Bài 6 trang 26 SGK Hình học lớp 12


Giải bài 6 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’.

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) là độ dài đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\), \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\). Qua \(B, A, C\) dựng hình bình hành \(BACF\). Qua \(A,C, D\) dựng hình bình hành \(ACDE\).

Khi đó \(CFD.ABE\) là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:

\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]

Kẻ \(AH \bot \left( {CDF} \right)\) ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.V_{CFD.ABE} =  \dfrac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left( {CDF} \right) \supset CD\\\Rightarrow d\left( {d;d'} \right) = d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDF} \right)} \right) \end{array}\)

\(= d\left( {A;\left( {CDF}\right)} \right) = AH = h\)

\(AB//CF \Rightarrow \widehat {\left( {d;d'} \right)} = \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {CF;CD} \right)} = \widehat {DCF} = \alpha \)

\( \Rightarrow {S_{CDF}} = \dfrac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \dfrac{1}{2}ab\sin \alpha \)

Vậy \(V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.h.\dfrac{1}{2}ab\sin \alpha =\dfrac{1}{6}.h. ab. sinα = const\). (đpcm)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.2 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài