Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

 

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x\)     

 

Phương pháp giải:

 Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\) với \({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi  + {\pi  \over 4}.\)

Tìm \(\lim {x_n},\lim x{'_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{'_n}).\)

 

Lời giải chi tiết:

Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\)

   \({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi  + {\pi  \over 4}\) (như trong hướng dẫn).

Khi đó \(\lim {x_n} =  + \infty \)  và \(\lim x{'_n} =  + \infty \);

            \(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi  = 0\)  và

            \(\lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = \lim \sin \left( {2n\pi  + {\pi  \over 2}} \right) = 1.\)

Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{'_n}} \right)\)  nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x.\)

Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với

                                    \({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi  \over 4},\)

Ta có \(\lim {x_n} =  + \infty \) và

\(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn} \hfill \cr 
- 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x.\)

 

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \cos 3x\)

 

Lời giải chi tiết:

Làm tương tự như câu a) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \cos 3x\)

 

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\)         

 

Phương pháp giải:

 Chọn dãy số \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\) Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f({x_n}).\)

 

Lời giải chi tiết:

 Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho 
                        \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi  \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.\)     

Khi đó \(\lim {x_n} = 0\)  và

\(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn}\hfill \cr 
- 1\text{ với n lẻ}  \hfill \cr} \right.\)

Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\)  không có giới hạn. Do đó không tồn tại

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\);

 

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)

 

Lời giải chi tiết:

 Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.