Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12


Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Dựng các điểm \(F\) và \(E.\)

Bước 2: Tìm chiều cao và đáy tương ứng:  \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) 

Bước 3: Chứng minh tam giác \(CEF\) vuông tại \(E  \Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF.EC\)

Suy ra \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF.EC \) 

Lời giải chi tiết

Ta có: \(BD \bot (CEF)\) hay \(DF \bot (CEF)\)do đó ta đã biết chiều cao của tứ diện \(DCEF.\)

Để tính thể tích tứ diện này, ta đi tính diện tích đáy tương ứng là \({S_{\Delta EFC}}\)

Dễ thấy: \(\Delta EFC\) vuông tại \(E,\) vì:

\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot DA\\CE \bot BD\;(do\;BD \bot (CEF))\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot (BDA) \supset EF \Rightarrow CE \bot EF.\)

Vậy ta đi tính các cạnh \(CE, EF.\)

+) Tính \(CE\)

Do \(DC \bot (ABC)\) nên \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao \(CE = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

+) Tính \(EF\):

Xét vuông tại \(C\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC = AC = a\\BC = AB.\sqrt 2  = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \\ \text {Mà:}\;CF.BD = DC.BC\\ \Rightarrow CF = \dfrac{{DC.BC}}{{BD}} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\\ \Rightarrow EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{2a}}{3} - \dfrac{a}{2}}  = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta EFC}} = \dfrac{1}{2}CE.EF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt[{}]{2}}}.\dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

+) Chiều cao \(DF\)

\(DF = \sqrt {D{C^2} - C{F^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\)

 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 25 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store