Câu 4.73 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

LG a

Chứng minh rằng \({u_n} \ne - 4\) với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có \({u_1} = 1 \ne - 4.\)

Giả sử \({u_n} \ne - 4\). Ta chứng minh \({u_{n + 1}} \ne - 4.\) Thật vậy,

\({u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_n} \ne - 6 \hfill \cr
{u_n} - 4 = - 4\left( {{u_n} + 6} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow {u_n} = - 4.\)

Điều này trái với với giả thiết quy nạp.

LG b

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi

\({v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.\)

Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} = {2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\) với mọi n.

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {2 \over 5}.\) Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Vì \({v_n} = {v_1}{\left( {{2 \over 5}} \right)^{n - 1}}\) với mọi n nên \(\lim {v_n} = 0.\)

Từ đẳng thức trong b) suy ra \({u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.\) Do đó

\(\lim {u_n} = - 1.\)

Loigiaihay.com