Bài 4 trang 140 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu

Giải bài 4 trang 140 SGK Giải tích 12. Cho a, b, c ε R, a # 0

Đề bài

Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tính biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

+) Chia các trường hợp của \(\Delta\):

    TH1: \(\Delta  \ge 0\), sử dụng kết quả của định lí Vi-et đã biết.

    TH2: \(\Delta  < 0\), gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), suy ra các nghiệm phức của phương trình bậc hai và tính tổng, tích các nghiệm phức đó.

Lời giải chi tiết

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

+) Trường hợp \(∆ < 0\),  gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó các nghiệm của phương trình là: 

\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}\).

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆ < 0\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu