Bài 41 trang 88 Vở bài tập toán 7 tập 2


Đề bài

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gợi ý : Kéo dài \(AD\) một đoạn \(D{A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\)

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AD\) đồng thời là đường phân giác. Trên tia \(AD\) lấy điểm \({A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\) 

Ta sẽ chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Xét hai tam giác \(ADC\) và \({A_1}DB\). Ta có \(DC = DB\) (vì \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\)), \(AD = D{A_1}\) (theo cách lấy điểm \({A_1}\)), \( \widehat{BDA_1} = \widehat{CDA}\) (hai góc đối đỉnh). Vậy \(∆ADC =  ∆{A_1}DB\) (c.g.c).

Suy ra \( \widehat{DAC} = \widehat{DA_1B}\)   (1), \(AC=BA_1\)   (2).

Xét tam giác \(BA{A_1}\). Ta có \( \widehat{BAA_1} = \widehat{BA_1A}\) (vì theo (1) \( \widehat{BA_1D} = \widehat{DAC}\) và do \(AD\) là đường phân giác nên \( \widehat{DAC} = \widehat{BAA_1}\)). Suy ra tam giác \(BA{A_1}\) cân tại \(B\), do đó \(AB = {A_1}B\)           (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(AB = AC\).

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 14 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 7 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.