Bài 6 trang 26 SGK Hình học lớp 12

Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

Giải bài 6 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’.

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thằng \(AB\) có độ dài \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) là độ dài đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\), \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\). Qua \(B, A, C\) dựng hình bình hành \(BACF\). Qua \(A,C, D\) dựng hình bình hành \(ACDE\).

Khi đó \(CFD.ABE\) là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:

\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]

Kẻ \(AH \bot \left( {CDF} \right)\) ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.V_{CFD.ABE} =  \frac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left( {CDF} \right) \supset CD\\\Rightarrow d\left( {d;d'} \right) = d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDF} \right)} \right) \end{array}\)

                     \(= d\left( {A;\left( {CDF}\right)} \right) = AH = h\)

\(AB//CF \Rightarrow \widehat {\left( {d;d'} \right)} = \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {CF;CD} \right)} = \widehat {DCF} = \alpha \)

\( \Rightarrow {S_{CDF}} = \frac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \)

Vậy \(V_{ABCD}=\frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{1}{6}.h. ab. sinα = const\). (đpcm)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan