Câu 3.3 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:

LG a

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)                                (1)

Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có

              \({1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} = {{13} \over {12}} > 1.\)

Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\), tức là

              \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1,\)

Ta chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh

                \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}} > 1\)

Thật vậy, ta có

     \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)

\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)

\(- {1 \over {k + 1}}\)

\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {2 \over {3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4)}}\)

\( > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1\)  (theo giả thiết quy nạp).

Từ các chứng trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*\)

LG b

\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

            \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)

     Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có

\({1 \over 2}.{3 \over 4} = {3 \over 8} < {1 \over {\sqrt {3.1 + 4} }}\) (  vì \(9.7 = 63 < 64 = {8^2}\) ).

Như vậy, (2) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử có (2) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\). Khi đó, ta có

             \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)   

Lại có : \({(2k + 3)^2}.(3k + 7) < {(2k + 3)^2}.(3k + 7) + k + 1\)

\(= (3k + 4){(2k + 4)^2}.\)

Do đó :      \({1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 7} }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra

                                \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3k + 7} }},\)

Nghĩa là ta cũng có (2) đúng khi \(n = k + 1.\)

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi \(n \in N^*\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài