Bài 1 trang 25 SGK Hình học 12

Bình chọn:
4.4 trên 9 phiếu

Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học 12. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Đề bài

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi \(AH\) là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện đều \(ABCD\) \(\left({H \in (BCD)} \right)\).

+) Do tứ diện ABCD đều, chứng minh H là trong tâm tam giác \(ABC\).

+) Sử dụng định lí Pytago tính độ dài \(AH\).

+) Áp dụng công thức tính thể tích: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}}\).

Lời giải chi tiết

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Hạ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Dễ dàng chứng minh được \({\Delta _v}AHB = {\Delta _v}AHC = {\Delta _v}AHD\,\,\left( {ch - cgv} \right) \Rightarrow HB = HC = HD,\) do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\).

Do \(BCD\) là tam giác đều nên \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).

Do đó \(BH = {2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(ABH\) ta có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên: \({S_{BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan