Bài 2.4 trang 47 SBT hình học 12


Giải bài 2.4 trang 47 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao \( SO = h\) và góc \(\widehat {SAB} = \alpha (\alpha  > {45^0})\). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh \(S\) và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\) của hình chóp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình nón ta có \(OA = r, SO = h\) và \(SA = SB = SC = SD =l\) là đường sinh của hình nón.

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\\AI = SA.\cos \alpha \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{l^2} = {h^2} + {r^2}(1)\\\dfrac{{r\sqrt 2 }}{2} = l\cos \alpha (2)\end{array} \right.\)

\((2) \Rightarrow r = \sqrt 2 l\cos \alpha \)

\((1) \Rightarrow {l^2} = {h^2} + 2{l^2}{\cos ^2}\alpha \)\( \Rightarrow {h^2} = {l^2}(1 - 2{\cos ^2}\alpha )\) \( \Rightarrow {l^2} = \dfrac{{{h^2}}}{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}\) \( \Rightarrow l = \dfrac{h}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}\)

Do đó \(r = \sqrt 2 l\cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 2 h\cos \alpha }}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}\)

\({S_{xq}} = \pi rl\)\( = \pi .\dfrac{{\sqrt 2 h\cos \alpha }}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}.\dfrac{h}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}\) \( = \dfrac{{\pi \sqrt 2 {h^2}\cos \alpha }}{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài