Câu 4.2 trang 102 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 4.2 trang 102 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng

LG a

\({a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}\) với mọi a, b ∈ R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3}\\ = {a^3}\left( {{\rm{a}} - b} \right) + {b^3}\left( {b - a} \right)\\ = \left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{{\rm{a}}^3} - {b^3}} \right)\\ = {\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2}\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + ab} \right) \ge 0.\end{array}\)

(Vì \({a^2} + {b^2} + ab = {\left( {{\rm{a}} + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\) và \({\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi a, b ∈ R)

LG b

\({\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) với mọi a, b, c ∈ R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2{\rm{a}}c + 2bc \le 3{{\rm{a}}^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.