Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương IV - Giới hạn - SBT Toán 11 Nâng cao

Câu 4.74 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = a \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Trong đó \( - 1 < a < 0.\)

 

LG a

Chứng minh rằng \( - 1 < {u_n} < 0.\) với mọi n và \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm

 

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với \(n = 1.\)  Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là

                                                \( - 1 < {u_n} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Ta chứng minh nó đúng với \(n + 1.\)  Thật vậy, từ (2) suy ra

                         \(0 < {u_{n + 1}} + 1 < 1\,;\,\)

Do đó

                        \(0 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} < 1\)

Và

                        \( - 1 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 < 0,\)

Tức là

                      \( - 1 < {u_{n + 1}} < 0.\,\)

Vì \( - 1 < {u_n} < 0\) nên \({u_{n }} +1> 0\) và \(u_n^2 > 0\)  với mọi n . Do đó từ (1) suy ra \({u_{n + 1}} < \left( {{u_n} + 1} \right) - 1 = {u_n}\) với mọi n.

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm.

 

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Chứng minh rằng

                        \( - 1 < {u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n.

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n}.\)

 

Lời giải chi tiết:

Từ đẳng thức (1) suy ra

                 \({u_{n + 1}} + 1 = {1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n.

Từ đó suy ra

                 \(\left| {{u_n}} \right| \ge \left| a \right| \Leftrightarrow u_n^2 \ge {a^2};\)

Do đó

                 \({1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\) với mọi n

Và từ (3), ta có

                 \({u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n.

Đặt \({v_n} = {u_n} + 1\)  và \(q = {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }},\) ta có \(0 < q < 1,{v_n} > 0\)  và

                                    \({v_{n + 1}} \le q{v_n}\) với mọi n.

Từ đó ta có

\(\eqalign{
& {v_2} \le {v_1}q = \left( {a + 1} \right)q, \cr 
& {v_3} \le {v_2}q = \left( {a + 1} \right){q^2},..., \cr 
& 0 \le {v_n} \le \left( {a + 1} \right){q^{n - 1}} \cr} \)

Với mọi n . Vì \(\lim \left( {a + 1} \right).{q^{n - 1}} = \left( {a + 1} \right)\lim {q^{n - 1}} = 0\)  nên từ đó suy ra

                        \(\lim {v_n} = 0\)  và \(\lim {u_n} =  - 1.\)

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua