Câu 4.78 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Chứng minh rằng phương trình

                        \({x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}} = 0\)

Có ít nhất một nghiệm dương.

 

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}}\)  liên tục trên R \(f\left( 0 \right) =  - {1 \over {100}} < 0.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên với một số dương b đủ lớn, ta có \(f\left( b \right) > 0.\)  Vì \(f\left( 0 \right)f\left( b \right) < 0\) nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {0;b} \right)\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Vậy \(x = c\)  là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho.

 

LG b

Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình

                        \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)

Có ít nhất một nghiệm.

 

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên R ;

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty .\)

Do đó tồn tại giá trị \(x_1\in R\) sao cho \(f(x_1)<0\) và giá trị \(x_2\in R\) sao cho \(f(x_2)>0\)

Khi đó ta có: \(f(x_1).f(x_2)<0\) theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in R\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.