Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Giải bài 4 trang 18 SGK Hình học 12


Cho hình bát diện đều ABCDEF:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\) 

Chứng minh rằng :

LG a

a) Các đoạn thẳng \(AF, BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.

+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Do \(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \(AF\)).

Tương tự, \(A, B, F, D\) đồng phẳng và \(A, C, F, E\) đồng phẳng.

Gọi \(I\) là giao của \((AF)\) với \((BCDE)\). Khi đó \(B, I, D\) là những điểm chung của hai mặt phẳng \((BCDE)\) và \((ABFD)\) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \(E, I , C\) thẳng hàng.

Vậy \(AF, BD, CE\) đồng quy tại \(I\).

Vì \(BCDE\) là hình thoi nên \(EC\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường. \(I\) là trung điểm của \(AF\) và \(AF\) vuông góc với \(BD\) và \(EC\), do đó các đoạn thẳng \(AF, BD\), và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Cách khác:

Giả sử bát diện đều \(ABCDEF\) có cạnh bằng \(a.\)

\(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) suy ra \(B, C, D, E\) cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AF\)

Trong mp \((BCDE)\), ta có \(BC = CD = DE = EB (= a)\)

\(⇒ BCDE\) là hình thoi

\(⇒ BD ⊥ EC\) và \(BD, EC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra \(AF\) và \(BD, AF\) và \(CE\) vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

LG b

b) \(ABFD, AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.

+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

b) Ta có tứ giác \(DCBE\) là hình thoi.

Do \(AI\) vuông góc \((BCDE)\) và \(AB = AC =AD = AE\) nên \(IB = IC= ID = IE\).

Từ đó suy ra hình thoi \(BCDE\) là hình vuông. Tương tự \(ABFD, AEFC\) là những hình vuông.

Cách khác:

Gọi trung điểm \(BD, CE, AF là O\).

\(\begin{array}{l}BO \bot AO \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} \\AO \bot OE \Rightarrow AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \end{array}\)

Mà \(AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC\)

⇒ Hình thoi \(BCDE\) là hình vuông.

Chứng minh tương tự: \(ABFD, AEFC\) đều là hình vuông.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 19 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store