Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đà Nẵng


Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 12 năm 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đà Nẵng với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Câu 1. Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + z - 7 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;3; - 1} \right).\)

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3;2} \right).\)

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {2; - 3;1} \right).\)

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( { - 1;3;2} \right).\)

Câu 2. Giả sử \(\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x}  = a + b\ln 2\) với a, b là các số nguyên. Khi đó \(a - b\) bằng

A. \( - 3\).                               B. \(3\).

C. \(5\).                                  D. \( - 5.\)

Câu 3. Cho hai số phức \({z_1} = 15 - 6i\) và \({z_2} = 7 - 6i\). Tìm số phức \(z = {z_1} + {z_2}\).

A. \(z = 22.\)

B. \(z = 22 - 12i.\)

C. \(z = 8 - 12i.\)

D. \(z = 22 + 12i.\)

Câu 4. Cho số phức \(z = a + bi,\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Tìm mệnh đề đúng.

A. \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

B. \(\left| z \right| = {a^2} + {b^2}.\)

C. \(\left| z \right| = \left| {a + b} \right|.\)

D. \(\left| z \right| = \left| a \right| + \left| b \right|.\)

Câu 5. Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(0;3;0),B(2;0;0),C(0;0;4)\) là

A. \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1.\)

B. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1.\)

C. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 0.\)

D. \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 0.\)

Câu 6. Cho số phức \(z = 15 - 6i\). Khi đó \(z + \bar z\) bằng

A. \(30.\)                                B. \( - 12i.\)

C. \(0.\)                                  D. \(261.\)

Câu 7. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 22\) và \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 24\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x.\)

A. \(I = 46.\)                          B. \(I =  - 46.\)

C. \(I =  - 2.\)                         D. \(I = 2.\)

Câu 8. Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {3x - 1} \right)\sin 3x{\rm{d}}x} \) bằng phương pháp tính tích phân từng phần, đặt \(u = 3x - 1\) và \({\rm{d}}v = \sin 3x{\rm{d}}x\). Khi đó:

A. \(I = \left. {\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .\)

B. \(I = \frac{1}{3}\left. {\left( {3x - 1} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .\)

C. \(I = \left. {\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .\)

D. \(I = \frac{1}{3}\left. {\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .\)

Câu 9. Số phức \(z = 6 + 7i\) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm:

A. \(M\left( {6; - 7} \right).\)                                          B. \(Q\left( {6;7} \right).\)

C. \(P\left( { - 6;7} \right).\) D. \(N\left( { - 6; - 7} \right).\)

Câu 10. Tính \(P = (3 + 2i)( - 4 + 5i) - 7i\).

A. \(P = 15.\)                          B. \(P = 5.\)

C. \(P =  - 22.\)                      D. \(P = 7.\)

Câu 11. Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(I\left( {2;0; - 3} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;4;3} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 5t\\y = 0\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 5 + 2t\\y = 4\\z = 3 - 3t.\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4t\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 5t\\y = 4t\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.\)

Câu 12. Trong không gian \(Oxyz\), tìm tọa độ của \(\overrightarrow x  = \vec i - 5\vec j + 7\vec k.\)

A. \(\overrightarrow x  = (1; - 5;7).\)

B. \(\overrightarrow x  = (1;5;7).\)

C. \(\overrightarrow x  = (1;5; - 7).\)

D. \(\overrightarrow x  = (0; - 5;7).\)

Câu 13. Xét \(\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{\rm{d}}x} \), nếu đặt \(x = 2\sin t,\) với \(t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì \(\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{\rm{d}}x} \) bằng

A. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos t{\rm{d}}t} .\)

B. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin t{\rm{d}}t} .\)

C. \(\frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{d}}t} .\)

D. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{d}}t} .\)

Câu 14. Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oxz) ?

A. \(x + z = 0.\)                      B. \(x = 0.\)

C. \(z = 0.\)                            D. \(y = 0.\)

Câu 15. Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2; - 4;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là điểm

A. \(P\left( {2;0;3} \right).\)

B. \(N\left( {2; - 4;0} \right).\)

C. \(M\left( {0; - 4;3} \right).\)

D. \(Q\left( {0; - 4;0} \right).\)

Câu 16. Cho \(I = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} \,} {\rm{d}}x\) và đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \). Chọn mệnh đề sai.

A. \(I = \left. {\frac{{2{u^3}}}{3}} \right|_1^3.\)

B. \(I = \int\limits_1^3 {2{u^2}} {\rm{d}}u.\)

C. \(I = \int\limits_1^3 {2u} {\rm{d}}u.\)

D. \(I = \frac{{52}}{3} \cdot \)

Câu 17. Số phức \(1 - 3i\) có phần thực và phần ảo lần lượt là

A. 1 và \( - 3.\)                       B. 1 và \( - 3i.\)

C. 1 và 3.                               D. \( - 3\) và 1.

Câu 18. Cho số phức \(z.\) Tìm mệnh đề đúng.

A. \(z.\bar z = {\left| z \right|^2}.\)

B. \(z.\bar z = \left| z \right|.\)

C. \(z.\bar z = {z^2}.\)

D. \(z.\bar z = {\bar z^2}.\)

Câu 19.  \(\int\limits_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3x + 1}}} \) bằng

A.  \(\ln \frac{5}{2} \cdot \)  B. \(3\ln \frac{5}{2} \cdot \)

C. \(\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2} \cdot \)                          D. \(\frac{1}{3}\ln 40.\)

Câu 20. \(\int\limits_0^3 {({e^x}{\rm{ + 1)d}}x} \) bằng

A. \(e + 2\).                            B. \(e - 1\).

C. \({e^3} + 1\).                     D. \({e^3} + 2.\)

Câu 21. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) được tính theo công thức:

A. \(S =  - \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .\)

B. \(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} } \right|.\)

C. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

D. \(S = \int\limits_a^b {\,f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Câu 22. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\) và \(B\left( {2;\, - 2;\,1} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là:

A. \(\left( {3;\,3;\, - 1} \right)\).

B. \(\left( { - 1;\,3;\, - 3} \right)\).

C. \(\left( {3;\,1;\,1} \right)\).

D. \(\left( {1;\, - 3;\,3} \right)\).

Câu 23. Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 5,\,y = 0,\,x = 1\) và \(x = 3.\) Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\)xung quanh trục \(Ox.\) Khi đó

A. \(V = \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x} \).

B. \(V = \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).

C. \(V = \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x} \).

D. \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).

Câu 24. Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ điểm \(A(1; - 2;3)\) đến mặt phẳng \((P):\,\,x + 4y - 2z - 6 = 0\) bằng

A. \(\frac{{19}}{{21}} \cdot \)                                        B. \(\frac{{19\sqrt {21} }}{{21}} \cdot \)

C. \(\frac{{\sqrt {21} }}{{21}} \cdot \)                          D. \(\frac{{21}}{{19}} \cdot \)

Câu 25. Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng \(d:\frac{{x + 7}}{2} = \frac{{y - 8}}{{ - 2}} = \frac{{z - 9}}{{ - 3}}\) có một vectơ chỉ phương là

A. \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 7;8;9} \right).\)

B. \(\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {7; - 8; - 9} \right).\)

C. \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {2;2;3} \right).\)

D. \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 2; - 3} \right).\)

Câu 26. Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {7^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\). Khi đó:

A. \(S = \pi \int\limits_0^2 {{7^x}{\rm{d}}x} \).

B. \(S = \pi \int\limits_0^2 {{7^{2x}}{\rm{d}}x} \).

C. \(S = \int\limits_0^2 {{7^{2x}}{\rm{d}}x} \).

D. \(S = \int\limits_0^2 {{7^x}{\rm{d}}x} \).

Câu 27. Số phức liên hợp của số phức \(z = 3i - 5\) là

A. \(\bar z =  - 5 + 3i.\)

B. \(\bar z = 3i + 5.\)

C. \(\bar z =  - 5 - 3i.\)

D. \(\bar z = 5 - 3i.\)

Câu 28. Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

A. \(\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - 3{x^2} + 5x + 2} \right)\,{\rm{d}}x} .\)

B. \(\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)\,{\rm{d}}x} .\)

C. \(\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)\,{\rm{d}}x} .\)

D. \(\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)\,{\rm{d}}x} .\)

Câu 29. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\) là

A. đường tròn tâm \(O(0;0),\)bán kính bằng 1.

B. đường tròn tâm \(I(2;2),\)bán kính bằng \(\sqrt 2 .\)

C. đường tròn tâm \(O(0;0),\)bán kính bằng \(4.\)

D. đường tròn tâm \(O(0;0),\)bán kính bằng \(2.\)

Câu 30. Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {0;2;3} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;6;4} \right).\)

B. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {2;6; - 4} \right).\)

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 3; - 2} \right).\)

D. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3;2} \right).\)

Câu 31. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = ( - 2; - 5;0),\) \(\overrightarrow b  = \left( {1;2;1} \right),\) \(\overrightarrow c  = \left( {2;3;2} \right)\). Tọa độ \(\overrightarrow d  = 3\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c \) là:

A. \(\left( {5;27;3} \right)\).

B. \(\left( { - 1; - 2;5} \right).\)

C. \(\left( {0;27;3} \right)\).

D. \(( - 11; - 23; - 5).\)

Câu 32. Cho số phức \(z = a + bi,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {1 + 3i} \right)z + 5\,\bar z = 4 - i.\) Tính \(P = a + b\).

A. \(P = \frac{1}{{15}} \cdot \)                                      B. \(P = \frac{7}{{15}} \cdot \)

C. \(P =  - \frac{{37}}{{15}} \cdot \)                              D. \(P = \frac{{37}}{{15}} \cdot \)

Câu 33. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {2;1;3} \right)\) và \(A\left( { - 1;3;0} \right).\) Phương trình của mặt cầu có tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) là

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 44.\)

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 44.\)

C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 22.\)

D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 22.\)

Câu 34. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm \(M\left( {1;2;1} \right)\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(I,K,H\) sao cho tam giác \(IKH\) có trực tâm là \(M.\)

A. \(x + 2y + 3z - 8 = 0.\)

B. \(3x + y - z - 4 = 0.\)

C. \(x + 2y + z - 6 = 0.\)

D. \(2x + 4y + 2z - 9 = 0.\)

Câu 35. Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( {ex} \right){\rm{d}}x}  = 1\), khi đó \(\int\limits_0^e {\left[ {f\left( x \right) - e} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

A. \(e - {e^e}.\)                      B. \({e^2} - e.\)

C. \(2e.\)                                 D. \(e - {e^2}.\)

Câu 36. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x}  = m\) và \(f\left( 1 \right) = 3.\) Khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(m - 3.\)                            B. \(m + 3.\)

C. \(3 - m.\)                            D. \( - m - 3.\)

Câu 37. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;\,1;\,3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2} \cdot \) Đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc với \(d\) và cắt trục \(Oy\) có phương trình là

A. \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{3} \cdot \)

B. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{3} \cdot \)

C. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2} \cdot \)

D. \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{2} \cdot \)

Câu 38. Tìm các số thực \(x,y\) thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i,\) với i là đơn vị ảo.

A. \(x =  - 1;y =  - 4.\)

B. \(x = 1;y =  - 4.\)

C. \(x = 4;y =  - 1.\)

D. \(x =  - 1;y = 4.\)

Câu 39. Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = 3i\left( {i - 4} \right)\).

A. \(\bar z =  - 3 - 12i.\)

B. \(\bar z =  - 12 + 3i.\)

C. \(\bar z = 12 + 3i.\)

D. \(\bar z =  - 3 + 12i.\)

Câu 40. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\), thỏa mãn\(f(4) = 15\) và \(\int\limits_1^4 {f'(x){\rm{d}}x = 19} .\) Tính \(f(1).\)

A. \(f(1) =  - 4.\)                     B. \(f(1) = 4.\)

C. \(f(1) = 34.\)                      D. \(f(1) =  - 34.\)

Câu 41. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\) là

A. 2.                                       B. 5.

C. 3.                                       D. 1.

Câu 42. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) quay quanh trục \(Ox\) là

A. \(\pi \left( {\frac{{15}}{6} + 2\ln 2} \right).\)

B. \(\pi \left( {\frac{{17}}{6} - 2\ln 2} \right).\)

C. \(\pi \left( {\frac{3}{2} + \ln 2} \right).\)

D. \(\pi \left( {\frac{{17}}{2} + \ln 2} \right).\)

Câu 43. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) là

A. \(\frac{{3\sqrt {26} }}{{26}} \cdot \)

B. \(\frac{{\sqrt {26} }}{{13}} \cdot \)

C. \(\frac{{\sqrt {26} }}{{26}} \cdot \)

D. \(\frac{{3\sqrt {26} }}{{13}} \cdot \)

Câu 44. Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A(6;0;0),B(0;0;6),C(0;6;6).\) Xét các điểm \(M,N\) di chuyển trên các đoạn \(AB\)và \(OC\) sao cho \(AM = ON.\) Khi độ dài đoạn thẳng \(MN\) nhỏ nhất, phương trình đường thẳng \(MN\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0.\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z = 4 - t.\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - t\\z = 3.\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 6.\end{array} \right.\)

Câu 45. Vòm cửa lớn của một trung tâm thương mại có dạng parabol như hình vẽ, trong đó khoảng cách \(AB = 8\,{\rm{m}}\) và chiều cao của vòm cửa là \(CH = 7\,{\rm{m}}.\) Người ta cần ốp kính cho toàn bộ vòm cửa này, khi đó diện tích kính cần dùng ít nhất là:

A. \(\frac{{115}}{3}{{\rm{m}}^2}.\)  B. \(\frac{{120}}{3}{{\rm{m}}^2}.\)

C. \(\frac{{110}}{3}{{\rm{m}}^2}.\)  D. \(\frac{{112}}{3}{{\rm{m}}^2}.\)

Câu 46. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\) và \(f\prime \left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}\), \(\forall x \ge 0\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \( - \frac{1}{3} \cdot \)     B. \(\ln \frac{2}{3} \cdot \)

C. \(\ln \frac{4}{3} \cdot \)   D. \( - \frac{1}{2} \cdot \)

Câu 47. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực \(m \in \left( {0;2020} \right]\) để \(\int\limits_0^m {\sin 2x\sqrt {1 + {{\sin }^2}x} {\rm{d}}x = 0} ?\)

A. 643.                                   B. 2020.

C. 642.                                   D. 2019.

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3y - 3z + 7 = 0.\) Trên các tia Oy, Oz lần lượt lấy các điểm \(B,C\) phân biệt sao cho mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\sqrt 2 .\) Xác định tọa độ điểm B và điểm \(C.\)

A. \(B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {0;0;2\sqrt 2 } \right).\)

B. \(B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;4} \right).\)

C. \(B\left( {0;2\sqrt 6 ;0} \right),C\left( {0;0;2\sqrt 6 } \right).\)

D. \(B\left( {0;16;0} \right),C\left( {0;0;16} \right).\)

Câu 49. Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = 4\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3.\)Tính \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\)

A. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 6 .\)

B. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{{\sqrt {31} }}{2} \cdot \)

C. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 6.\)

D. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {31} .\)

Câu 50. Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A(1;0;0),\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc mặt phẳng \((Oyz)\)sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\)bằng

A. 0.                                       B. 6.

C. 5.                                       D. 2.

-- Hết --

ĐÁP ÁN

1C

2C

3B

4A

5A

6A

7D

8D

9B

10C

11D

12A

13D

14D

15A

16C

17A

18A

19C

20D

21C

22D

23D

24B

25D

26D

27C

28A

29D

30D

31D

32D

33D

34C

35D

36C

37A

38D

39D

40A

41D

42B

43A

44C

45D

46C

47C

48A

49D

50B

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng: Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + z - 7 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;1} \right)\)

Đáp án C

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b\) \( = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)  với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {x - 4\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\)\( = 2 - 4\ln 2 - \left( {1 - 4\ln 1} \right)\)\( = 1 - 4\ln 2\)

Suy ra \(a = 1;b =  - 4\) nên \(a - b = 1 - \left( { - 4} \right) = 5\)

Đáp án C

Câu 3:

Phương pháp:

Sử dụng: Với \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;{z_2} = {a_2} + {b_2}i\) (\({a_1};{a_2};{b_1};{b_2} \in \mathbb{R}\)) thì \({z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(z = {z_1} + {z_2}\)\( = 15 - 6i + 7 - 6i = 22 - 12i\)

Đáp án B

Câu 4:

Phương pháp:

Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Đáp án A

Câu 5:

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(abc \ne 0\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng cần tìm là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\)

Đáp án A

Câu 6:

Phương pháp:

Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì \(\overline z  = a - bi\)

Muốn cộng hai số phức ta cộng phần thực với nhau, phần ảo với nhau

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overline z  = 15 + 6i\)

Nên \(z + \overline z  = 15 - 6i + 15 + 6i\) \( = 30\)

Đáp án A

Câu 7:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx + \int\limits_c^a {f\left( x \right)} dx\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 22\)\( \Leftrightarrow \int\limits_3^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x =  - 22\)

Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_3^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\) \( = 24 + \left( { - 22} \right) = 2\)

Đáp án D

Câu 8:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần

Hướng dẫn giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {3x - 1} \right)\sin 3x{\rm{d}}x} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3x - 1\\\sin 3xdx = dv\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3dx\\v =  - \frac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right.\)

Suy ra \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {3x - 1} \right)\sin 3x{\rm{d}}x} \)\( =  - \left. {\frac{1}{3}\left( {3x - 1} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3xdx} \) \( = \left. {\frac{1}{3}\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3xdx} \)

Đáp án D

Câu 9:

Phương pháp:

Sử dụng: Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {a;b} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có số phức \(z = 6 + 7i\) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm \(Q\left( {6;7} \right).\)

Đáp án B

Câu 10:

Phương pháp:

Tính toán nhân chia, cộng trừ số phức với lưu ý \({i^2} =  - 1\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = (3 + 2i)( - 4 + 5i) - 7i\\ =  - 12 + 15i - 8i + 10{i^2} - 7i\\ =  - 12 + 7i - 10 - 7i\\ =  - 22\end{array}\)

Đáp án C

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng: Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Phương trình cần tìm là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 5t\\y = 4t\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.\)

Đáp án D

Câu 12:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k \) thì \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow x  = \vec i - 5\vec j + 7\vec k\)\( \Rightarrow \overrightarrow x  = \left( {1; - 5;7} \right)\)

Đáp án A

Câu 13:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Hướng dẫn giải:

Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Đổi cận: Với \(x = 0 \Rightarrow \sin t = 0\) \( \Rightarrow t = 0\)

Với \(x = \sqrt 2  \Rightarrow \sin t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\)

Ta có:  \(\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\sqrt {4 - {{\left( {2\sin t} \right)}^2}} }}.2\cos tdt} \)

\(\begin{array}{l} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\sqrt {4\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)} }}} 2\cos tdt\\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{2\cos t}}.2\cos tdt}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} \end{array}\)

Đáp án D

Câu 14:

Phương pháp:

Sử dụng: Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(y = 0\)

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(y = 0\)

Đáp án D

Câu 15:

Phương pháp:

Hình chiếu vuông góc của \(M\left( {x;y;z} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(H\left( {x;0;z} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 4;3} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(P\left( {2;0;3} \right).\)

Đáp án A

Câu 16:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Hướng dẫn giải:

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Rightarrow du = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)\( \Rightarrow dx = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}du = \frac{u}{x}du\)

Đổi cận: Với \(x = 0\) \( \Rightarrow u = \sqrt {{0^2} + 1}  = 1\)

Với \(x = 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow u = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}  = 3\)

Ta có: \(I = \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} \,} {\rm{d}}x\)\( = \int\limits_1^3 {2x.u.\frac{u}{x}du} \) \( = \int\limits_1^3 {2{u^2}du}  = \left. {\frac{2}{3}{u^3}} \right|_1^3\)\( = \frac{{52}}{3}\)

Nên A, B, D đúng, C sai.

Đáp án C

Câu 17:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\) và phần ảo là \(b\) 

Hướng dẫn giải:

Số phức \(z = 1 - 3i\) có phần thực là \(1\) và phần ảo là \( - 3.\)

Đáp án A

Câu 18:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z  = a - bi\) và có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

Hướng dẫn giải:

Gọi số phức \(z = a + bi\) thì số phức liên hợp của \(z\)  là \(\overline z  = a - bi\) và môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

Ta có: \(z.\overline z  = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)\) \( = {a^2} - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}\)

Nên \(z.\bar z = {\left| z \right|^2}.\)

Đáp án A

Câu 19:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3x + 1}}} \)\( = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right|_1^3\) \( = \frac{1}{3}\left( {\ln 10 - \ln 4} \right)\)\( = \frac{1}{3}\ln \frac{{10}}{4} = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}\)

Đáp án C

Câu 20:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\int\limits_0^3 {({e^x}{\rm{ + 1)d}}x}  = \left. {\left( {{e^x} + x} \right)} \right|_0^3\) \( = {e^3} + 3 - \left( {{e^0} + 0} \right)\)\( = {e^3} + 2\)

Đáp án D

Câu 21:

Phương pháp:

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

Hướng dẫn giải:

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

Đáp án C

Câu 22:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\) với \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1; - 2 - 1;1 - \left( { - 2} \right)} \right)\) \( = \left( {1; - 3;3} \right)\)

Đáp án D

Câu 23:

Phương pháp:

Hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và \(x = a;x = b\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích là \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} dx\)

Hướng dẫn giải:

Thể tích \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)

Đáp án D

Câu 24:

Phương pháp:

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 4\left( { - 2} \right) - 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} }}\) \( = \frac{{19\sqrt {21} }}{{21}}\)

Đáp án B

Câu 25:

Phương pháp:

Sử dụng: Đường thẳng \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)  có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \(d:\frac{{x + 7}}{2} = \frac{{y - 8}}{{ - 2}} = \frac{{z - 9}}{{ - 3}}\) có một vectơ chỉ phương là  \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 2; - 3} \right).\)

Đáp án D

Câu 26:

Phương pháp:

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{7^x}} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^2 {{7^x}{\rm{d}}x} \) (vì \({7^x} > 0\) với mọi \(x\))

Đáp án D

Câu 27:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z  = a - bi\)

Hướng dẫn giải:

Số phức liên hợp của số phức \(z = 3i - 5\) là \(\overline z  =  - 5 - 3i.\)

Đáp án C

Câu 28:

Phương pháp:

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

Hướng dẫn giải:

Ta có

 \(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left| { - {x^2} + 2x + 2 - \left( {2{x^2} - 3x} \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - {x^2} + 2x + 2 - \left( {2{x^2} - 3x} \right)} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - {x^2} + 2x + 2 - 2{x^2} + 3x} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - 3{x^2} + 5x + 2} \right)dx} \end{array}\)

Đáp án A

Câu 29:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)  

Hướng dẫn giải:

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có: \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Đáp án D

Câu 30:

Phương pháp:

Sử dụng: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;2} \right),\) \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3; - 1;0} \right)\)

Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B,C\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 6;4} \right)\) làm 1 VTPT

Suy ra  \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3;2} \right)\) cũng là 1 VTPT của \(\left( {ABC} \right)\)

Đáp án D

Câu 31:

Phương pháp:

Sử dụng công thức

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  \pm \overrightarrow v  = \left( {{x_1} \pm {x_2};{y_1} \pm {y_2};{z_1} \pm {z_2}} \right)\\k\overrightarrow u  = \left( {k{x_1};k{y_1};k{z_1}} \right)\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow d  = 3\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c \\ = 3\left( { - 2; - 5;0} \right) - \left( {1;2;1} \right) - 2\left( {2;3;2} \right)\\ = \left( { - 6; - 15;0} \right) - \left( {1;2;1} \right) - \left( {4;6;4} \right)\\ = \left( { - 11; - 23; - 5} \right)\end{array}\)

Đáp án D

Câu 32:

Phương pháp:

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào đẳng thức bài cho tìm \(a,b\).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z  = a - bi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {1 + 3i} \right)z + 5\overline z  = 4 - i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)\left( {a + bi} \right) + 5\left( {a - bi} \right) = 4 - i\\ \Leftrightarrow a + 3ai + bi + 3b{i^2} + 5a - 5bi = 4 - i\\ \Leftrightarrow \left( {6a - 3b} \right) + \left( {3a - 4b} \right)i = 4 - i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 3b = 4\\3a - 4b =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{19}}{{15}}\\b = \frac{6}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = a + b = \frac{{19}}{{15}} + \frac{6}{5} = \frac{{37}}{{15}}\end{array}\)

Đáp án D

Câu 33:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm I đi qua A nên nhận \(R = IA\) là bán kính.

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Hướng dẫn giải:

\(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {22} \)

Mặt cầu tâm \(I\left( {2;1;3} \right)\) và đi qua A nên có bán kính \(R = IA = \sqrt {22} \) có phương trình:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 22.\)

Đáp án D

Câu 34:

Phương pháp:

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT có phương trình: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Tam giác IKH có M là trực tâm nên \(OM \bot \left( {IKH} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {IKH} \right)\) đi qua \(M\left( {1;2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;1} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:

\(\begin{array}{l}1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y + z - 6 = 0\end{array}\)

Đáp án C

Câu 35:

Phương pháp:

Từ tích phân đã cho đặt \(t = ex\) tìm tích phân \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)dx} \).

Từ đó suy ra tích phân cần tính giá trị.

Hướng dẫn giải:

Trong tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( {ex} \right){\rm{d}}x}  = 1\), đặt \(t = ex\) ta có:

\(dt = edx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{e}\)

\(x = 0 \Rightarrow t = 0\); \(x = 1 \Rightarrow t = e\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( {ex} \right){\rm{d}}x}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^e {f\left( t \right).\frac{{dt}}{e}}  = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{e}\int\limits_0^e {f\left( t \right)dt}  = 1\\ \Rightarrow \int\limits_0^e {f\left( t \right)dt}  = e \Rightarrow \int\limits_0^e {f\left( x \right)dx}  = e\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^e {\left[ {f\left( x \right) - e} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^e {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^e {{\rm{ed}}x} \\ = e - \left. {ex} \right|_0^e = e - {e^2}\end{array}\)

Đáp án D

Câu 36:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ = 1.f\left( 1 \right) - 0.f\left( 0 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ = 3 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ \Rightarrow m = 3 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3 - m\end{array}\)

Đáp án C

Câu 37:

Phương pháp:

Gọi tọa độ giao điểm của \(\Delta \) với Oy là \(\left( {0;m;0} \right)\).

Sử dụng điều kiện \(\Delta  \bot d\) tìm \(m\). Từ đó viết phương trình \(\Delta \).

Hướng dẫn giải:

Gọi \(M\left( {0;m;0} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(Oy\).

Khi đó \(\Delta \) đi qua \(A,M\) nên nhận \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 2;m - 1; - 3} \right)\) làm VTCP.

\(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

\(\begin{array}{l}\Delta  \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow  - 2.1 + \left( {m - 1} \right).\left( { - 2} \right) - 3.2 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2 - 2m + 2 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - 3\\ \Rightarrow M\left( {0; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 2; - 4; - 3} \right)\end{array}\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {0; - 3;0} \right)\) và nhận \( - \overrightarrow {AM}  = \left( {2;4;3} \right)\) làm VTCP nên có phương trình: \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{3} \cdot \)

Đáp án A

Câu 38:

Phương pháp:

Sử dụng hai số phức bằng nhau \(z = z' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y =  - 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án D

Câu 39:

Phương pháp:

Tính số phức \(z\), từ đó suy ra \(\overline z \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}z = 3i\left( {i - 4} \right) = 3{i^2} - 12i\\ =  - 3 - 12i\\ \Rightarrow \overline z  =  - 3 + 12i\end{array}\)

Đáp án D

Câu 40:

Phương pháp:

Sử dụng công thức Newton – Leibnitz:

Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Khi đó,

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta thấy, \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^4 {f'(x){\rm{d}}x}  = f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right)\\ \Rightarrow 19 = 15 - f\left( 1 \right)\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 4\end{array}\)

Đáp án A

Câu 41:

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \ln x\) với trục hoành.

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Diện tích cần tính: \(S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x} \right|dx} \)

Với \(1 \le x \le e\) thì \(\ln x \ge 0\) nên \(\left| {\ln x} \right| = \ln x\). Do đó,

\(S = \int\limits_1^e {\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} \\ = e\ln e - 1.\ln 1 - \left. x \right|_1^e\\ = e - \left( {e - 1} \right)\\ = e - e + 1 = 1\end{array}\)

Đáp án D

Câu 42:

Phương pháp:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),\) \(y = 0,\) \(x = a,\) \(x = b\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) quay quanh trục \(Ox\) là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \\ = \pi \left[ {\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{x + 1}}dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} } \right]\\ = \pi \left( {I + J + K} \right)\end{array}\)

ở đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\\J = \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{x + 1}}dx}  = 2\int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\ = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = 2\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = 2\left( {1 - \ln 2} \right) = 2 - 2\ln 2\\K = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\ = \left. { - \frac{1}{{x + 1}}} \right|_0^1 =  - \left( {\frac{1}{2} - 1} \right) = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow S = \pi \left( {I + J + K} \right)\\ = \pi \left( {\frac{1}{3} + 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right)\\ = \pi \left( {\frac{{17}}{6} - 2\ln 2} \right)\end{array}\)

Đáp án B

Câu 43:

Phương pháp:

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào đẳng thức đã cho tìm mối quan hệ của \(a,b\).

Thay vào công thức tính \(\left| z \right|\) và tìm GTNN.

Hướng dẫn giải:

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9\\ = {a^2} + {b^2} - 4b + 4\\ \Leftrightarrow  - 2a + 6b + 10 =  - 4b + 4\\ \Leftrightarrow  - 2a + 10b + 6 = 0\\ \Leftrightarrow a - 5b - 3 = 0\\ \Leftrightarrow a = 5b + 3\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {5b + 3} \right)}^2} + {b^2}} \\ = \sqrt {25{b^2} + 30b + 9 + {b^2}} \\ = \sqrt {26{b^2} + 30b + 9} \\ = \sqrt {26\left( {{b^2} + \frac{{15}}{{13}}b + \frac{{225}}{{676}}} \right) + \frac{9}{{26}}} \\ = \sqrt {26{{\left( {b + \frac{{15}}{{26}}} \right)}^2} + \frac{9}{{26}}} \\ \ge \sqrt {26.0 + \frac{9}{{26}}}  = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}\) khi \(b =  - \frac{{15}}{{26}} \Rightarrow a = \frac{3}{{26}}\) \( \Rightarrow z = \frac{3}{{26}} - \frac{{15}}{{26}}i\)

Đáp án A

Câu 44:

Phương pháp:

- Viết phương trình các đường thẳng \(AB,OC\).

- Gọi tọa độ các điểm \(M,N\) theo tham số hóa.

- Thay vào điều kiện \(AM = ON\) tìm mối quan hệ giữa hai tham số trên.

- Từ đó tìm GTNN của \(MN\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;0;6} \right)\), \(\overrightarrow {OC}  = \left( {0;6;6} \right)\).

Đường thẳng AB đi qua \(A\left( {6;0;0} \right)\) và nhận \(\frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0;1} \right)\) làm VTCP nên \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\)

\(M \in AB \Rightarrow M\left( {6 - t;0;t} \right)\) (\(0 < t < 6\) do \(M\) thuộc đoạn \(AB\))

\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} + 0 + {t^2}}  = \sqrt {2{t^2}} \)

Đường thẳng \(OC\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\frac{1}{6}\overrightarrow {OC}  = \left( {0;1;1} \right)\) làm VTCP nên \(OC:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t'\\y = t'\end{array} \right.\)

\(N \in OC \Rightarrow N\left( {0;t';t'} \right)\) (\(0 < t' < 6\) do \(N\) thuộc đoạn \(OC\))

\( \Rightarrow ON = \sqrt {0 + t{'^2} + t{'^2}}  = \sqrt {2t{'^2}} \)

Theo giả thiết

\(\begin{array}{l}AM = ON\\ \Rightarrow \sqrt {2{t^2}}  = \sqrt {2t{'^2}}  \Leftrightarrow 2{t^2} = 2t{'^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} = t{'^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = t'\,\,\left( {TM} \right)\\t =  - t'\,\left( {loai\,do\,t,t' > 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M\left( {6 - t;0;t} \right),N\left( {0;t;t} \right)\\ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {t - 6} \right)}^2} + {t^2} + 0} \\ = \sqrt {2{t^2} - 12t + 36} \\ = \sqrt {2\left( {{t^2} - 6t + 9} \right) + 18} \\ = \sqrt {2{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 18} \\ \ge \sqrt {2.0 + 18}  = 3\sqrt 2 \\ \Rightarrow MN \ge 3\sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(t = 3\) \( \Rightarrow M\left( {3;0;3} \right),N\left( {0;3;3} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;3;0} \right)\)

Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;3} \right)\) và nhận \( - \frac{1}{3}\overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 1;0} \right)\) làm VTCP nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - t\\z = 3\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)

Đáp án C

Câu 45:

Phương pháp:

Gắn hệ trục tọa độ, viết phương trình parabol và suy ra diện tích theo công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Hướng dẫn giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\) (P)

\(C\left( {0;7} \right)\) là đỉnh nên \( - \frac{b}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\)\( \Rightarrow y = a{x^2} + c\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(C\left( {0;7} \right)\) nên \(7 = a{.0^2} + c \Rightarrow c = 7\)

\( \Rightarrow y = a{x^2} + 7\)

\(B\left( {4;0} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) nên \(0 = a{.4^2} + 7 \Rightarrow a =  - \frac{7}{{16}}\)

\( \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{7}{{16}}{x^2} + 7\)

Diện tích cần tìm:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{7}{{16}}{x^2} + 7} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \frac{7}{{16}}.\frac{{{x^3}}}{3} + 7x} \right)} \right|_{ - 4}^4\\ =  - \frac{7}{{16}}\left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^3}}}{3}} \right) + 7\left( {4 + 4} \right)\\ = \frac{{112}}{3}\end{array}\)

Đáp án D

Câu 46:

Phương pháp:

Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) từ giả thiết \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}\) và \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\).

Thay vào tính tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\prime \left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}dx} \end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + 3x + 2\) \( \Rightarrow dt = \left( {2x + 3} \right)dx\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{{ - dt}}{{{t^2}}}}  = \frac{1}{t} + C\\ = \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + C\\f\left( 1 \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{1}{{1 + 3 + 2}} + C = \frac{1}{6}\\ \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = \left. {\left( {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{4}{3}\end{array}\)

Đáp án C

Câu 47:

Phương pháp:

Đặt \(t = \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} \) tính tích phân đã cho.

Hướng dẫn giải:

Đặt \(t = \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} \)

\( \Rightarrow {t^2} = 1 + {\sin ^2}x\) \( \Rightarrow 2tdt = 2\sin x\cos xdx = \sin 2xdx\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;\) \(x = m \Rightarrow t = \sqrt {1 + {{\sin }^2}m} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^m {\sin 2x\sqrt {1 + {{\sin }^2}x} {\rm{d}}x = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^{\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } {2{t^2}dt}  = 0\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } = 0\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}{\left( {\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } \right)^3} - \frac{2}{3} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } \right)^3} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\sin }^2}m}  = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}m = 0 \Leftrightarrow \sin m = 0\\ \Leftrightarrow m = k\pi \end{array}\)

\(\begin{array}{l}0 < m \le 2020\\ \Rightarrow 0 < k\pi  \le 2020\\ \Rightarrow 0 < k \le \frac{{2020}}{\pi }\\k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;...;642} \right\}\end{array}\)

Vậy có tất cả \(642\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án C

Câu 48:

Phương pháp:

Gọi tọa độ điểm \(B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) lần lượt thuộc \(Oy,Oz\).

Lập hệ phương trình ẩn \(b,c\) vừa gọi.

Giải hệ tìm \(b,c\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm \(B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) lần lượt thuộc tia \(Oy,Oz\) (\(b,c > 0\))

Phương trình \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\) là VTPT của \(\left( {ABC} \right)\).

\(\left( P \right):3y - 3z + 7 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {0;3; - 3} \right)\) là VTPT của \(\left( P \right)\).

\(\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.0 + \frac{1}{b}.3 + \frac{1}{c}.\left( { - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{3}{b} - \frac{3}{c} = 0 \Leftrightarrow b = c\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{b} + \frac{z}{b} - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4} + \frac{2}{{{b^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} = 8 \Leftrightarrow b = 2\sqrt 2 \left( {do\,b > 0} \right)\\ \Rightarrow B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {0;0;2\sqrt 2 } \right)\end{array}\)

Đáp án A

Câu 49:

Phương pháp:

Chứng minh và sử dụng đẳng thức \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \({z_1} = {a_1} + {b_1}i,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\)

Ta chứng minh đẳng thức: \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\) \( = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)  (*)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2}\\{z_1} - {z_2} = \left( {{a_1} - {a_2}} \right) + \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = {\left( {{a_1} - {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\\ = {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2}\\ + {\left( {{a_1} - {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)^2}\\ = a_1^2 + 2{a_1}{a_2} + a_2^2 + b_1^2 + 2{b_1}{b_2} + b_2^2\\ + a_1^2 - 2{a_1}{a_2} + a_2^2 + b_1^2 - 2{b_1}{b_2} + b_2^2\\ = 2\left( {a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2} \right)\\{\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2} } \right)^2} = a_1^2 + b_1^2\\{\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2} } \right)^2} = a_2^2 + b_2^2\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2\end{array}\)

\( \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\) \( = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)

Theo bài ra, \(\left| {{z_1}} \right| = 4,\left| {{z_2}} \right| = 2,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3\) nên:

\(\begin{array}{l}{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {3^2} = 2\left( {{4^2} + {2^2}} \right)\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = 31\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {31} \end{array}\)

Đáp án D

Câu 50:

Phương pháp:

Gọi tọa độ điểm \(M\left( {0;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\).

Thay vào biểu thức \(T\) tìm GTNN, từ đó suy ra \(b,c\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

\(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) \( \Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AM = \sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} \\BM = \sqrt {9 + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2}} \\CM = \sqrt {{{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2}} \\ \Rightarrow A{M^2} = 1 + {b^2} + {c^2}\\B{M^2} = 9 + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\C{M^2} = {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ \Rightarrow T = A{M^2} + B{M^2} + 2C{M^2}\\ = 1 + {b^2} + {c^2}\\ + 9 + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ + 2\left[ {{{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2}} \right]\\ = 1 + {b^2} + {c^2}\\ + 9 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 8c + 16\\ + 2\left( {{b^2} - 10b + 25 + {c^2} - 8c + 16} \right)\\ = 112 + 4{b^2} + 4{c^2} - 24b - 24c\\ = 4\left( {{b^2} + {c^2} - 6b - 6c + 28} \right)\\ = 4\left[ {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2} + 10} \right]\\ \ge 4.\left( {0 + 0 + 10} \right) = 40\\ \Rightarrow T \ge 40\end{array}\)

\( \Rightarrow {T_{\min }} = 40\) khi \(b = c = 3\)

Vậy \(a + b + c = 0 + 3 + 3 = 6\)

Đáp án B

Loigiaihay.com



Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài