Bài 6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 41 trang 88 Vở bài tập toán 7 tập 2

Giải bài 41 trang 88 VBT toán 7 tập 2. Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là ...

Đề bài

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gợi ý : Trong \(∆ABC\), nếu \(AD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài \(AD\) một đoạn \(D{A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\)

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AD\) đồng thời là đường phân giác. Trên tia \(AD\) lấy điểm \({A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\)

Ta sẽ chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Xét hai tam giác \(ADC\) và \({A_1}DB\). Ta có \(DC = DB\) (vì \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\)), \(AD = D{A_1}\) (theo cách lấy điểm \({A_1}\)), \( \widehat{BDA_1} = \widehat{CDA}\) (hai góc đối đỉnh). Vậy \(∆ADC = ∆{A_1}DB\) (c.g.c). Suy ra \( \widehat{DAC} = \widehat{DA_1B}\) (1), \(AC=BA_1\) (2).

Xét tam giác \(BA{A_1}\). Ta có \( \widehat{BAA_1} = \widehat{BA_1A}\) vì theo (1) \( \widehat{BA_1D} = \widehat{DAC}\) và do \(AD\) là đường phân giác nên \( \widehat{DAC} = \widehat{BAA_1}\). Suy ra tam giác \(BA{A_1}\)cân tại \(B\), do đó \(AB = {A_1}B\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(AB = AC\).

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

Loigiaihay.com