Câu 4.78 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Chứng minh rằng phương trình

                        \({x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}} = 0\)

Có ít nhất một nghiệm dương.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}}\)  liên tục trên R \(f\left( 0 \right) =  - {1 \over {100}} < 0.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên với một số dương b đủ lớn, ta có \(f\left( b \right) > 0.\)  Vì \(f\left( 0 \right)f\left( b \right) < 0\) nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {0;b} \right)\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Vậy \(x = c\)  là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho.

LG b

Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình

                        \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)

Có ít nhất một nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên R ;

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty .\)

Do đó tồn tại giá trị \(x_1\in R\) sao cho \(f(x_1)<0\) và giá trị \(x_2\in R\) sao cho \(f(x_2)>0\)

Khi đó ta có: \(f(x_1).f(x_2)<0\) theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in R\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài