Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành

Câu 1. Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 3\) nghịch biến trên những khoảng nào?

A. \(\left( {2; + \infty } \right).\)

B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)

C. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)

D. \(\left( {1;2} \right).\)

Câu 2. Cho số phức \(z = 2 - 5i.\) Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp \(\bar z\) là

A. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \(5.\)

B. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \( - 5i.\)

C. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \(5i.\)

D. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \( - 5.\)

Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz,\) khoảng cách từ điểm \(M(1;2; - 3)\) đến mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z - 2 = 0\) là

A. \(d\left( {M,(P)} \right) = 1.\)

B. \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{1}{3}.\)

C. \(d\left( {M,(P)} \right) = 3.\)

D. \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{11}}{3}.\)

Câu 4. Cho hàm số \(y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\left( C \right)\) có tiệm cận ngang là \(y =  - 1.\)

B. \(\left( C \right)\) có tiệm cận ngang là \(y =  - 2.\)

C. \(\left( C \right)\) có hai tiệm cận

D. \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\):\(\,2x - y + 3z - 1 = 0.\) Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)

A. \(\vec n = \left( {2;1;3} \right).\)

B. \(\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right).\)

C. \(\vec n = \left( {2;1; - 3} \right).\)

D. \(\vec n = \left( { - 2;1;3} \right).\)

Câu 6. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:

A. \({V_{S.ABCD}} = {a^3}\sqrt 3 .\)

B. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.\)

C. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

D. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. \(z = 3 + 2i.\)

B. \(z =  - 3 + 2i.\)

C. \(z =  - 3 - 2i.\)

D. \(z = 3 - 2i.\)

Câu 8. Đạo hàm của hàm số \(y = {2^{\sin x}}\) là:

A. \(y' =  - \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\)

B. \(y' = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\)

C. \(y' = {2^{\sin x}}.\ln 2.\)

D. \(y' = \frac{{\cos x{{.2}^{\sin x}}}}{{\ln 2}}.\)

Câu 9. Cho khối nón đỉnh \(S\) só độ dài đường sinh là \(a,\) góc giữa đường sinh và mặt đáy là \(60^\circ .\) Thể tích khối nón là

A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)

B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)

C. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{8}.\)

D. \(V = \frac{{3\pi {a^3}}}{8}.\)

Câu 10. Số nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\)  là:

A. \(0\).                         B. 1.

C. 4.                              D. 2.

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0,\) \(\left( Q \right):2x - y + z + 1 = 0.\) Góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là

A. \(60^\circ .\)              B. \(90^\circ .\)

C. \(30^\circ .\)              D. \(120^\circ .\)

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x < 0\) là

A. \(\left( {0; + \infty } \right).\)                      B. \(\left( {0;1} \right).\)

C. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)                       D. \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Câu 13. Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(K.\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( x \right) + C.\)

B. \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right).\)

C. \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = F'\left( x \right).\)

D. \({\left( {x\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f'\left( x \right).\)

Câu 14. Trên \(\mathbb{C}\) phương trình \(\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i\) có nghiệm là:

A. \(z = 2 - i.\)                B. \(z = 1 - 2i.\)

C. \(z = 1 + 2i.\)             D. \(z = 2 + i.\)

Câu 15. Nguyên hàm \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}} \)  bằng

A. \(\sqrt {1 - x}  + C.\)

B. \(\frac{C}{{\sqrt {1 - x} }}\).

C. \( - 2\sqrt {1 - x}  + C.\)

D. \(\frac{2}{{\sqrt {1 - x} }} + C.\)

Câu 16. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,\,x + 2y + z - 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):\,\,\,x - y - z + 2 = 0\) là:

A.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\\z =  - 1 - 3t.\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 1 + 2t\\z = t.\end{array} \right.\)

Câu 17. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) ta có \(f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2.\) Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(I = 0.\)                    B. \(I = 2.\)

C. \(I =  - 1.\)                 D. \(I = 1.\)

Câu 18. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\) \(AB = a\sqrt 5 .\) Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt đáy là \(60^\circ .\) Thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

A. \(15{a^3}\sqrt 5 .\)    B. \(5{a^3}\sqrt 3 .\)

C. \(\frac{{5{a^3}\sqrt {15} }}{2}.\)              D. \(15{a^3}\sqrt 3 .\)

Câu 19. Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;4} \right)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)\) có phương trình

A. \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\).

B. \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{6}\).

C. \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\).

D. \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{4}\).

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {2;3; - 6} \right)\) và bán kính \(R = 4\) có phương trình là

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 4.\)

B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 16.\)

C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.\)

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 4.\)

Câu 21. Nếu \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 2\) thì \(m\) có giá trị là

A. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2.\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 2.\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2.\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2.\end{array} \right.\)

Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho vật thể \(\left( H \right)\) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình \(x = a\) và \(x = b\)\(\left( {a < b} \right)\). Gọi \(S\left( x \right)\) là diện tích thiết diện của \(\left( H \right)\) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\)tại điểm có hoành độ là \(x,\) với \(a \le x \le b\). Giả sử hàm số \(y = S\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Khi đó, thể tích \(V\) của vật thể \(\left( H \right)\) được cho bởi công thức:

A. \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

B. \(V = \pi \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {S\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} .\)

D. \(V = \int\limits_a^b {{{\left[ {S\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} .\)

Câu 23. Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\left( {m/s} \right)\) và có gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\) Vận tốc ban đầu của vật là \(6\left( {m/s} \right).\) Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?

A. \(3\ln 11 - 6.\)

B. \(3\ln 6 + 6.\)

C. \(2\ln 11 + 6.\)

D. \(3\ln 11 + 6.\)

Câu 24. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Khẳng nào sau đây đúng?

A. Nếu hàm số có giá trị cực đại là \(f\left( {{x_0}} \right)\) với \({x_0} \in \mathbb{R}\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right).\)

B. Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là \(f\left( {{x_0}} \right)\) với \({x_0} \in \mathbb{R}\) thì tồn tại \({x_1} \in \mathbb{R}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) < f\left( {{x_1}} \right).\)

C. Nếu hàm số có giá trị cực đại là \(f\left( {{x_0}} \right)\) với \({x_0} \in \mathbb{R}\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right).\)

D. Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là \(f\left( {{x_0}} \right)\) với \({x_0} \in \mathbb{R}\) và có giá trị cực đại là \(f\left( {{x_1}} \right)\) với \({x_1} \in \mathbb{R}\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) < f\left( {{x_1}} \right).\)

Câu 25. Môđun của số phức \(z = \left( {2 - 3i} \right){\left( {1 + i} \right)^4}\) là

A. \(\left| z \right| = 4\sqrt {13} .\)

B. \(\left| z \right| = \sqrt {31} .\)

C. \(\left| z \right| = 208.\)

D. \(\left| z \right| = \sqrt {13} .\)

Câu 26. Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}\) và thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là

A. \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}.\)

B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\).

C. \(F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} - 1.\)

D. \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}.\)

Câu 27. Cho hàm số \(y = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại một điểm.

B. \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm.

C. \(\left( C \right)\) không cắt trục hoành.                       

 D. \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm.

Câu 28. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\) là

A. Đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 4.\)

B. Đường thẳng có phương trình \(x + 2y + 1 = 0.\)

C. Đường thẳng có phương trình \(x - 2y - 3 = 0.\)

D. Đường elip có phương trình \({x^2} + 4{y^2} = 4.\)

Câu 29. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(C,\) \(AB = a\sqrt 5 ,\)\(AC = a.\) Cạnh bên \(SA = 3a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\)  là:

A. \({a^3}.\)                  B. \(3{a^3}.\)

C. \(2{a^3}.\)                D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\)

Câu 30. Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là

A. \(y =  - 3x - 2.\)

B. \(y = 2x + 1.\)

C. \(y =  - 2x + 1.\)

D. \(y = 3x - 2.\)

Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1; 2; 2} \right)\) và \(B\left( {3; 0; 2} \right).\) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:

A. \(x - y - z + 1 = 0.\)

B. \(x - y - 1 = 0.\)

C. \(x + y - z - 1 = 0.\)

D. \(x + y - 3 = 0.\)

Câu 32. Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\)\(AD = b,\)\(\,AA' = c\). Thể tích của khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)bằng bao nhiêu?

A. \(abc.\)                      B. \(\frac{1}{2}abc.\)

C. \(\frac{1}{3}abc.\)    D. \(3abc.\)

Câu 33. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(2a\sqrt 3 .\) Biết \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) và hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ .\) Khoảng cách \(h\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

A. \(h = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\)

B. \(h = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\)

C. \(h = 2a\sqrt 2 .\)

D. \(h = a\sqrt 3 .\)

Câu 34. Giả sử ta có hệ thức \({a^2} + 4{b^2} = 5ab{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right).\) Hệ thức nào sau đây đúng?

A. \(2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) = {\log _3}a + {\log _3}b.\)

B. \(2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{2} = {\log _3}a + 2{\log _3}b.\)

C. \({\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = 2\left( {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right).\)

D. \(2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _3}a + {\log _3}b.\)

Câu 35. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4 và AD=3. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng

A.\(36\pi .\)                   B. \(12\pi .\)

C. \(24\pi .\)                   D. \(48\pi .\)

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right).\) Tọa độ điểm \({A_1}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là

A. \({A_1}\left( {1;2;0} \right).\)

B. \({A_1}\left( {1;0;3} \right).\)

C. \({A_1}\left( {0;2;3} \right).\)

D. \({A_1}\left( {1;0;0} \right).\)

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right)\) và \(B\left( {4;1;1} \right).\) Độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là

A. \(\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} .\)                    B. \(\sqrt {\frac{{19}}{{86}}} .\)

C. \(\frac{1}{{\sqrt {19} }}.\)                         D. \(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} .\)

Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ \(\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\) \(\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)\)?

A. \(\vec w = \left( {1;7;1} \right).\)

B. \(\vec w = \left( { - 1;7; - 1} \right).\)

C. \(\vec w = \left( {0;7;1} \right).\)

D. \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right).\)

Câu 39. Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{dt}}}  = \frac{1}{3}.\) Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x} \) bằng:

A. \(I = \frac{4}{3}\).    B. \(I = \frac{2}{3}\).

C. \(I = \frac{1}{3}\).    D. \(I =  - \frac{2}{3}\).

Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\, - 3;\,3} \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\left( {2;\,0;\,1} \right),\) bán kính \(r = 2.\) Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) là

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4.\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4.\) 

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18.\)

Câu 41. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. \(y = {x^3} - 3x + 2.\)

B. \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 1.\)

C. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\)

D. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\)

Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,3x - my - z + 7 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) song song với nhau khi \(m\) bằng

A. \(m = \frac{{ - 5}}{2}.\)

B. \(m = \frac{5}{2}.\)

C. \(m =  - 30.\)

D. \(m = 4.\)

Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = 4 - \left| x \right|\) và trục hoành là

A. \(0\).                         B.\(16\).

C. \(8\).                         D. \(4\).

Câu 44. Phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x - 3y + z - 2 = 0\) và chứa đường thẳng \(d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) là:

A. \(3x + y - z + 3 = 0.\)

B. \(x + y + z - 1 = 0.\)

C. \(x - y + z - 3 = 0.\)

D. \(2x + y - z + 3 = 0.\)

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 2;4;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) có phương trình là

A. \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z + 6}}{3}\)

B. \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\).

C. \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}\).

D. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}\).

Câu 46. Nếu \(\int\limits_2^3 {\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3 + 3\ln 2} \)\(\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\) thì giá trị của \(P = 2a - b\) là

A. \(P = 7.\)

B. \(P =  - \frac{{15}}{2}.\)

C. \(P = \frac{{15}}{2}.\)

D. \(P = 1.\)

Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( {0;\;2;\;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t.\end{array} \right.\)  Đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\)có phương trình là

A. \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}.\)

B. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 2}}.\)

C. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{2}\)

D. \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{2}.\)

Câu 48. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}.\) Cho biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2 - 2x.\) Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có hai nghiệm thực phân biệt là:

A. \(0 < m < e.\)

B. \(1 < m < e.\)

C. \(m > e.\)

D. \(0 < m \le 1.\)

Câu 49. Cho biết \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và giả sử \(x{{\kern 1pt} _1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a,\) \(b\) là hai số nguyên dương. Khi đó \(a + b\) bằng

A. \(a + b = 14.\)

B. \(a + b = 13.\)

C. \(a + b = 16.\)

D. \(a + b = 11.\)

Câu 50. Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\). Gọi \(M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right).\) Khi đó\(M-m\) bằng:

A. \(1\).                         B. \(\frac{3}{5}.\)

C. \(\frac{7}{5}.\) D. \(\frac{9}{5}.\)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Câu 1 (NB) – Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

- Tính \(y'\).

- Giải bất phương trình \(y' < 0\) và suy ra các khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Ta có: \(y' = 6{x^2} - 18x + 12\).

\(\begin{array}{l}y' < 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < x < 2\end{array}\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

Chọn D.

Câu 2 (NB) – Số phức

Phương pháp:

- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\bar z = a - bi\).

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực bằng \(a\), phần ảo bằng \(b\).

Cách giải:

\(z = 2 - 5i \Rightarrow \bar z = 2 + 5i\).

Vậy số phức \(\bar z\) có phần thực bằng 2, phần ảo bằng \(5.\)

Chọn A.

Câu 3 (NB) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{9}{3} = 3\).

Chọn C.

Câu 4 (NB) – Đường tiệm cận

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\) có TCĐ \(x =  - \frac{d}{c}\) và TCN \(y = \frac{a}{c}\).

Cách giải:

Ta có: \(y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}} = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Đồ thị hàm số có TCĐ \(x =  - 1\) và TCN \(y =  - 2\).

Chọn A.

Câu 5 (NB) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\,2x - y + 3z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B, \(\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right) =  - 2\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \).

Vậy \(\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right)\) cũng là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

Chọn B.

Câu 6 (TH) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp đường cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = \frac{1}{3}Bh\).

Cách giải:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), do \(\Delta SAB\) đều cạnh \(AB = a\) nên \(SH \bot AB\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Câu 7 (NB) – Số phức

Phương pháp:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = a + bi\).

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z =  - 3 + 2i.\)

Chọn B.

Câu 8 (TH) – Hàm số mũ

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{a^u}} \right)' = u'.{a^u}.\ln a\).

Cách giải:

\(y = {2^{\sin x}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \left( {\sin x} \right)'{.2^{\sin x}}\ln 2\\ = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\end{array}\)

Chọn B.

Câu 9 (TH) – Mặt nón

Phương pháp:

- Xác định góc giữa đường sinh và mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Cách giải:

Gọi \(O\) là tâm đáy hình nón và \(SA\) là một đường sinh bất kì \( \Rightarrow SA = l = a\).

Khi đó ta có góc giữa \(SA\) và mặt đáy là \(\angle SAO = {60^0}\).

Xét \(\Delta SAO\) có: \(SO = SA.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = h\), \(OA = SA.\cos {60^0} = \frac{a}{2} = r\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)\( = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Chọn A.

Câu 10 (TH) – Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Phương pháp:

- Giải phương trình mũ: \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\).

- Giải phương trình bậc hai và kết luận số nghiệm của phương trình.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{2^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = {\log _2}1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Chọn B.

Câu 11 (TH) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là \(\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\) với \(\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \) lần lượt là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):x - 2y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}} \left( {2; - 1;1} \right)\).

Khi đó ta có: \(\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\)\( = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = {60^0}\).

Chọn A.

Câu 12 (NB) – Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Phương pháp:

Giải bất phương trình logarit: \({\log _a}x < b \Leftrightarrow x < {a^b}\,\,\left( {a > 1} \right)\).

Cách giải:

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có: \({\log _2}x < 0 \Leftrightarrow x < {2^0} = 1\).

Kết hợp điều kiện xác định ta có \(0 < x < 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {0;1} \right)\).

Chọn B.

Câu 13 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \). Suy ra khẳng định A đúng.

Khi đó ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta lại có \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right) = F'\left( x \right)\). Suy ra khẳng định B, C đúng.

Chọn D.

Câu 14 (TH) – Phép chia số phức

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i\\ \Leftrightarrow z - 1 = \frac{2}{{1 + i}}\\ \Leftrightarrow z - 1 = 1 - i\\ \Leftrightarrow z = 2 - i\end{array}\).

Chọn A.

Câu 15 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}}  = \frac{2}{a}\sqrt {ax + b}  + C\).

Cách giải:

\(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}}  = \frac{2}{{ - 1}}\sqrt {1 - x}  + C\)\( =  - 2\sqrt {1 - x}  + C\).

Chọn C.

Câu 16 (TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

- Xác định hai điểm thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Cách giải:

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\).

Cho \(z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x - y =  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta \).

Cho \(z = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x - y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};2} \right) \in \Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{4}{3};2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow u  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\).

Chọn A.

Câu 17 (TH) – Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton-Leibniz: Nếu \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right)\) là 1  nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\) nên \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\).

Chọn B.

Câu 18 (TH) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng kia.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) có thể tích \(V = Bh\).

Cách giải:

Ta có \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'B'\) là hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'B'C'} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {A'B;A'B'} \right) = \angle BA'B' = {60^0}\).

Xét \({\Delta _v}A'BB'\) có: \(BB' = A'B'.\tan {60^0}\)\( = a\sqrt 5 .\sqrt 3  = a\sqrt {15} \).

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}}\)\( = a\sqrt {15} .\frac{{5{a^2}}}{2} = \frac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{2}\).

Chọn C.

Câu 19 (NB) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;4} \right)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\).

Chọn A.

Câu 20 (NB) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình là \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}.\)

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {2;3; - 6} \right)\) và bán kính \(R = 4\) có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 16.\)

Chọn B.

Câu 21 (TH) – Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 2\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_0^m = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} - m = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 22 (NB) – Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho vật thể \(\left( H \right)\) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình \(x = a\) và \(x = b\)\(\left( {a < b} \right)\). Gọi \(S\left( x \right)\) là diện tích thiết diện của \(\left( H \right)\) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\)tại điểm có hoành độ là \(x,\) với \(a \le x \le b\). Giả sử hàm số \(y = S\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Khi đó, thể tích \(V\) của vật thể \(\left( H \right)\) được cho bởi công thức: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .\).

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho vật thể \(\left( H \right)\) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình \(x = a\) và \(x = b\)\(\left( {a < b} \right)\). Gọi \(S\left( x \right)\) là diện tích thiết diện của \(\left( H \right)\) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\)tại điểm có hoành độ là \(x,\) với \(a \le x \le b\). Giả sử hàm số \(y = S\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Khi đó, thể tích \(V\) của vật thể \(\left( H \right)\) được cho bởi công thức: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .\).

Chọn A.

Câu 23 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

- Tính vận tốc của vật \(v = \int {a\left( t \right)dt} \).

- Sử dụng giả thiết \(v\left( 0 \right) = 6\) tìm \(C\).

- Tính \(v\left( {10} \right)\).

Cách giải:

Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \)\( = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt}  = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).

Theo bài ra ta có: \(v\left( 0 \right) = 6\)\( \Leftrightarrow 6\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\).

Khi đó \(v = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\).

Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là: \(v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\,\left( {m/s} \right)\).

Chọn D.

Câu 24 (TH) – Cực trị của hàm số

Phương pháp:

Dựa vào lý thuyết cực trị của hàm số.

Cách giải:

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B đúng: Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là \(f\left( {{x_0}} \right)\) với \({x_0} \in \mathbb{R}\) thì tồn tại \({x_1} \in \mathbb{R}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) < f\left( {{x_1}} \right).\)

Chọn B.

Câu 25 (TH) – Cộng, trừ và nhân số phức

Phương pháp:

- Nhân các số phức, đưa số phức \(z\) về dạng \(z = a + bi\) .

- Sử dụng công thức tính môđun số phức \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}z = \left( {2 - 3i} \right){\left( {1 + i} \right)^4}\\z = \left( {2 - 3i} \right){\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^2}\\z = \left( {2 - 3i} \right){\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)^2}\\z = \left( {2 - 3i} \right).{\left( {2i} \right)^2}\\z = \left( {2 - 3i} \right).\left( { - 4} \right)\\z =  - 8 + 12i\end{array}\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{12}^2}} \)\( = \sqrt {208}  = 4\sqrt {13} \).

Chọn A.

Câu 26 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\).

- Thay \(F\left( 0 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\).

Cách giải:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \)\( = \int {{e^{2x}}dx}  = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\) .

Lại có

\(\begin{array}{l}F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^0}}}{2} + C = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\end{array}\).

Vây \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\).

Chọn B.

Câu 27 (TH) – Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số \(y = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) và trục hoành.

- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục hoành.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (do \({x^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x\)).

Vậy \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại một điểm.

Chọn A.

Câu 28 (VD) – Bài toán quỹ tích số phức

Phương pháp:

- Gọi \(z = x + yi\) .

- Thay vào giả thiết, biến đổi và suy ra phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

- Sử dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .

Cách giải:

Đặt \(z = x + yi\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - i} \right| = \left| {2 - 3i - x - yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {2 - x} \right) - \left( {3 + y} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {2 - x} \right)^2} + {\left( {3 + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1\\ = {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9\\ \Leftrightarrow 4x - 8y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\) là đường thẳng có phương trình \(x - 2y - 3 = 0.\)

Chọn C.

Câu 29 (TH) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Sử dụng định lí Pytago tính độ dài cạnh \(BC\).

- Tính diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\): \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} \)\( = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\) .

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.a.2a = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \frac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}\) .

Chọn A.

Câu 30 (TH) – Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Cho \(x = 0\) xác định giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục tung.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Cách giải:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2\), suy ra giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là \(M\left( {0; - 2} \right)\).

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 3 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 3\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {0; - 2} \right)\) là: \(y = 3\left( {x - 0} \right) - 2\)\( \Leftrightarrow y = 3x - 2\).

Chọn D.

Câu 31 (TH) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)\( = 0\)

Cách giải:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {2;1;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;0} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng trung trực của \(AB\).

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\) là:

\(1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).

Chọn B.

Câu 32 (NB) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\)\(AD = b,\)\(\,AA' = c\) \( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\).

Cách giải:

Khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\)\(AD = b,\)\(\,AA' = c\) \( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\).

Chọn A.

Câu 33 (VD) – Khoảng cách (Toán 11)

Phương pháp:

- Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( R \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\) .

Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(2a\sqrt 3 \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AM \bot BC\) và \(AM = 2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\), khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM = {45^0}\) .

Xét tam giác vuông \(AHM\) có \(AH = AM.\sin {45^0}\)\( = 3a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\) .

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn A.

Câu 34 (VD) – Lôgarit

Phương pháp:

- Thêm cả 2 vế với \(4ab\) để tạo hằng đẳng thức.

- Sử dụng các công thức:

   \(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\\\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right)\\{\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\\\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\\{\log _a}x - {\log _a}y = {\log _a}\frac{x}{y}\\\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right)\end{array}\)

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 4{b^2} = 5ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 9ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 9ab\end{array}\)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\log _3}\left( {9ab} \right)\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) = {\log _3}9 + {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) = 2 + {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) - 2 = {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\log }_3}\left( {a + 2b} \right) - {{\log }_3}3} \right] = {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _3}a + {\log _3}b\end{array}\)

Chọn D.

Câu 35 (TH) – Mặt trụ

Phương pháp:

- Khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta được khối trụ có chiều cao \(h = AB\), bán kính đáy \(r = AD\).

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

Cách giải:

Khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta được khối trụ có chiều cao \(h = AB = 4\), bán kính đáy \(r = AD = 3\).

Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.4 = 36\pi \).

Chọn A.

Câu 36 (NB) – Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) Tọa độ điểm \({A_1}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \({A_1}\left( {0;b;c} \right)\).

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right).\) Tọa độ điểm \({A_1}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \({A_1}\left( {0;2;3} \right).\).

Chọn C.

Câu 37 (TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \): \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_o}} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với \({M_0}\) là điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;1} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 2; - 1;9} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|\)\( = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {9^2}}  = \sqrt {86} \)

Vậy \(OH = d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {86} }}{{\sqrt {{3^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {\frac{{86}}{{19}}} \) .

Chọn A.

Câu 38 (TH) – Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow w \\\overrightarrow v  \bot \overrightarrow w \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow w \)  cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\).

Cách giải:

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = \left( {0;7;0} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\).

Vậy \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\) vuông góc với cả hai véctơ \(\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\) \(\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)\).

Chọn D.

Câu 39 (VD) – Tích phân

Phương pháp:

- Đổi biến số, đặt \(t = \sin x\).

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Cách giải:

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\cos x.f'\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó ta có \(I = 2\int\limits_0^1 {tf'\left( t \right)dt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2\left( {\left. {tf\left( t \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\ \Leftrightarrow I = 2\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\ \Leftrightarrow I = 2\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\end{array}\)

Chọn A.

Câu 40 (TH) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

- Tính độ dài đoạn thẳng:

\(IH = \)\(\sqrt {{{\left( {{x_H} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_H} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_H} - {z_I}} \right)}^2}} \) .

- Áp dụng định lí Pytago tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = \sqrt {I{H^2} + {r^2}} \).

- Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình là:

\({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Ta có: \(IH = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {14} \).

Theo bài ra ta có \(AH = r = 2\), áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(IAH\) có:

\(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} \)\( = \sqrt {14 + 4}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \) Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = 3\sqrt 2 \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.\)

Chọn B.

Câu 41 (TH) – Đường tiệm cận

Phương pháp:

- Nhận dạng loại đồ thị hàm số và loại đáp án.

- Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ac \ne bd} \right)\) có TCN \(y = \frac{a}{c}\), TCĐ \(x =  - \frac{d}{c}\).

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số này là hàm số bậc nhất trên bậc nhất, suy ra loại đáp án A và B.

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số có TCĐ \(x = 1\), suy ra loại đáp án D.

Chọn C.

Câu 42 (TH) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của hai mặt phẳng cùng phương.

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,3x - my - z + 7 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - m; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {6;5; - 2} \right)\).

Để \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{3}{6} = \frac{{ - m}}{5} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\)\( \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{2}\) .

Chọn A.

Câu 43 (VD) – Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4 - \left| x \right|\) với trục hoành để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(4 - \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\) .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 4 - \left| x \right|\) và trục hoành là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {4 - \left| x \right|} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {x + 4} \right)dx}  + \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ - 4}^0 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4\\ = 8 + 8 = 16.\end{array}\)

Chọn B.

Câu 44 (VD) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Xác định VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), VTCP của đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(\overrightarrow {{u_d}} \).

- Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm, \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\).

- Chọn \(M \in d\) bất kì \( \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x - 3y + z - 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

Đường thẳng \(d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm và \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( \alpha  \right)\\\left( P \right) \supset \left( d \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) .

Lấy \(M\left( {0; - 1;2} \right) \in d \Rightarrow M \in \left( P \right)\) .

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm là \(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\).

Chọn B.

Câu 45 (TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

- \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3;6} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow n  = \left( {2; - 3;6} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 2;4;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) là: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\).

Chọn B.

Câu 46 (VD) – Tích phân

Phương pháp:

- Biến đổi \(\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)\( = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{2x - 1}}\) .

- Quy đồng, đồng nhất hệ số tìm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính giá trị biểu thức \(P\).

Cách giải:

Ta có \(\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)\( = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{2x - 1}}\) .

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) \( = \frac{{A\left( {2x - 1} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow x + 2 = \left( {2A + B} \right)x - A - B\)

Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2A + B = 1\\ - A - B = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 3\\B =  - 5\end{array} \right.\), khi đó ta có \(\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{3}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_2^3 {\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x} \\ = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{3}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {3\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{5}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3\\ = 3\ln 2 - \frac{5}{2}\ln 5 - 3\ln 1 + \frac{5}{2}\ln 3\\ =  - \frac{5}{2}\ln 5 + \frac{5}{2}\ln 3 + 3\ln 2\end{array}\)

\( \Rightarrow a =  - \frac{5}{2},\,\,b = \frac{5}{2}\).

Vậy \(P = 2a - b\)\( = 2.\frac{{ - 5}}{2} - \frac{5}{2} =  - \frac{{15}}{2}\).

Chọn B.

Câu 47 (VD) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Cách giải:

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) cắt và vuông góc với \(d\) là \(\Delta \).

Gọi\(N = \Delta  \cap d\)\( \Rightarrow N\left( {4 + 3t;\,\,2 + t;\,\, - 1 + t} \right)\) .

Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN} \)\( = \left( {4 + 3t;\,\,t;\,\, - 1 + t} \right)\) .

Đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;1;1} \right)\).

Vì \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {MN}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {4 + 3t} \right) + 1.t + 1\left( { - 1 + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 9t + t - 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow 11t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow N\left( {1;1; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN} \)\( = \left( {1; - 1; - 2} \right)\parallel \left( { - 1;1;2} \right)\) .

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}.\)

Chọn A.

Câu 48 (VDC) – Nguyên hàm

Phương pháp:

- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).

- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Cách giải:

Lấy nguyên hàm hai vế biểu thức \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2 - 2x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \int {\left( {2 - 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| =  - {x^2} + 2x + C\end{array}\)

Theo bài ra ta có \(f\left( 0 \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 0 \right)} \right| = C\)\( \Leftrightarrow \ln 1 = C \Leftrightarrow C = 0\) .

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| =  - {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = {e^{ - {x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 2x}}\\\left( {Do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\end{array}\)

Ta có : \(f'\left( x \right) = \left( { - 2x + 2} \right){e^{ - {x^2} + 2x}} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\)

BBT :

Phương trình \(f\left( x \right) = m\) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại hai điểm phân biệt, dựa vào BBT ta suy ra \(0 < m < e\).

Chọn A.

Câu 49 (VDC) – Ôn tập tổng hợp chương 1, 2 (Giải tích 12)

Phương pháp:

- Đưa phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\).

- Chứng minh hàm số \(f\left( t \right)\) đơn điệu trên khoảng xác định của chúng, từ đó suy ra \(u = v\).

- Giải phương trình tìm nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).

- Tính \({x_1} + 2{x_2}\) và suy ra \(a,\,\,b\). Từ đó tính giá trị \(a + b\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - {\log _7}\left( {2x} \right)\\ + 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)\\ = {\log _7}\left( {2x} \right) + 2x\end{array}\)

Xét hàm đặc trung \(f\left( t \right) = {\log _7}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có : \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), do đó ta có

\(4{x^2} - 4x + 1 = 2x \)\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}\).

TH1: \({x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}\) \( \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4}\)\( = \frac{1}{4}\left( {9 - \sqrt 5 } \right)\)

\( \Rightarrow \) Khác với dạng đề bài cho, loại.

TH2: \({x_1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\)

\( \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4}\)\( = \frac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)\)

\( \Rightarrow \) \(a = 9,\,\,b = 5\).

Vậy \(a + b = 9 + 5 = 14\).

Chọn A.

Câu 50 (VDC) – Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2} - 4x + 5\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {0;3} \right]\).

- Khảo sát hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng giá trị của \(t\), từ đó kết luận max, min của hàm số.

Cách giải:

Ta có :

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\\f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2} - 4x}}{4}\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} - 4x + 5\) với \(x \in \left[ {0;3} \right]\) ta có \(t' = 2x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\).

Ta có : \(t\left( 0 \right) = 5;\,\,t\left( 2 \right) = 1,\,\,t\left( 3 \right) = 2\).

 \( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {0;3} \right]\) thì \(t \in \left[ {1;5} \right]\), khi đó hàm số trở thành \(f\left( t \right) = \frac{1}{t} - \frac{{t - 5}}{4}\) với \(t \in \left[ {1;5} \right]\).

Ta có \(f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {1;5} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right)\)\( = f\left( 1 \right) = 2 = M\) 

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right)\) \( = f\left( 5 \right) = \frac{1}{5} = m\)

Vậy \(M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}\).

Chọn D.

Loigiaihay.com