Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Câu 4.6 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 4.6 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Đề bài

Cho a, b, c, d là bốn số dương. Chứng minh rằng

\(1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2.\)

Lời giải chi tiết

Do a, b, c, d là các số dương nên

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + b + c}} > \dfrac{a}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} > \dfrac{b}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} > \dfrac{c}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > \dfrac{{\rm{d}}}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\end{array}\)

Cộng vế với cế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra

\(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > 1\)

Lại có \(\dfrac{a}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{a + c}};\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < \dfrac{c}{{a + c}}\)

Nên \(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < 1.\)

Tương tự \(\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 1.\) Từ đó suy ra

\(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store