Câu 4.63 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Đề bài

Cho hàm số \(f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]\) liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left[ {0;1} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = c.\)

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Nếu \(f\left( 0\right) = 0\) hoặc \(f\left( 1 \right) = 1\) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.

Giả sử \(f\left( 0 \right) \ne 0\) và \(f\left( 1 \right) \ne 1.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,x \in \left[ {0;1} \right].\) Hàm số \(g\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right].\) Vì mọi \(x \in \left[ {0;1} \right],0 \le f\left( x \right) \le 1\) nên \(f\left( 0 \right) > 0\) và \(f\left( 1 \right) < 1.\) Do đó

\(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 0 > 0\) và \(g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - 1 < 0.\)

Vì \(g\left( 0 \right),g\left( 1 \right) < 1\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;1} \right)\) sao cho \(g\left( c \right) = f\left( c \right) - c = 0,\) tức là \(f\left( c \right) = c.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 4.64 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau
Câu 4.66 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm số thực a sao cho hàm số
Câu 4.67 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm âm
Câu 4.65 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau
Câu 4.62 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm số thực a sao cho hàm số
Câu 4.61 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các khoảng và nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
Câu 4.60 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.