Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Dựng các điểm F và E.

+) Chứng minh tam giác CEF vuông tại E \( \Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF.EC\)

+) \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF.EC \) \(= \dfrac{1}{6}DF.EF.EC\)

+) Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.

Lời giải chi tiết

\(\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\)\( \Rightarrow BA\bot (ADC)\) \(\Rightarrow BA \bot CE\)

Mặt khác \(BD \bot (CEF) \Rightarrow BD \bot CE\).

Từ đó suy ra

\(CE \bot (ABD) \Rightarrow CE ⊥ EF, CE \bot AD\).

Vì tam giác \(ACD\) vuông cân, \(AC= CD= a\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}}  \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Suy ra \(CE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \),

\(BD  = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} \) \(= \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CF\cdot BD = DC\cdot BC\) nên \(CF = \frac{{DC.BC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Từ đó suy ra 

\(EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a\)

\(DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}\) \(=\sqrt{a^{2}-\dfrac{2}{3}a^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)

Từ đó suy ra \(S_{\Delta CEF}=\dfrac{1}{2}FE\cdot EC\) \(=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)

Vậy \(V_{D.CEF}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF\) \(=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{36}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 17 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài