x} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\, = {e^1} + 2 - {e^0} - 0 = e + 1.\end{array}

Chọn A.

Câu 37 (NB)

Phương pháp:

Phần ảo của số phức z = a + bib.

Cách giải:

Phần ảo của số phức z = 2 - 3i - 3.

Chọn C.

Câu 38 (TH)

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm I của AB: \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right..

- Số phức được biểu diễn bởi điểm I\left( {a;b} \right)z = a + bi.

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right).

Gọi I là trung điểm của AB \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};2} \right).

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức - \frac{1}{2} + 2i.

Chọn B.

Câu 39 (NB)

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \left( {0;6;8} \right) vào phương trình đường thẳng ta có: \left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1.

Vậy điểm \left( {0;6;8} \right) thuộc đường thẳng d.

Chọn D.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

- Nhận xét (P) // (Q).

- d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) với M \in \left( P \right) bất kì.

- Khoảng cách từ M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) đến mặt phẳng \left( Q \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0

d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.

Cách giải:

\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 6}} nên \left( P \right)\parallel \left( Q \right).

Xét \left( P \right), cho x = z = 0 \Rightarrow y =  - 9 \Rightarrow M\left( {0; - 9;0} \right) \in \left( P \right)

Vậy  d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.\left( { - 9} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2

Chọn B.

Câu 41 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt t = {x^3} + 1.

Cách giải:

Đặt t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}dt

Đổi cận: \left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 9\end{array} \right..

Khi đó ta có: I = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{3}\int\limits_2^9 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}.6 = 2.

Chọn B.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Gọi M\left( {0;0;m} \right) \in Oz.

- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng \left( P \right) \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right).

- Sử dụng các công thức

MA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_M}} \right)}^2}}

- Khoảng cách từ M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) đến mặt phẳng \left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0 là 

d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.

Cách giải:

Gọi M\left( {0;0;m} \right) \in Oz.

Ta có: MA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} .

d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}

M cách đều điểm A và mặt phẳng \left( P \right) \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right).

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13}  = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 14\left( {{m^2} - 8m + 16 + 13} \right) = {m^2} - 34m + 289\\ \Leftrightarrow 13{m^2} - 78m + 117 = 0\\ \Leftrightarrow 13\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 13{\left( {m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 3.\end{array}

Vậy M\left( {0;0;3} \right).

Chọn B.

Câu 43 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} .

Cách giải:

I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} .

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right..

\Rightarrow I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} .

Chọn C.

Câu 44 (NB)

Phương pháp:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right).

Cách giải:

Cho hai điểm A\left( { - 2; - 1;3} \right)B\left( {0;3;1} \right). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \left( { - 1;1;2} \right).

Chọn C.

Câu 45 (NB)

Phương pháp:

Số phức z = a + bi có môđun \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .

Cách giải:

\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 .

Chọn B.

Câu 46 (NB)

Phương pháp:

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0y = f\left( x \right). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .

Cách giải:

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)dx} .

Chọn C.

Câu 47 (TH)

Phương pháp:

- Tính thời điểm t khi vận tốc đạt 200 m/s.

- Sử dụng công thức s = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} .

Cách giải:

Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200 m/s là: {t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow t = 10\,\,\left( s \right).

Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng từ thời điểm t = 0\,\,\left( s \right) tới thời điểm t = 10\,\,\left( s \right) là:

s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dx}  = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3}\,\,\left( m \right)

Chọn C.

Câu 48 (VDC)

Phương pháp:

- Sử dụng công thức \left( {uv} \right)' = u'v + uv'.

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Cách giải:

Ta có:

\begin{array}{l}\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'\\ = f''\left( x \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right).f'\left( x \right)\\ = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\end{array}

Do đó: \left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\begin{array}{l}\int {\left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]'dx}  = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\end{array}

Thay x = 0 ta có: f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1.

\Rightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1

Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\begin{array}{l}\int {f'\left( x \right)f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + C'\end{array}

Thay x = 0 ta có: \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{2} = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{2}.

\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\end{array}

Vậy {f^2}\left( 1 \right) = 1 + 4 + 2 + 1 = 8.

Chọn A.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) là đường kính.

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right).

- Tham số hóa tọa độ điểm A, B. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right. với \overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} lần lượt là VTCP của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right).

- Viết phương trình mặt cầu.

Cách giải:

Gọi \overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;0} \right)\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;1; - 1} \right) lần lượt là 1 VTCP của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right).

Gọi AB là đoạn vuông góc chung của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right),  với A\left( {4 - 2t;t;3} \right) \in {d_1}, B\left( {1;t'; - t'} \right) \in {d_2}.

Ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3 + 2t;\,\,t' - t;\,\, - t' - 3} \right).

Vì AB là đoạn vuông góc chung của \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) nên \left\{ \begin{array}{l}AB \bot {d_1}\\AB \bot {d_2}\end{array} \right..

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2t - 3} \right).\left( { - 2} \right) + t' - t = 0\\t' - t + t' + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' =  - 1\end{array} \right.

\Rightarrow A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {1; - 1;1} \right).

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right) nhận AB là đường kính.

\Rightarrow Tâm mặt cầu là trung điểm của AB, có tọa độ I\left( {\frac{3}{2};0;2} \right), bán kính R = IA = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + 1}  = \frac{3}{2}.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{9}{4}.

Chọn D.

Câu 50 (VDC)

Phương pháp:

- Giải các phương trình hoành độ giao điểm để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right), đường thẳng x = a,\,\,x = b là: S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .

Cách giải:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{8} \Leftrightarrow x = 0\\2{x^2} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\frac{{{x^2}}}{8} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {x \ge 0} \right)\end{array}

Vậy S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^4 {\left( { - x + 6 - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx} = \frac{{185}}{{24}}

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.