Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\), trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\).

- Đặt thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V\).

- Tính thể tích khối đa diện \(\left( H \right)\) bằng phương pháp phân chia khối đa diện.

Chú ý: Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác \(S.A'B'C'\) và \(S.ABC\) với \(A' \in SA,B' \in SB,C' \in SC\) là \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\).

Lời giải chi tiết

Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), gọi \(I,J\) lần lượt là giao điểm của \(EF\) với \(A'B'\) và \(A'D'\).

Trong \(\left( {ADD'A'} \right)\), gọi \(M = AJ \cap D'D\).

Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(L = AI \cap BB'\).

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\) là ngũ giác \(AMFEL\).

Khi đó \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứ đỉnh \(A'\) và \({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).

Gọi \({V_0}\) là thể tích khối tứ diện\(A.A'IJ\). \(V\) là thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

Vì \(EB' = EC'\) và \(B'I//C'F\) nên \(IB' = FC' = \dfrac{{A'B'}}{2}\)

Do đó  \(\dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)

Mà  \(BE'//A'J\;\), \(B'L//AA'\) \( \Rightarrow \dfrac{{IL}}{{IA}} = \dfrac{{IE}}{{IJ}} = \dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \dfrac{{IL}}{{IA}}.\dfrac{{IE}}{{IJ}}.\dfrac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}\)

Do đó \({V_{I.ELB'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)

Tương tự  \({V_{J.MFD'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)

Gọi \(A'B' = a,B'C' = b\), đường cao hạ từ \(A\) xuống \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là \(h\) thì \(IA' = \dfrac{3}{2}A'B' = \dfrac{{3a}}{2};\) \(A'J = \dfrac{3}{2}A'D' = \dfrac{{3b}}{2}\) và

\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)\( = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\);

\({V_0} = \dfrac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h\) \( = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h\) \( = \dfrac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_0}}}{V} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \dfrac{{3V}}{8}\)

Vậy  \({V_{(H)}} = {V_0} - \dfrac{2}{{27}}{V_0}\)\( = \dfrac{{25}}{{27}}{V_0} = \dfrac{{25}}{{27}}.\dfrac{{3V}}{8} = \dfrac{{25}}{{72}}V\)

\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{47}}{{72}}V\) \( \Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 1.16 trang 19 SBT hình học 12

    Giải bài 1.16 trang 19 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB’ và DD’ sao cho.

  • Bài 1.15 trang 19 SBT hình học 12

    Giải bài 1.15 trang 19 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

  • Bài 1.14 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.14 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

  • Bài 1.13 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.13 trang 18 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.

  • Bài 1.12 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.12 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

  • Bài 1.11 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.11 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

  • Bài 1.10 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.10 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài