Bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12


Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Dựng các điểm F và E.

+) Chứng minh tam giác CEF vuông tại E \( \Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF.EC\)

+) \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF.EC \) \(= \dfrac{1}{6}DF.EF.EC\)

+) Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.

Lời giải chi tiết

\(\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\)\( \Rightarrow BA\bot (ADC)\) \(\Rightarrow BA \bot CE\)

Mặt khác \(BD \bot (CEF) \Rightarrow BD \bot CE\).

Từ đó suy ra

\(CE \bot (ABD) \Rightarrow CE ⊥ EF, CE \bot AD\).

Vì tam giác \(ACD\) vuông cân, \(AC= CD= a\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}}  \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Suy ra \(CE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \),

\(BD  = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} \) \(= \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CF\cdot BD = DC\cdot BC\) nên \(CF = \frac{{DC.BC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Từ đó suy ra 

\(EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a\)

\(DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}\) \(=\sqrt{a^{2}-\dfrac{2}{3}a^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)

Từ đó suy ra \(S_{\Delta CEF}=\dfrac{1}{2}FE\cdot EC\) \(=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)

Vậy \(V_{D.CEF}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF\) \(=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{36}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 12 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài