Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lê Quý Đôn

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

  • A \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } } \)
  • B \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx} } } \)
  • C \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } \)
  • D \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của nguyên hàm

Lời giải chi tiết:

\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)dx} \right]} \)\( = \int {f\left( x \right)dx}  - \int {g\left( x \right)dx} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) trên \(\mathbb{R}\) là

  • A \( - \sin x + C\)
  • B \(\cos x + C\)
  • C \(\sin x + C\)
  • D \( - \cos x + C\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\cos xdx}  = \sin x + C\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\) và \(k\) là hằng số tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k + \int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
  • B \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = k.\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
  • C \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = \int_a^b {kdx} .\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \)
  • D \(\int_a^b {k.f\left( x \right)dx = \int_a^b {f\left( {kx} \right)dx} } \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được tính theo công thức nào dưới đây? (Hình dưới)

  • A \(S = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  • B \(S = \pi \int_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)
  • C \(S =  - \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  • D \(S = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính chất của tích phân.

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành và các đường thẳng \(x = a;x = b\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) do \(f\left( x \right) > 0\forall x \in \left[ {a;b} \right]\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được tính theo công thức

  • A \(S = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  • B \(S = \pi \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
  • C \(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
  • D \(S = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành và các đường thẳng \(x = a;x = b\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Thể tích \(V\) của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\)và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) (\(a < b\)) quanh trục \(Ox\) được tính theo công thức

  • A \(V = \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
  • B \(V = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  • C \(V = \pi \int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  • D \(V = \pi \int_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được tính theo công thức

  • A \(S = \int_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)
  • B \(S = \pi \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
  • C \(S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
  • D \(S = \pi \int_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Phần ảo của số phức \(z = 2 + 3i\) là

  • A \(3i\)
  • B 2
  • C \(2i\)
  • D 3

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có phần thực là a và phần ảo là b, i là đơn vị ảo.

Lời giải chi tiết:

Số phức \(z = 2 + 3i\) có phần thực là 2, phần ảo là 3.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tính môđun của số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)

  • A \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
  • B \(\left| z \right| = {a^2} + {b^2}\)
  • C \(\left| z \right| = a + b\)
  • D \(\left| z \right| = a - b\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm mô đun của số phức

Lời giải chi tiết:

Mô đun của số phức là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Số phức liên hợp của số phức \(z = 2 + 3i\) là

  • A \( - 2 + 3i\)
  • B \(3 + 2i\)
  • C \(3 - 2i\)
  • D \(2 - 3i\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overline z  = a - bi\)

Lời giải chi tiết:

\(\overline z  = 2 - 3i\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức \(z =  - 1 + 2i\) là điểm nào trong các điểm sau? (hình vẽ dưới)

  • A M
  • B N
  • C P
  • D Q

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {a;b} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(z =  - 1 + 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow P\left( { - 1;2} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} = 1 - 2i\). Tính \({z_1} + {z_2}\)

  • A \(3 + i\)
  • B \(3 - 2i\)
  • C \(3 + 5i\)
  • D \(3 - 5i\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lấy phần thực cộng với phần thực, phần ảo cộng với phần ảo.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {1 - 2i} \right)\\ = \left( {2 + 1} \right) + \left( {3i - 2i} \right) = 3 + i\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Tính số phức \(z = \left( {2 + i} \right).i\)

  • A \(1 - 2i\)
  • B \(1 + 2i\)
  • C \( - 1 + 2i\)
  • D \( - 1 - 2i\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nhân 2 số phức.

Lời giải chi tiết:

\(z = \left( {2 + i} \right)i = 2i + {i^2} = 2i - 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tìm tất cả các căn bậc hai của \( - 4\)

  • A \(2i\).
  • B \(2\).
  • C \(2\) và \( - 2\).
  • D \(2i\) và \( - 2i\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai \({z^2} =  - 4\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^2} =  - 4 \Leftrightarrow {z^2} = {\left( {2i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2i\\z =  - 2i\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;2; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\) bằng

  • A 2.
  • B -4.
  • C 4.
  • D -2.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow n \left( {x;y;z} \right)\) là: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = ax + by + cz\).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.3 + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 2\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y + 3z - 2 = 0\)?.

  • A \(M\left( {1; - 2;3} \right)\).
  • B \(N\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
  • C \(P\left( {1; - 2;1} \right)\).
  • D \(Q\left( { - 1;2;1} \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) \in \left( P \right):ax + by + cz = 0\)\( \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào \(\left( \alpha  \right)\) ta thấy:

\(1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 1} \right) - 2 = 0\)

Điểm N thuộc \(\left( \alpha  \right)\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + 3y - z + 1 = 0\)?

  • A \(4x + 6y - 2z + 2 = 0\).
  • B \(2x + 3y + z - 1 = 0\).
  • C \( - 4x - 6y + 2z + 2 = 0\).
  • D \(x + y + 5z + 1 = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng (P): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) và (Q): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\)\(\left( {{a_1},{b_2},{c_2},{d_2} \ne 0} \right)\) song song khi và chỉ khi: \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {2;3; - 1} \right)\). Ta có:

Đáp án A sai vì mặt phẳng này trùng với  \(\left( \alpha  \right)\).

Đáp án B, D sai vì vecto pháp tuyến của mặt phẳng này không song song với \({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}}\).

Đáp án C đúng vì \(\overrightarrow n  = \left( { - 4; - 6;2} \right)\). Khi đó

\(\frac{{ - 4}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = \frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{2}{1}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\)?

  • A M(1; 0; -1).
  • B N(4; 2; 2).
  • C P(7; 4; -7).
  • D Q(-2; -2; -4).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {m,n,p} \right) \in d:\)\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)\( \Leftrightarrow \frac{{m - {x_0}}}{a} = \frac{{n - {y_0}}}{b} = \frac{{p - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Thay lần lượt các đáp án vào d:

Ta thấy khi thay P vào d thì có : \(\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 7 + 1}}{3}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2t{\rm{  }}}\end{array}} \right.\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) là

  • A \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;0} \right)\).
  • B \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\).
  • C \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\).
  • D \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;0} \right)\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và nhận véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 3;5} \right)\)làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là

  • A \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y =  - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
  • B \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 3t}\\{y =  - 3 - 2t}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.\).
  • C \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
  • D \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y =  - 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vecto chỉ phương là:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng qua M(3; -2; 1)  và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 3;5} \right)\) làm vecto chỉ phương là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 4t}\\{y =  - 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\) là

  • A \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
  • B \({e^{2x}} + C\).
  • C \(2{e^{2x}} + C\).
  • D \(2x.{e^{2x}} + C\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

\(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{e^{2x}}dx}  = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Nếu đặt \(t = {x^2}\) thì tích phân \(\int_0^2 {x.{e^{{x^2}}}dx} \) trở thành tích phân nào trong các tích phân sau?

  • A \(\int_0^4 {{e^t}dt} \).
  • B \(\frac{1}{2}\int_0^2 {{e^t}dt} \).
  • C \(\frac{1}{2}\int_0^4 {{e^t}dt} \).
  • D \(\int_0^2 {{e^t}dt} \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dx = 2tdt\).

Đổi cận ẩn x sang ẩn t.

Đưa tích phân về ẩn t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dx = 2tdt\)

Đổi cận:

\( =  > I = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^t}dt} \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Tính tích phân \(I = \int_0^1 {{2^x}dx} \)

  • A \(\frac{2}{{\ln 2}}\).
  • B \(\ln 2\).
  • C \(2.\ln 2\).
  • D \(\frac{1}{{\ln 2}}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm: \(I = \int {{2^x}dx}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {{2^x}dx}  = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{\ln 2}}\)x.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho tích phân \(I = \int_1^3 {x.\ln xdx} \). Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau

  • A \(I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \int_1^3 {xdx} \).
  • B \(I = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx} \).
  • C \(I = \left. {\left( {{x^2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \int_1^3 {xdx} \).
  • D \(I = \left. {\left( {{x^2}\ln x} \right)} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int_1^3 {xdx} \).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {x\ln xdx} \\ = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\ln x} d{x^2}\\ = \left. {\frac{{{x^2}\ln x}}{2}} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {{x^2}d\left( {\ln x} \right)} \\ = \left. {\frac{{{x^2}\ln x}}{2}} \right|_1^3 - \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {xdx} \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,c} \right]\) có đồ thị như hình vẽ bên, biết \(\int_a^b {f\left( x \right)dx =  - 2} \) và \(\int_b^c {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính diện tích \(S\) của hình phẳng được tô đậm

  • A \(S = 1\).
  • B \(S = 3.\)
  • C \(S = 5\).
  • D \(S = 7.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng bằng: \(\int_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} } \)\( + \int_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Xét dấu của f(x) trong [a;b] và [b;c].

\(\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) đồ thị nằm bên trên trục Ox.

\(\left| {f\left( x \right)} \right| =  - f\left( x \right) \Leftrightarrow \) đồ thị nằm bên dưới trục Ox.

Lời giải chi tiết:

\(S = \int_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} } \)\( + \int_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

\(\begin{array}{l} = \int_a^b { - f\left( x \right)dx}  + \int_b^c {f\left( x \right)dx} \\ = 2 + 3 = 5\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,\,\,x = 1\)

  • A \(S =  - \frac{{11}}{3}\).
  • B \(S = \frac{8}{3}\).
  • C \(S = \frac{{11}}{3}\).
  • D \(S = \frac{5}{3}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Xét dấu của f(x) trong [a;b].

Lời giải chi tiết:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  = \frac{{11}}{3}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong các số phức sau số phức nào là số thuần ảo?

  • A \(z = 2 + i\).
  • B \(z = 3 - i\).
  • C \(z = 2\).
  • D \(z = i\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Số thuần ảo là số có dạng  \(z = bi,\left( {b \in \mathbb{R}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(z = i\) là số thuần ảo.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Biết rằng tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1} \right| = 2\) là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm đường tròn đó.

  • A \(\left( { - 1;\,0} \right)\).
  • B \(\left( {1;\,0} \right)\).
  • C \(\left( {0;\,1} \right)\).
  • D \(\left( {0;\, - 1} \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tập hợp điểm biểu diễn z thỏa mãn \(\left| {z - {z_0}} \right| = R\) là đường tròn tâm \(M\left( {{z_0}} \right)\) bán kính R.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {z - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z - \left( {1 + 0.i} \right)} \right| = 2\)

=> Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I(1;0) bán kính 2.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tìm số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(2z + \overline z  = 3 + 4i\)

  • A \(z = 3 + 4i\).
  • B \(z = 1 - 4i\).
  • C \(z = 1 + 4i\).
  • D \(z = 3 - 4i\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Tìm \(\overline z \) và sử dụng cách đồng nhất hệ số để tìm a và b.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\begin{array}{l}2z + \overline z  = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + a - bi = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 3a + bi = 3 + 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 + 4i\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(i.z = 1 + 2i\). Phần thực của số phức \(z\) bằng

  • A \(1\).
  • B \( - 1\).
  • C \(2\).
  • D \( - 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất \(z.{z_1} = {z_2} \Leftrightarrow z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\) và \(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\).

Phần thực của số phức \(z = a + bi\) là a.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}i.z = 1 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 2i}}{1}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( { - i} \right)}}{1}\\ \Leftrightarrow z = 2 - i\end{array}\)

=> Phần thực là 2.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)

  • A \(\sqrt 5 \).
  • B \(\sqrt {13} \).
  • C \(2\sqrt {13} \).
  • D \(2\sqrt 5 \).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\)  thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) và

\({z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\) nên \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

Mà theo Vi-et ta có: \({z_1}.{z_2} = 5 =  > \left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| 5 \right|\).

=> \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5  \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2 = 0\) có bán kính bằng

  • A 2.
  • B \(\sqrt 3 \).
  • C \(\sqrt 6 \).
  • D \(\sqrt 7 \).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đưa phương trình mặt cầu về dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2z - 4y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 7\end{array}\)

=> (S) là mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;2;0} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 7 \).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là

  • A \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\).
  • B \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;0} \right)\).
  • C \(\overrightarrow n  = \left( {0;1;0} \right)\).
  • D \(\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0,0,1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Oxy) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0,0,1} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) bằng

  • A \(\frac{7}{3}\).
  • B \(\frac{5}{3}\).
  • C \(\frac{2}{3}\).
  • D \(\frac{{10}}{3}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) bằng:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) bằng

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }}\)\( = \frac{{10}}{3}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right),N\left( {3;4;5} \right)\)có phương trình tham số là

  • A \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
  • B \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.\).
  • C \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4 - t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}} \right.\).
  • D \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z =  - 3 + 8t}\end{array}} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow {MN} \).

Đường thẳng đi qua 2 điểm M,N nhận \(k.\overrightarrow {MN} \left( {k \ne 0} \right)\) làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;2;8} \right)\)

Đường thẳng đi qua 2 điểm M,N nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;4} \right)\) làm vecto chỉ phương nên loại C, D.

Thay tọa độ điểm M vào đáp án A ta tìm được \(t =  - 1\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

  • A \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  + C} \).
  • B \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}x\sqrt {x + 1}  + C} \).
  • C \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt {x + 1}  + C} \).
  • D \(\int {\sqrt {x + 1} dx = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  + C} \).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Biến đổi \(\sqrt {x + 1}  = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\).

Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^m}dx}  = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{m + 1}}}}{{m + 1}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\sqrt {x + 1} dx}  = \int {{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} \\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C\\ = \frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  + C\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Biết rằng số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(i.z + 2.\overline z  = 6 + 3i\). Tính \(a - b\)

  • A \(2\).
  • B \(4\).
  • C \(3\).
  • D \(1\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\overline z  = a - bi\)

Thay vào biểu thức \(i.z + 2.\overline z  = 6 + 3i\) tìm a và b.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}i.z + 2.\overline z  = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow i\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)i + 2a - b = 6 + 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 3\\2a - b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow a - b = 3\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},\,y = 0\) quanh trục \(Ox\).

  • A \(\frac{4}{3}\).
  • B \(\frac{{4\pi }}{3}\).
  • C \(\frac{{16}}{{15}}\).
  • D \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị \(y = 1 - {x^2},\,y = 0\).

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0\) , \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\) là \(I = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị \(y = 1 - {x^2},y = 0\) là nghiệm của phương trình:

\(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},y = 0\) quanh trục \(Ox\) là

\(\begin{array}{l}I = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} \\ = \frac{{16\pi }}{{15}}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Tính tích phân \(I = \int_1^4 {\frac{{\sqrt x  + f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) biết rằng \(\int_1^2 {f\left( x \right)dx = 2} \)

  • A \(I = 7\).
  • B \(I = 5\).
  • C \(I = 8\).
  • D \(I = 9\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tách tích phân thành \(\int\limits_1^4 {1dx}  + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \)

Đổi biến số \(t = \sqrt x \) tính \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^4 {\frac{{\sqrt x  + f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \\ = \int\limits_1^4 {1dx}  + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \\ = 3 + 2\int\limits_1^4 {f\left( {\sqrt x } \right)d\left( {\sqrt x } \right)} \end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt x \)

Đổi cận:

\( =  > I = 3 + 2\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt}  = 3 + 2.2 = 7\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{2z}}{i} + \left| z \right|.i = 3\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(0 < \left| z \right| < 1\).
  • B \(1 < \left| z \right| < 2\).
  • C \(2 < \left| z \right| < 3\).
  • D \(3 < \left| z \right| < 4\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với i.

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Biếnđổi biểu thức rồi đồng nhất hệ số tìm \({a^2},{b^2}\).

Mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{2z}}{i} + \left| z \right|.i = 3\). Nhân 2 vế với i.

Ta được:

\(2z - \left| z \right| = 3i\)

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\begin{array}{l}2z - \left| z \right| = 3i\\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) - \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0\\2b = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} + {b^2} = 4{a^2}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{3}{4}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 3 \\ \Rightarrow 1 < \left| z \right| < 2\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^4} + {z^2} - 6 = 0\). Tính \(i.{z_0}\)

  • A \(\sqrt 3 \).
  • B \( - \sqrt 3 \).
  • C \(\sqrt 2 .i\).
  • D \( - \sqrt 2 .i\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Giải phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) tìm nghiệm phức có phần ảo dương.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4} + {z^2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} =  - 3 = {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \sqrt 2 \\z =  - \sqrt 2 \\z = \sqrt 3 i\\z =  - \sqrt 3 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {z_0} = \sqrt 3 i \Rightarrow i{z_0} =  - \sqrt 3 \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;0), B(-3;6;2). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21\).
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 21\).
  • C \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính AB có tâm là M bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của AB

=> \(M\left( { - 1;2;1} \right)\).

Mặt cầu đường kính AB có tâm là M bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {21} \) là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = 2, SB = 4. Gọi điểm M là trung điểm của SB. Biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) bằng \(\frac{2}{3}\). Tính độ dài cạnh SC

  • A SC = 2.
  • B SC = 4.
  • C SC = 6.
  • D SC = 8.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

SA, SB, SC đôi một vuông góc nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Với H là trực tâm của tam giác ABC.

Tìm SH.

Kẻ \(CN \bot AB\) và chứng minh \(AB \bot SN\).

Tam giác \(SAB\) đường cao SN ứng với cạnh huyền có: \(\frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

SA, SB, SC đôi một vuông góc nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Với H là trực tâm của tam giác ABC.

Goi I là trung điểm của BH.

=> MI//SH

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = 2MI\\MI \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow MI = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow SH = 2MI = \frac{4}{3}\end{array}\)

Kẻ \(CN \bot AB\)

\(\begin{array}{l}SC \bot AB\\ \Rightarrow AB \bot \left( {SCN} \right)\\ \Rightarrow AB \bot SN\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} = \frac{5}{{16}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} - \frac{1}{{S{N^2}}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow SC = 2\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) và \({d^{\bf{/}}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2{t^{\bf{/}}}}\\{y = 3 + {t^{\bf{/}}}}\\{z = 4 + 3{t^{\bf{/}}}}\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối của \(d\) và \(d'\) .

  • A d trùng với d’.
  • B d song song với d’.
  • C d cắt d’.
  • D d chéo d’

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm \({\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _{d'}}\). Nhận xét mối quan hệ giữa \({\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _{d'}}\) suy ra mối quan hệ giữa \(d\) và \(d'\) .

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\overrightarrow u _d} = \left( {2; - 1; - 3} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 2;1;3} \right)\\ \Rightarrow {\overrightarrow u _d}//{\overrightarrow u _{d'}} \Rightarrow d//d'\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 3) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\). Gọi \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;3} \right)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)và cắt trục Oy. Tính \(a + b\)

  • A -6.
  • B 6.
  • C 4.
  • D -4.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm \({\overrightarrow u _\Delta }\)

\(\overrightarrow u \) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)nên \(\overrightarrow u  \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Rightarrow \overrightarrow u .{\overrightarrow u _\Delta } = 0\).

Lập hệ phương trình giao điểm của d cắt Oy.

Tìm a,b.

Lời giải chi tiết:

\({\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 2;2} \right)\)

\(\overrightarrow u  = \left( {a;b;3} \right)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(\Delta \)nên \(\overrightarrow u  \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Rightarrow \overrightarrow u .{\overrightarrow u _\Delta } = 0\).

Hay \(a - 2b + 6 = 0 \Leftrightarrow a = 2b - 6\)

Có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 + bt\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\)

Vì d cắt Oy nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2 + at = 0\\1 + bt = t'\\3 + 3t = 0\end{array} \right.\) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}at =  - 2\\bt = t' - 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\\t =  - 1\\t' =  - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 6\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = mx\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) bằng \(1\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

  • A \(0 < m < 1\).
  • B \(1 < m < 2\).
  • C \(2 < m < 3\).
  • D \(3 < m < 4\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = mx\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) .

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = f\left( x \right)\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)bằng \(I = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải phương trình \(I = 1\) tìm m.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = mx\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} = mx \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = mx\) (\(m\) là tham số dương) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) bằng

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|dx} \\ = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right)dx} \\ = \frac{{{m^3}}}{6}\\ \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{6} = 1 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{6}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Tính tích phân \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)dx} \)

  • A \(I =  - \frac{1}{4}\).
  • B \(I = \frac{1}{4}\).
  • C \(I =  - \frac{3}{4}\).
  • D \(I =  - \frac{1}{2}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Sử dụng phương pháp tích phân từng phần u=x,v=f(x).

+ Đổi biến số \(t = \frac{\pi }{2} - x\)

+ Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xd\left[ {f\left( x \right)} \right]} \\ = x.f\left( x \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Ta có \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\) nên

\(f\left( x \right) = \sin x.\cos x - f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) thay vào I ta được:

\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) - \sin x.\cos x} \right]dx} \)

Đặt \(t = \frac{\pi }{2} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} - t \Rightarrow dx =  - dt\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left[ {f\left( t \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)} \right]\left( { - tdt} \right)} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( t \right) - \sin t.\cos t} \right]dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) - \sin x.\cos x} \right]dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} { - \sin x.\cos x}  - I =  - \frac{1}{2} - I\\ \Rightarrow I =  - \frac{1}{4}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho số phức \(z\) thỏa \(\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i\), giá trị của \(\left| z \right|\) bằng

  • A \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
  • B \(\frac{{2\sqrt {10} }}{{10}}\).
  • C \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
  • D \(\frac{{2\sqrt {10} }}{5}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất: \(\frac{z}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{\overline z }};\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\), \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)}}{{\overline z }} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i - 1 + i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{3i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Rightarrow \frac{{\left| {3i} \right|}}{{\left| {\overline z } \right|}} = \left| {1 + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = \frac{{1 + iz}}{{2 + z}}\,\,\,\left( {z \ne  - 2} \right)\) là một đường thẳng. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 4i} \right|\)là

  • A \(6\).
  • B \(7\).
  • C \(5\).
  • D \(8\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt \({\rm{w}} = x + yi\).

Đưa về dạng \(z.{z_1} = {z_2}\) rồi lấy mô đun 2 vế.

Biện luận \({\left| z \right|^2}\)

Sử dụng bất đẳng thức \(\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left|{{z_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(w= x + yi\).

Từ giả thiết \(w= \frac{{1 + iz}}{{2 + z}} \Rightarrow w\left( {2 + z} \right) = 1 + iz\)

\( \Rightarrow z\left( w- i \right) = 1 - 2w\)

\( \Rightarrow z\left[ {x + yi - i} \right] = 1 - 2\left( {x + yi} \right)\)  (1)

Lấy modun hai vế biểu thức (1) ta được 

\(\left| z \right|\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} + {{\left( { - 2y} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow {\left| z \right|^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right)\)\( = \left( {4{x^2} + 4{y^2} - 4x + 1} \right)\)  (2)

Từ (2) suy ra:

Nếu \({\left| z \right|^2} \ne 4\) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn.

Nếu \({\left| z \right|^2} = 4\) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}}\) là đường thẳng thỏa mãn đề bài.

Suy ra \(\left| z \right| = 2\)

+ \(P = \left| {z - 4i} \right| \le \left| z \right| + \left| {4i} \right| = 6\) . Dấu “=” xảy ra khi \(z =  - 2i\) vì z phải là số thuần ảo giống -4i. Vậy GTLN của P bằng \(6\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\). Xét mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất. Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình dạng \(ax + by + cz - 1 = 0\). Tính \(T = a + b + c\)

  • A T = 0.
  • B T = 2.
  • C T = 4.
  • D T = 6.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Khi đó mp (P) thỏa yêu cầu bài toán vuông góc với MH tại H.

+ Tìm tọa độ điểm H sau đó viết ptmp (P)

Lời giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

Goi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d. Khi đó \(\left( Q \right) \cap d = \left\{ H \right\}\)

\(\begin{array}{l}\left( Q \right):0\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow H\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow MH = \left( {0; - 1; - 1} \right)\)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi \(MH \bot \left( P \right)\) tại H. Hay

\(\begin{array}{l}\left( P \right):0\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 0x + y + z - 1 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow T = a + b + c = 0 + 1 + 1 = 2\)

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THCS-THPT Long Thạnh Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THCS-THPT Long Thạnh

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THCS-THPT Long Thạnh với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Lý Thường Kiệt với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Quốc Tuấn Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Quốc Tuấn

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Trần Quốc Tuấn với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Đan Phượng Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Đan Phượng

Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Đan Phượng với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Xem chi tiết
Lý thuyết hàm số lũy thừa Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Xem chi tiết
Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

Tổng hợp lý thuyết hàm số mũ và hàm số lôgarit ngắn gọn, dễ hiểu

Xem chi tiết
Lý thuyết cực trị của hàm số Lý thuyết cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x ∈ (a ; b).

Xem chi tiết
Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Xem chi tiết

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay

Gửi bài