Câu 3.6 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau:

LG a

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \) (1)

Với mọi \(n \ge 2,\) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 2,\) hiển nhiên ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\) Vì thế, (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) khi đó ta có

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\) (2)

Mà \(\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) (dễ thấy), nên từ (2) suy ra

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \)

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \ge 2\)

Quảng cáo

LG b

\(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n\)

Lời giải chi tiết:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 3.7 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho số nguyên
Câu 3.5 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương
Câu 3.4 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
Câu 3.3 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:
Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho số thực
Câu 3.1 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.