Câu 4.73 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

 

LG a

Chứng minh rằng \({u_n} \ne  - 4\) với mọi n.

 

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có \({u_1} = 1 \ne  - 4.\)

Giả sử \({u_n} \ne  - 4\). Ta chứng minh \({u_{n + 1}} \ne  - 4.\) Thật vậy,

\({u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_n} \ne - 6 \hfill \cr 
{u_n} - 4 = - 4\left( {{u_n} + 6} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow {u_n} = - 4.\)

Điều này trái với với giả thiết quy nạp.

 

LG b

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi

                                    \({v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.\)

Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\).

 

Lời giải chi tiết:

 \({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} = {2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\) với mọi n.

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội  \(q = {2 \over 5}.\)  Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Vì \({v_n} = {v_1}{\left( {{2 \over 5}} \right)^{n - 1}}\)  với mọi n nên \(\lim {v_n} = 0.\)

Từ đẳng thức trong b) suy ra \({u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.\)  Do đó

                                  \(\lim {u_n} =  - 1.\)

Loigiaihay.com

 

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài