Bài 1 trang 25 SGK Hình học 12


Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học 12. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Đề bài

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi \(AH\) là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện đều \(ABCD\) \(\left({H \in (BCD)} \right)\).

+) Do tứ diện ABCD đều, chứng minh H là trọng tâm tam giác \(ABC\).

+) Sử dụng định lí Pytago tính độ dài \(AH\).

+) Áp dụng công thức tính thể tích: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}}\).

Lời giải chi tiết

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Hạ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Dễ dàng chứng minh được \({\Delta _v}AHB = {\Delta _v}AHC = {\Delta _v}AHD\,\,\left( {ch - cgv} \right) \) \(\Rightarrow HB = HC = HD,\) do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\).

Do \(BCD\) là tam giác đều nên \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).

Gọi M là trung điểm CD thì BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.

Ta có: \(BM = BD\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Do đó \(BH  = \frac{2}{3}BM= \displaystyle{2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(ABH\) ta có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \) \(\Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Do tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên: \({S_{BCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}} \) \(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \) \(= \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.4 trên 24 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài