Bài 1.16 trang 19 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,BC = b,AA' = c\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là những điểm thuộc cạnh \(BB'\) và \(DD'\) sao cho \(BE = \dfrac{1}{2}EB',DF = \dfrac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) thành hai khối đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\). Gọi \(\left( {H'} \right)\) là khối đa diện chứa đỉnh \(A'\). Hãy tính thể tích của \(\left( H \right)\) và tỉ số thể tích của \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính thể tích các khối đa diện, sử dụng phương pháp phân chia khối đa diện.

- Từ đó suy ra tỉ số.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I = CC' \cap \left( {AEF} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AEF} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AE\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = FI\\\left( {ABB'A'} \right)//\left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right.\) nên \(AE//FI\).

Tương tự \(AF//EI\) nên tứ giác \(AEIF\) là hình bình hành.

Trên cạnh \(CC'\) lấy điểm \(J\) sao cho \(CJ = DF\).

Dễ thấy \(FJ//CD//AB,\) \(FI = CD = AB\) nên \(ABJF\) là hình bình hành \( \Rightarrow AF//BJ,AF = BJ\).

Suy ra \(EI//BJ,EI = BJ\) hay \(EBJI\) là hình bình hành \( \Rightarrow BE = JI\).

Từ đó suy ra \(IJ = EB = DF = JC = \dfrac{c}{3}\)

Ta có \({S_{BCIE}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)b = \dfrac{{bc}}{2}\); \({S_{DCIF}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)a = \dfrac{{ac}}{2}\)

Nên \({V_{(H)}} = {V_{A.BCIE}} + {V_{A.DCIF}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{bc}}{2}.a + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ac}}{2}.b = \dfrac{{abc}}{3}\)

Lại có \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\) \( \Rightarrow {V_{(H')}} = \dfrac{2}{3}abc\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12

    Giải bài 1.17 trang 19 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’.

  • Bài 1.15 trang 19 SBT hình học 12

    Giải bài 1.15 trang 19 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

  • Bài 1.14 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.14 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

  • Bài 1.13 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.13 trang 18 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.

  • Bài 1.12 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.12 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

  • Bài 1.11 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.11 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

  • Bài 1.10 trang 18 SBT hình học 12

    Giải bài 1.10 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.