Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Đan Phượng

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt x  + C\)
  • B \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  = \frac{1}{x} + C\)
  • C \(\int {{2^x}dx}  = {2^2} + C\)
  • D \(\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}}  = \ln \left| x \right| + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt x  + C\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Trong không gian Oxyz, cho \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 4t\\z = t\end{array} \right.\). Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d ứng với giá trị t=1. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với \(\left( P \right):2x - y + 2z - 9 = 0\) là

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)
  • B \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)
  • C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\)
  • D \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Thay t=1 tìm A.

+ Tính bán kính mặt cầu \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Thay t=1 vào d ta được điểm \(A\left( {2;3;1} \right) \in d\).

\(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 3 + 2.1 - 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\)

Mặt cầu (S): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho điểm A(2;5;1), mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 3y - 2z + 24 = 0\). H là hình chiếu vuông góc vủa A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích \(784\pi \) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

  • A \({\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 196\)
  • B \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 196\)
  • C \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\)
  • D \({\left( {x + 16} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 196\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Tìm AH

+ Tìm H.

+ \({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\)=> Tìm R.

+ Nhận xét vị trí của I, H, A tìm I.

Lời giải chi tiết:

AH qua \(A\left( {2;5;1} \right)\) và vuông góc với (P) nên có phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = 5 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Do \(AH \cap \left( P \right) = \left\{ H \right\}\) nên \(H\left( {2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t} \right)\). Thay vào (P) ta được:

\(\begin{array}{l}6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24 = 0\\ \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow H\left( { - 4;2;3} \right)\end{array}\)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại H nên tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng AH và cùng phía với A so với (P).

Diện tích mặt cầu: \(784\pi  = 4\pi {R^2} \Rightarrow R = 14 = IH\).

Do I, A, H thẳng hàng, I và A cùng phía so với H và IH=2AH nên A là trung điểm của IH.

\( =  > I\left( {8;8; - 1} \right)\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính nguyên hàm \(\int {\frac{1}{{{x^2} + x - 6}}dx} \)

  • A \(\ln \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right) + C\)
  • B \(\frac{1}{5}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right| + C\)
  • C \(\frac{1}{5}\ln \left| {\frac{{x + 3}}{{x - 2}}} \right| + C\)
  • D \(\frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right) + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Đưa biểu thức dưới dấu nguyên hàm thành dạng \(\frac{A}{{x - a}} + \frac{B}{{x - b}}\).

+ Sử dụng bảng nguyên hàm

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\frac{1}{{{x^2} + x - 6}}dx}  = \frac{1}{5}\int {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 3}}dx} \\ = \frac{1}{5}.\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 3}}} \right| + C\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Gọi hai vecto \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) và \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng đó. Công thức tính \(\cos \varphi \) là:

  • A \(\frac{{\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_1}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)
  • B \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)
  • C \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)
  • D \(\frac{{\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Cosin góc giữa 2 mặt phẳng bằng cosin góc giữa 2 vecto pháp tuyến. Cosin cần tìm là:

\(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho số phức \({\rm{w}}\) và hai số thực a, b. biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i,{z_2} = 2w - 3\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tìm giá trị \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

  • A \(T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\)
  • B \(T = \frac{{2\sqrt {85} }}{3}\)
  • C \(T = 2\sqrt {13} \)
  • D \(T = 4\sqrt {13} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng Vi ét trong phương trình phức để lập hệ phương trình liên quan đến phần thực và phần ảo của w.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(w = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Do \(w + 2i\) và \(2w - 3\) là 2 nghiệm thực của phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w + 2i + 2w - 3 =  - a\\\left( {w + 2i} \right)\left( {2w - 3} \right) = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3x - 3 + \left( {3y + 2} \right)i = 0\\\left[ {x + \left( {2 + y} \right)i} \right]\left( {2x - 3 + 2yi} \right) = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + a - 3 + \left( {3y + 2} \right)i = 0\\2{x^2} - 3x - 2y - {y^2} + \left( {2xy + 4x + 2xy - 6 - 3y} \right)i = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + a - 3 = 0\\3y + 2 = 0\\2{x^2} - 3x - 2y - {y^2} = b\\2xy + 4x + 2xy - 6 - 3y = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{w}} = 3 - \frac{2}{3}i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {3 - \frac{2}{3}i + 2i} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\\ \Rightarrow T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt 3 trục tọa độ tại \(M\left( {3;0;0} \right),N\left( {0; - 5;0} \right)\) và \(P\left( {0;0;9} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:

  • A \(\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = 1\)
  • B \( - \frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} =  - 1\)
  • C \(\frac{x}{3} + \frac{y}{5} - \frac{z}{9} = 1\)
  • D \(\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} =  - 1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm \(A\left( {{x_0};0;0} \right),B\left( {0;{y_0};0} \right),z\left( {0;0;{z_0}} \right)\) là \(\frac{x}{{{x_0}}} + \frac{y}{{{y_0}}} + \frac{z}{{{z_0}}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm \(M\left( {3;0;0} \right),N\left( {0; - 5;0} \right),P\left( {0;0;9} \right)\) là \(\frac{x}{3} - \frac{y}{5} + \frac{z}{9} = 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z bằng 1, đồng thời phần thực của z không âm là

  • A Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía trên trục Ox.
  • B Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía dưới trục Ox.
  • C Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía bên phải trục Oy.
  • D Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm phía bên trái trục Oy.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

Tìm điều kiện cho z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

\(\left| z \right| = 1\) nên điểm biểu diễn của z là thuộc đường tròn tâm O bán kính 1.

Vì phần thực của z không âm nên điểm biểu diễn nằm bên phải trục Oy.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cần tìm là đường tròn tâm O và nằm bên phải trục Oy.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\). Phương trình hình chiếu của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC) là

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất: OA, OB, OC đôi một vuông góc thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC.

- Tìm vtvp của hình chiếu và loại trừ các đáp án.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trực tâm tam giác ABC.

Suy ra G là trọng tâm do \(\Delta \)ABC đều.

\( =  > G\left( {1;1;1} \right)\).

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên G là hình chiếu của O lên (ABC).

=> Hình chiếu của OA lên (ABC) là đường thẳng AG.

\(\overrightarrow {AG}  = \left( { - 2;1;1} \right)\) là vtcp của hình chiếu cần tìm.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow v  = \left( {1;0;m} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) bằng \(45^\circ \).

  • A \(m = 2 - \sqrt 6 \)
  • B \(m = 2 \pm \sqrt 6 \)
  • C \(m = 2 + \sqrt 6 \)
  • D \(m = 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2m} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {1 - 2m} \right)^2} = 6\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 6 \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm phương trình đường thẳng \(\Delta \) đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (Oxy).

  • A \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
  • B \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
  • C \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
  • D \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 - t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc một mặt phẳng qua chính mặt phẳng đó là chính nó.

Lời giải chi tiết:

Do d có \(z = 0\) nên \(d \in \left( {Oxy} \right)\)

=> Hình chiếu của d trên Oxy là chính nó.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hai điểm \(A\left( {1;0; - 3} \right),B\left( {3;2;1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 6 = 0\)
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z = 0\)
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z - 6 = 0\)
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và bán kính bằng \(\frac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Trung điểm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) là tâm mặt cầu đường kính AB.

\({R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{2^2} + {2^2} + {4^2}}}{4} = 6\)

Mặt cầu:

\(\begin{array}{l}\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho số phức z thỏa mãn \(z - i\left( {4 - 2i} \right) = 8i - 6\). Phần thực của số phức z bằng

  • A -8
  • B 8
  • C 12
  • D -4

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm số phức rồi tìm phần thực.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z - i\left( {4 - 2i} \right) = 8i - 6\\ \Leftrightarrow z = i\left( {4 - 2i} \right) + 8i - 6\\ \Leftrightarrow z = 4i + 2 + 8i - 6 = 12i - 8\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) có phương trình: \(\left( \alpha  \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\), \(\left( \beta  \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\)
  • B \(\left( \alpha  \right) \equiv \left( \beta  \right)\)
  • C \(\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\)
  • D \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(\left( \beta  \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Tìm vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng

+ 2 vecto pháp tuyến song song thì 2 mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

\({n_{\left( \alpha  \right)}} = \left( {1; - 2;3} \right),{n_{\left( \beta  \right)}} = \left( {2; - 4;6} \right)\)

\( \Rightarrow {n_{\left( \alpha  \right)}}//{n_{\left( \beta  \right)}}\).

Vậy \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M biểu diễn số phức nào sau đây?

  • A \(z =  - 2 + 3i\)
  • B \(z = 3 + 2i\)
  • C \(z = 3i\)
  • D \(z = 3 - 2i\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hoành độ là phần thực, tung độ là phần ảo.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta có điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\)

\( \Rightarrow z =  - 2 + 3i\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi D là miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\). Diện tích của D được cho bởi công thức nào sau đây?

  • A \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
  • B \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
  • C \(S = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
  • D \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích của miền phẳng.

Lời giải chi tiết:

\(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Biết rằng tích phân \(\int\limits_0^4 {\frac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}  = a{e^4} + b\). Tính \(T = {a^2} - {b^2}\).

  • A \(T = \frac{5}{2}\)
  • B \(T = 1\)
  • C \(T = 2\)
  • D \(T = \frac{3}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tách tích phân.

Tích phân từng phần.

Sử dụng bảng nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int_0^4 {\frac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}  = \frac{1}{2}\int_0^4 {\frac{{2x + 1 + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}{e^x}dx} \\ = \underbrace {\frac{1}{2}\int_0^4 {\sqrt {2x + 1} .{e^x}} }_{{I_1}} + \underbrace {\frac{1}{2}\int_0^4 {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} }_{{I_2}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{I_2} = \frac{1}{2}\int_0^4 {{e^x}d\left( {\sqrt {2x + 1} } \right)} \\ = \frac{1}{2}\left. {\left( {{e^x}.\sqrt {2x + 1} } \right)} \right|_0^4 - \frac{1}{2}\int_0^4 {\sqrt {2x + 1} .{e^x}dx} \\ = \frac{1}{2}.{e^4}.3 - \frac{1}{2} - {I_1}\\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \frac{3}{2}{e^4} - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow T = {a^2} - {b^2} = 2\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Gọi \({z_1},{z_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \(3{z^2} - z + 4 = 0\). Khi đó \(P = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\) bằng

  • A \(\frac{{23}}{{24}}\)
  • B \(\frac{{23}}{{12}}\)
  • C \( - \frac{{23}}{{24}}\)
  • D \( - \frac{{23}}{{12}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng vi ét.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z_1},{z_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \(3{z^2} - z + 4 = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \frac{1}{3}\\{z_1}.{z_2} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\\ = \frac{{{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}.{z_2}}}{{{z_1}.{z_2}}} =  - \frac{{23}}{{12}}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\alpha :2x + 4y + 4z + 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):x + 2y + 2z + 2 = 0\) là:

  • A \(\frac{5}{2}\)
  • B 1
  • C \(\frac{3}{2}\)
  • D \(\frac{1}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chọn một điểm M thuộc một trong 2 mặt phẳng.

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm \(M\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( \beta  \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}d\left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta  \right)} \right)\\ = \frac{{\left| {4.\left( { - 1} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và các đường thẳng \(x = a,b = b\left( {a < b} \right)\) quay quanh trục Ox được tính theo công thức:

  • A \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
  • B \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
  • C \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
  • D \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay.

Lời giải chi tiết:

\(V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm\(A\left( {1;0;1} \right),B\left( { - 2;1;3} \right)\) và \(C\left( {1;4;0} \right)\). Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là

  • A \(\left( {\frac{8}{{13}};\frac{{ - 7}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)
  • B \(\left( {\frac{8}{{13}};\frac{7}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)
  • C \(\left( {\frac{{ - 8}}{{13}};\frac{{ - 7}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)
  • D \(\left( {\frac{8}{{13}};\frac{{ - 7}}{{13}};\frac{{ - 15}}{{13}}} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH}  \bot \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm H (a, b, c).

\(\begin{array}{l}AH = \left( {a - 1;b;c - 1} \right)\\BH = \left( {a + 2;b - 1;c - 3} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3; - 3} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3; - 12} \right)\)

Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH}  \bot \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).1 + b.1 + \left( {c - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\\left( {a + 2} \right).0 + \left( {b - 1} \right).4 + \left( {c - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\3.\left( {a - 1} \right) + b + 4.\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{13}}\\b = \frac{7}{{13}}\\c = \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(H\left( {\frac{8}{{13}};\frac{7}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Phương trình mặt phẳng (P) qua ddieemer \(M\left( {1;3; - 2} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 5y + z + 1 = 0\) là:

  • A \(2x + 5y + z + 19 = 0\)
  • B \(x + 3y - 2z + 15 = 0\)
  • C \(2x + 5y + z - 15 = 0\)
  • D \(x + 3y - 2z - 19 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến:

\({n_{\left( P \right)}} = {n_{\left( Q \right)}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 3} \right) + x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 5y + z - 15 = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A, B, C lần lượt  là điểm biểu diễn của các số phức \(1 + i;4 + i;1 + 5i\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

  • A \(\frac{5}{2}\)
  • B \(\frac{7}{2}\)
  • C \(\frac{1}{2}\)
  • D \(\frac{3}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow {AB} ,\overleftarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết:

\(A\left( {1;1} \right),B\left( {4;1} \right),C\left( {1;5} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức: \(1 + i;4 + i;1 + 5i\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {3;0} \right),\overleftarrow {AC}  = \left( {0; - 4} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \end{array}\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông tại A.

Vậy \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}{2} = \frac{5}{2}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Phương trình hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (Oxy) là

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 0\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 2 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lấy 2 điểm M và N thuộc d.

Lấy điểm M’ và N’  đối xứng của M và N qua (Oxy).

Đường thẳng đối xứng d qua (Oxy) nhận \(\overrightarrow {M'N'} \) làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

\(M\left( {1; - 2;4} \right) \in d \Rightarrow M'\left( {1; - 2;0} \right)\) đối xứng M qua (Oxy).

\(N\left( {3; - 1;3} \right) \in d \Rightarrow N'\left( {3; - 1;0} \right)\) đối xứng N qua (Oxy).

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;1;0} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \) nếu đặt \(t = \sqrt {x + 1} \) thì \(I = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} \) trong đó:

  • A \(f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\)
  • B \(f\left( t \right) = {t^2} - t\)
  • C \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)
  • D \(f\left( t \right) = {t^2} + t\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \).

Đưa tích phân về biến t.

Tìm \(f\left( t \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {t^2} = x + 1\)\( \Rightarrow dx = 2tdt\).

Đổi cận:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}tdt}  = \int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - t} \right)dt} \\ \Rightarrow f\left( t \right) = {t^2} - t\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh \(B\left( {m;0;0} \right),D\left( {0;m;0} \right),A'\left( {0;0;n} \right)\) với m,n>0 và m+n=5. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện BDA’M.

  • A \(\frac{{125}}{{27}}\)
  • B \(\frac{{64}}{{27}}\)
  • C \(\frac{{245}}{{108}}\)
  • D \(\frac{4}{9}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểmC, C’.

Lập thể tích cần tìm theo m.

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích.

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình chữ nhật nên \(C\left( {m;m;0} \right)\).

\(CC'//AA' \Rightarrow C'\left( {m;m;\frac{n}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A'B}  = \left( {m;0; - n} \right),\overrightarrow {A'D}  = \left( {0;m; - n} \right)\\\overrightarrow {A'M}  = \left( {m;m; - \frac{n}{2}} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {mn;mn;{m^2}} \right)\\ =  > V = \frac{1}{4}{m^2}n = \frac{1}{4}{m^2}\left( {5 - m} \right)\\ =  - \frac{1}{4}{m^3} + \frac{5}{4}{m^2} = f\left( m \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) =  - \frac{3}{4}{m^2} + \frac{5}{2}m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = \frac{{10}}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

\( \Rightarrow V = f{\left( m \right)_{\max }} = f\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = \frac{{125}}{{27}}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left( {i - 3} \right)z - 5 + 3i = 0\).

  • A \(z =  - \frac{9}{5} + \frac{2}{5}i\)
  • B \(z = \frac{9}{5} - \frac{2}{5}i\)
  • C \(z =  - \frac{9}{5} - \frac{2}{5}i\)
  • D \(z =  - \frac{6}{5} - \frac{7}{5}i\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép cộng, trừ, nhân và chia số phức.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {i - 3} \right)z - 5 + 3i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {i - 3} \right).z = 5 - 3i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{5 - 3i}}{{i - 3}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {5 - 3i} \right)\left( { - 3 - i} \right)}}{{1 + 9}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{2}{5}i - \frac{9}{5}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Biết \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \frac{5}{3}\) và \(\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt}  = \frac{3}{5}\). Tính \(\int\limits_3^4 {f\left( u \right)du} \).

  • A \( - \frac{{17}}{{15}}\)
  • B \( - \frac{{16}}{{15}}\)
  • C \(\frac{8}{{15}}\)
  • D \(\frac{{14}}{{15}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {f\left( u \right)du}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {f\left( u \right)du}  = \frac{5}{3};\int\limits_0^4 {f\left( u \right)du}  = \frac{3}{5}\\ \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( u \right)du}  = \int\limits_0^4 {f\left( u \right)du}  - \int\limits_0^3 {f\left( u \right)du} \\ = \frac{3}{5} - \frac{5}{3} =  - \frac{{16}}{{15}}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - 2z - 4 = 0\). Mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\). Tìm m để đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=8.

  • A 2
  • B -9
  • C 5
  • D -12

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng d.

Tìm \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

Với O là tâm mặt cầu (S).

Tìm bán kính của mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

\(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {2; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {6;3;6} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;2} \right)\end{array}\)

Chọn \(M\left( {0;1; - 1} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\)

\( \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O\left( { - 2;3;0} \right)\\ \Rightarrow OM = \left( {2; - 2; - 1} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,d} \right) = 3\end{array}\)

Với O là tâm mặt cầu (S).

Mà \(AB \equiv d \Rightarrow d\left( {O,AB} \right) = 3\).

\(\begin{array}{l}{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + {\left( {d\left( {O,AB} \right)} \right)^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow m =  - 12\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {1;2; - 2} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 81\)
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\)
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Bán kính mặt cầu là \(R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\).

Tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O là trực tâm H của đáy ABC.

Lời giải chi tiết:

Tứ diện O.ABC là tứ diện vuông tại O nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) với H là trực tâm tam giác ABC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OH = 3\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm  \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):6x - 3y - 2z + m = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 1.

  • A \(m =  - 1\)
  • B \(m = 1\)
  • C \(m = 3\)
  • D \(m = 5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.1 - 3.2 - 2.\left( { - 1} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - 9\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng \(A\left( {1;1;3} \right)\), \(B\left( { - 1;2;3} \right),C\left( { - 1;1;2} \right)\) có phương trình là:

  • A \(x + 2y - 2z - 3 = 0\)
  • B \(x + y + 3z - 3 = 0\)
  • C \(x + 2y - 2z + 3 = 0\)
  • D \(x + y + z + 3 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)

Thay vào các đáp án để loại trừ.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;1;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

Thay tọa độ A vào đáp án A và C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong không gian Oxy cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2t'\\y =  - 5 + 3t'\\z = 4 + t'\end{array} \right.\).

Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(d \bot d'\)
  • B \(d//d'\)
  • C d và d’ chéo nhau
  • D \(d \equiv d'\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm vecto chỉ phương của 2 đường thẳng.

Nếu \(\overrightarrow {{u_d}} \) không song song với \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \) thì d và d’ không song song cũng không trùng nhau.

\(\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{u_{d'}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {{n_{d'}}}  = \left( { - 2;3;1} \right)\)=>Loại B, D.

\(\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d'}}}  =  - 4 - 6 + 2 \ne 0 \Rightarrow \)Loại A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \)

  • A I=7
  • B \(I = 5 + \frac{\pi }{2}\)
  • C I=3
  • D \(I = 5 + \pi \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  - 2\left. {\left( {\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = 5 + 2 = 7\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng \((d)\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \(\left( {{d_2}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 3}\\{z =  - 2 + t}\end{array}(t \in \mathbb{R})} \right.\).

  • A \((1;2;0)\).
  • B \((1;0; - 1)\).
  • C \((1;2; - 2)\).
  • D \((1;2; - 1)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Vecto chỉ phương của d là:

\(\overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Xét số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5 \). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = \left( {1 - 2i} \right)z - 2 + 3i\) là một đường tròn có bán kinh bằng

  • A 1.
  • B \(\sqrt 5 \).
  • C 25 .
  • D 5

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Biểu diễn z theo w.

+ Thay vào \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5 \) đưa về dạng \(\left| {{\rm{w}} - {{\rm{w}}_0}} \right| = R\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}{\rm{w}} = \left( {1 - 2i} \right)z - 2 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{{\rm{w}} + 2 - 3i}}{{1 - 2i}}\end{array}\)

Thay z vào \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5 \) ta được:

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{{\rm{w}} + 2 - 3i}}{{1 - 2i}} + 1} \right| = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{\rm{w}} + 2 - 3i + 1 - 2i}}{{1 - 2i}}} \right| = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{\rm{w}} - \left( {5i - 3} \right)} \right|}}{{\left| {1 - 2i} \right|}} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {{\rm{w}} - \left( {5i - 3} \right)} \right| = 5\end{array}\)

Vậy điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm \(M\left( { - 3;5} \right)\) bán kính 5.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho số phửe \(z = 3 + 2i\). Tinh \(\left| z \right|\)

  • A \(\left| z \right| = 5\)
  • B \(\left| z \right| = 13\)
  • C \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)
  • D \(|z| = \sqrt {13} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z = 3 + 2i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

: Cho hai số phức \({z_1},{z_1}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {17} \). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2}\) trền mặt phẳng tọa độ. Biết \(MN = 3\sqrt 2 \), gọi \(H\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành MONH và \(K\) là trung điểm của ON. Tính \(d = KH\).

  • A \(d = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)
  • B \(d = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\).
  • C \(d = 5\sqrt 2 \).
  • D \(d = \frac{{3\sqrt {13} }}{2}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Tìm góc \(\widehat {KNH}\).

+ Sử dụng định lý cosin cho tam giác KNH.

Lời giải chi tiết:

Do OM=ON nên MONH là hình thoi. Gọi I là trung điểm của MN. Ta có:

\(\begin{array}{l}IN = \frac{{MN}}{2} = \frac{3}{{\sqrt 2 }},ON = \sqrt {17} \\ \Rightarrow \cos \widehat {ONM} = \frac{{NI}}{{ON}} = \frac{3}{{\sqrt {34} }}\\ \Rightarrow {\cos ^2}\widehat {ONM} = \frac{9}{{34}}\\ \Rightarrow \cos \widehat {KNH} = \cos \widehat {ONH}\\ = 2{\cos ^2}\widehat {ONM} - 1 =  - \frac{8}{{17}}\end{array}\)

Theo định lý cosin ta có:

\(\begin{array}{l}K{H^2} = N{K^2} + N{H^2} - 2NK.NH.\cos \widehat {KNH}\\ = \frac{{117}}{4} \Rightarrow KH = \frac{{3\sqrt {13} }}{2}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

: Hàm số \(F(x) = \sin 2021x\) là nguyên hàm của hàm sổ

  • A \(f(x) = \cos 2021x\).
  • B \(f(x) =  - \frac{1}{{2021}}\cos 2021x\).
  • C \(f(x) = 2021\cos 2021x\).
  • D \(f(x) =  - 20217\cos 2021x\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(F'\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = 2021.\cos 2021x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = 2021.\cos 2021x\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 2;7} \right)\).

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 2t\\z =  - 3 + 7t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 7t\\y = 2 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua M(1;2;-3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 2;7} \right)\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Giả sử \(\int_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}}  = \ln c\). Giả trị của \(c\) là

  • A 8
  • B 9
  • C 3
  • D 81

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{mx + n}}}  = \frac{1}{m}\ln \left| {\frac{{mb + n}}{{ma + n}}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}}  = \frac{1}{2}\left. {\left( {\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)} \right|_1^5\)\( = \frac{1}{2}\ln {3^2} = \ln 3\).

\( \Rightarrow C = \ln 3\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên [a ; b] và \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\). Khẳng định nào sau đây là đúng.

  • A \(\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(b) - F(a)\)
  • B \(\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(a) + F(b)\).
  • C \(\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b =  - F(a) - F(b)\).
  • D \(\int_a^b f (x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F(a) - F(b)\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Định nghĩa tích phân.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục và nhận giá trị dương trên [0 ; 1]. Biết \(f(x) \cdot f(1 - x) = 1\) với \(\forall x \in [0;1]\). Tính giá trị \(I = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f(x)}}} \).

  • A \(\frac{3}{2}\)
  • B \(\frac{1}{2}\).
  • C 1
  • D 2

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt x=1-t

Sử dụng phương pháp đổi biến.

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân tìm \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)

Đặt x=1-t

\( \Rightarrow dx =  - dt\)

Đổi cận

\(\begin{array}{l} =  > I = \int\limits_1^0 {\frac{{ - dt}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + \frac{1}{{f\left( t \right)}}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \end{array}\)

Mà \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)

Vậy \(\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}} = \frac{1}{{1 + f\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1\)

\( \Rightarrow I = 1\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz, cho điểm \(M(1;5;2)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Côsin góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng BC bằng

  • A \(\frac{{\sqrt {147} }}{{58}}\).
  • B \(\frac{{\sqrt {174} }}{{85}}\).
  • C \(\frac{{\sqrt {417} }}{{58}}\).
  • D \(\frac{{\sqrt {174} }}{{58}}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả:

O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC và \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Tìm điểm H.

Tìm \(\overrightarrow {BC} \).

Góc giữa 2 đường thẳng \(\Delta ,BC\) là: \(\cos \left( {\Delta ,BC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên OH là đường cao kẻ từ đỉnh O tới mặt phẳng (ABC).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = {\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right)_{\min }}\\ \Leftrightarrow O{H_{\max }}\end{array}\)

Mà \(OH \le OM\) cố định nên \(O{H_{\max }} \Leftrightarrow OH = OM \Leftrightarrow M \equiv H\)

\( \Rightarrow AM \bot BC\)

=> Đường thửng BC nằm trong mặt phẳng (Oyz) và vuông góc với OM.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oyz} \right)}} = \left( {1;0;0} \right)\\\overrightarrow {BC}  \bot \overrightarrow {OM}  = \left( {1;5;2} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} =  > \overrightarrow {BC}  = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( {Oyz} \right)}},\overrightarrow {OM} } \right] = \left( {0; - 2;5} \right)\\ =  > \cos \left( {\Delta ,BC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\sqrt {174} }}{{58}}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \((2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i\). Môdun của \(z\) bằng

  • A \(2\sqrt 2 \).
  • B \(\sqrt {10} \).
  • C 2
  • D 4

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: \({z_1}.{z_2} = {z_3} =  > \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + 3i} \right)z = 9 + 7i\\ \Leftrightarrow \left| {2 + 3i} \right|.\left| z \right| = \left| {9 + 7i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {10} \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Phần ảo của số phức \(\frac{1}{{1 + i}}\) là:

  • A \(\frac{1}{2}\)
  • B \( - \frac{1}{2}\)
  • C \( - \frac{1}{2}i\)
  • D -1

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất \(\frac{1}{{{z_0}}} = \frac{{\overline {{z_0}} }}{{{{\left| {{z_0}} \right|}^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(z = \frac{1}{{1 + i}} = \frac{{1 - i}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\)

Phần ảo là \( - \frac{1}{2}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M(1;2;3)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng lớn nhất, mặt phẳng \((P)\) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Tính thể tích khối chóp \(O \cdot ABC\).

  • A \(\frac{{524}}{3}\).
  • B \(\frac{{686}}{9}\).
  • C \(\frac{{343}}{9}\).
  • D \(\frac{{1372}}{9}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC  và có thể tích \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC\).

+ Tìm (P).

+ Tìm OA, OB, OC.

+ thể tích \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(d{\left( {O,\left( P \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow d\left( {O,\left( P \right)} \right) = OM\). Hay \(OM \bot \left( P \right) \equiv \left( {ABC} \right)\)

Mà OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

Suy ra M là trực tâm tam giác ABC.

\(\begin{array}{l} =  > \left( P \right):1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\end{array}\)

Giả sử \(A \in Ox =  > A\left( {a;0;0} \right) =  > a = 14 = OA\)

Tương tự ta có \(OB = 7;OC = \frac{{14}}{3}\).

=> \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{{686}}{9}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Tính thể tích vật thể tròn xoay ( phần tô đậm) quay quanh trục hoành giới hạn bởi các đường \(y = {x^2}\), \(y =  - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\) và trục hoành như hình vẽ.

  • A 1
  • B \(\frac{6}{5}\)
  • C \(\pi \)
  • D \(\frac{{6\pi }}{5}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính riêng thể tích \({V_1}\) phần tô đậm từ x=0 đến x=1 và phần thể tích \({V_2}\) từ x=1 đến x=4.

Thể tích cần tìm: \(V = {V_1} + {V_2}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \({V_1}\) là thể tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2},y = 0,x = 0,x = 1\).

\({V_2}\) là thể tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3},y = 0,x = 1,x = 4\).

Thể tích cần tìm: \(V = {V_1} + {V_2}\)

Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{x^4}dx}  = \frac{\pi }{5}\)

\(\begin{array}{l}{V_2} = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}} \right)}^2}dx}  = \pi \\ \Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \frac{{6\pi }}{5}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Trong mặt phẳng phức, gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R}),M'\) là điểm biểu diễn số phức liên hợp của \(z\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

  • A \(M'\) đối xứng với \(M\) qua Oy
  • B \(M'\) đối xứng với \(M\) qua Ox.
  • C \(M'\) đối xứng với \(M\) qua đường thẳng \(y = x\).
  • D \(M'\) đối xứng với \(M\) qua O.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Tìm điểm biểu diễn của M và M’.

+ Nhận xét M và M’.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overline z  = a - bi\\ \Rightarrow M'\left( {a; - b} \right),M\left( {a;b} \right)\end{array}\)

=> M’ đối xứng M qua Oy.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \((z + 3 - i)(\bar y + 1 + 3i)\) là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng

  • A \(4\sqrt 2 \)
  • B 0
  • C \(2\sqrt 2 \).
  • D \(3\sqrt 2 \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Tìm phần thực và phần ảo của \(\left( {z + 3 - i} \right)\left( {\overline z  + 1 + 3i} \right)\).

+ Một số phức trở thành một số thực khi và chỉ khi phần ảo của số phức đó bằng 0.

+ Phần thực và phần ảo của z luôn thỏa mãn một phương trình đường thẳng nào đó thì đường thẳng đó là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi =  > \overline z  = x - yi\)

\(\begin{array}{l}\left( {z + 3 - i} \right)\left( {\overline z  + 1 + 3i} \right)\\ = \left[ {x + 3 + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x + 1 + \left( {3 - y} \right)i} \right]\\ = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right)\left( { - y + 3} \right)\\ + \left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {3 - y} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \right]i\end{array}\)

Vì đây là một số thực nên phần ảo của nó bằng 0.

Hay \(\left( {x + 3} \right)\left( {3 - y} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - xy - 3y + 3x + 9 + xy + y - x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2y + 2x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\end{array}\)

Phần thực x và phần ảo y luôn thỏa mãn phương trình đường thẳng trên nên đây là đường thẳng biểu diễn z.

\( =  > d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \)

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lê Quý Đôn Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lê Quý Đôn

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lê Quý Đôn với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THCS-THPT Long Thạnh Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THCS-THPT Long Thạnh

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THCS-THPT Long Thạnh với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Quốc Tuấn Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Quốc Tuấn

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Quốc Tuấn với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Lý thuyết hàm số lũy thừa Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Xem chi tiết
Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

Tổng hợp lý thuyết hàm số mũ và hàm số lôgarit ngắn gọn, dễ hiểu

Xem chi tiết
Lý thuyết cực trị của hàm số Lý thuyết cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x ∈ (a ; b).

Xem chi tiết
Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Xem chi tiết

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay

Gửi bài