Bài 2.3 trang 47 SBT hình học 12


Giải bài 2.3 trang 47 sách bài tập hình học 12. Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình nón đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và...

Đề bài

Cho \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng \(a\) và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\alpha \). Hình nón đỉnh \(S\) có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều \(ABC\) gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo \(a \) và \(\alpha \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).

Theo giả thiết ta có \(SA = SB = SC = a \) và \(\widehat {SIO} = \alpha \).

Đặt \(OI = r, SO = h\), ta có \(AO = 2r\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = r\tan \alpha }\\{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}\end{array}} \right.\)    (vì \(S{A^2} = {\rm{ }}S{O^2} + {\rm{ }}A{O^2}\))

Do đó \({a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha  + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha  + 4)\)

Vậy \(r = \dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\)

Hình nón nội tiếp có đường sinh là: \(l = SI = \dfrac{r}{{\cos \alpha }} = \dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\)

Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \pi rl\)\( = \pi .\dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}.\dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\) \( = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha  + 4)}}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài