Giải bài 4 trang 25 SGK Hình học 12


Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên các đoạn thẳng \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C’\) khác với \(S\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi h và h' lần lượt là chiều cao hạ từ A và A' đến \((SBC)\), dựa vào định lí Vi-et tính tỉ số \(\frac{h'}{{h}}\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{\Delta SB'C'}} = \frac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}\) tính diện tích tam giác \(SB'C'\), tương tự tính diện tích tam giác \(SBC\), sau đó suy ra tỉ số \(\dfrac{{{S_{\Delta SB'C'}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\).

+) Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}S.h\) lập tỉ số thể tích S.A'B'C' và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) và \(h’\) lần lượt là chiều cao hạ từ \(A, A’\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

* Do A’H’// AH nên bốn điểm A, A’; H’ và H đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm A, S, H đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm A, A’, S. H và H’ đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'H' \bot SH'\\AH \bot SH\\A'H'//AH\end{array} \right. \Rightarrow SH' \equiv SH\)

⇒ Ba điểm S, H và H’ thẳng hàng.

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác \(SBC\) và \(SB’C’\).

Khi đó ta có \(\displaystyle{{h'} \over h} = {{SA'} \over {SA}}\) (định lý Ta - let) và:

\(\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}=\dfrac{{{S_{SB'C'}}}}{{{S_{SBC}}}} \) \(= \dfrac{{\dfrac{1}{2}SB'.SC'.\sin \widehat {BSC}}}{{\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

Suy ra \(\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A'.SB'C'}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}}\) \(=\dfrac{{h'}}{h}.\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) \( = \displaystyle{{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\) 

Đó là điều phải chứng minh.

Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 25 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài