
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Dựng các điểm \(F\) và \(E.\)
Bước 2: Tìm chiều cao và đáy tương ứng: \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \)
Bước 3: Chứng minh tam giác \(CEF\) vuông tại \(E \Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF.EC\)
Suy ra \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF.EC \)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(BD \bot (CEF)\) hay \(DF \bot (CEF)\)do đó ta đã biết chiều cao của tứ diện \(DCEF.\)
Để tính thể tích tứ diện này, ta đi tính diện tích đáy tương ứng là \({S_{\Delta EFC}}\)
Dễ thấy: \(\Delta EFC\) vuông tại \(E,\) vì:
\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot DA\\CE \bot BD\;(do\;BD \bot (CEF))\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot (BDA) \supset EF \Rightarrow CE \bot EF.\)
Vậy ta đi tính các cạnh \(CE, EF.\)
+) Tính \(CE\)
Do \(DC \bot (ABC)\) nên \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C.\)
\( \Rightarrow \) Chiều cao \(CE = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
+) Tính \(EF\):
Xét vuông tại \(C\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC = AC = a\\BC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \\ \text {Mà:}\;CF.BD = DC.BC\\ \Rightarrow CF = \dfrac{{DC.BC}}{{BD}} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\\ \Rightarrow EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{2a}}{3} - \dfrac{a}{2}} = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)
Vậy \({S_{\Delta EFC}} = \dfrac{1}{2}CE.EF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt[{}]{2}}}.\dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
+) Chiều cao \(DF\)
\(DF = \sqrt {D{C^2} - C{F^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\)
Loigiaihay.com
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’.
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Hãy tính thể tích của nó...
Có thể chia (H) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H2) ?...
Có thể chia (H2) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H1)?
Có thể chia (H1) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H0) ?...
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: