Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho a, b, c là số đo ba cạnh ; A, B, C là số đo (độ) ba góc tương ứng của một tam giác. Chứng minh rằng :

LG a

\(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0\) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

Phương pháp giải:

(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có :

Nếu \(a ≥ b\) thì \(A ≥ B\) ;

Nếu \(a ≤ b\) thì \(A ≤ B\) ;

Vì vậy luôn có \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0,\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (A = B), tức là tam giác ABC cân tại C.

LG b

 \(60^\circ  \le \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

Phương pháp giải:

(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).

Lời giải chi tiết:

Theo câu a. ta có

\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) + \left( {b - c} \right)\left( {B - C} \right) + \left( {c - a} \right)\left( {C - A} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow aA + bB + cC - bA - aB - bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) - \left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{A}} + B + C} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{A + B + C}}{3} = 60^\circ .\end{array}\)

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A = B = C, tức là tam giác ABC là tam giác đều.

Lại có

\(a + b > c;b + c > a;c + a > b\) nên \(aA + bB + cC < \left( {b + c} \right)A + \left( {c + a} \right)B + \left( {{\rm{a}} + b} \right)C\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) < \left( {{\rm{A}} + B + C} \right)\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\)

Từ đó suy ra \(\dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store