Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Dựng các điểm \(F\) và \(E.\)

Bước 2: Tìm chiều cao và đáy tương ứng:  \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) 

Bước 3: Chứng minh tam giác \(CEF\) vuông tại \(E  \Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF.EC\)

Suy ra \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF.EC \) 

Lời giải chi tiết

Ta có: \(BD \bot (CEF)\) hay \(DF \bot (CEF)\)do đó ta đã biết chiều cao của tứ diện \(DCEF.\)

Để tính thể tích tứ diện này, ta đi tính diện tích đáy tương ứng là \({S_{\Delta EFC}}\)

Dễ thấy: \(\Delta EFC\) vuông tại \(E,\) vì:

\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot DA\\CE \bot BD\;(do\;BD \bot (CEF))\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot (BDA) \supset EF \Rightarrow CE \bot EF.\)

Vậy ta đi tính các cạnh \(CE, EF.\)

+) Tính \(CE\)

Do \(DC \bot (ABC)\) nên \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao \(CE = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

+) Tính \(EF\):

Xét vuông tại \(C\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC = AC = a\\BC = AB.\sqrt 2  = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \\ \text {Mà:}\;CF.BD = DC.BC\\ \Rightarrow CF = \dfrac{{DC.BC}}{{BD}} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\\ \Rightarrow EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{2a}}{3} - \dfrac{a}{2}}  = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta EFC}} = \dfrac{1}{2}CE.EF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt[{}]{2}}}.\dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

+) Chiều cao \(DF\)

\(DF = \sqrt {D{C^2} - C{F^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\)

 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 20 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.