-
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 12
Bài 1.12 trang 18 SBT hình học 12
Giải bài 1.12 trang 18 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông ở \(B\). Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy. Từ \(A\) kẻ các đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \(SB\) và \(AE\) vuông góc với \(SC\). Biết rằng \(AB = a,BC = b,SA = c\).
LG a
Hãy tính thể tích khối chóp \(S.ADE\)
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(SE \bot \left( {ADE} \right)\).
- Tính diện tích tam giác \(ADE\) và chiều cao \(SE\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Giải chi tiết:
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)
Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\)
Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\)
Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SC \bot AE}\\{SC \bot AD}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow SC \bot (ADE) \Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\).
Trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(SA.AB = AD.SB\)\( \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.SA}}{{SB}} = \dfrac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)
Tương tự, trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(AE = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\). Từ đó suy ra:
\(DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}} \)\( = \sqrt {\dfrac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - \dfrac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} \) \( = \dfrac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\)
\(SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}} \)\( = \sqrt {{c^2} - \dfrac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \) \( = \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Vậy \({V_{S.ADE}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AD.DE.SE\)\( = \dfrac{1}{6}\dfrac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\dfrac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.\dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
\( = \dfrac{{ab{c^5}}}{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}\)
LG b
Tính khoảng cách từ \(E\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Phương pháp giải:
- Tính diện tích tam giác \(SAD\).
- Sử dụng công thức \({V_{SADE}} = \dfrac{1}{3}d.{S_{SAD}}\) và kết quả câu a để suy ra \(d\).
Giải chi tiết:
Gọi \(d\) là khoảng cách từ \(E\;\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)
Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}} \)\( = \sqrt {{c^2} - \dfrac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)
\({V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}SD.AD.d\) \( = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\dfrac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.d\) \( = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{a{c^3}}}{{{a^2} + {c^2}}}.d\)
Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra \(d = \dfrac{{b{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 1.13 trang 18 SBT hình học 12
- Bài 1.14 trang 18 SBT hình học 12
- Bài 1.15 trang 19 SBT hình học 12
- Bài 1.16 trang 19 SBT hình học 12
- Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
