Bài 5 trang 140 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.7 trên 12 phiếu

Giải bài 5 trang 140 SGK Giải tích 12. Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai

Đề bài

Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1:

\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\).

Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai.

Cách 2:

Tính \(S = {z_1} + {z_2},\,\,P = {z_1}{z_2}\), khi đó \(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z + x.z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)

Cách 2:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\
z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}
\end{array}\)

\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan