Bài 2.8 trang 47 SBT hình học 12


Giải bài 2.8 trang 47 sách bài tập hình học 12. Cho mặt trụ xoay và một điểm S cố định nằm ngoài. Một đường thẳng d thay đổi luôn luôn đi qua S cắt tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Đề bài

Cho mặt trụ tròn xoay \((\Im )\) và một điểm S cố định nằm ngoài \((\Im )\). Một đường thẳng d thay đổi luôn luôn đi qua S cắt \((\Im )\) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi A', B', I' lần lượt là hình chiếu của A, B, I trên mặt phẳng (P). Tìm quỹ tích của đường thẳng II' rồi suy ra quỹ tích điểm I.

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với trục của mặt trụ \((\Im )\).

Mặt phẳng (P) cắt \((\Im )\)  theo một đường tròn tâm O.

Ta xét một vị trí của đường thẳng d.

Gọi A, B là giao điểm của d với \((\Im )\) và I là trung điểm của đoạn AB.

Chiếu A, B, I theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) ta được các điểm theo thứ tự là A’ , B’ , I’ thẳng hàng với S, trong đó A’, B’ nằm trên đường tròn tâm O trong mặt phẳng (P) và I’ là trung điểm của đoạn A’B’.

Do đó điểm I’ luôn luôn nằm trên đường tròn đường kính SO trong mặt phẳng (P) và đường thẳng II’ vuông góc với (P).

Ta suy ra đường thẳng II’ nằm trên mặt trụ \((\Im ')\) chứa đường tròn đường kính SO nằm trong (P) và có trục song song với trục của mặt trụ \((\Im )\).

Tất nhiên, điểm I chỉ nằm trong phần mặt trụ \((\Im ')\) thuộc miền trong của mặt trụ \((\Im )\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài