Câu 3.3 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:

LG a

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)                                (1)

Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có

              \({1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} = {{13} \over {12}} > 1.\)

Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\), tức là

              \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1,\)

Ta chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh

                \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}} > 1\)

Thật vậy, ta có

     \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)

\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)

\(- {1 \over {k + 1}}\)

\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {2 \over {3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4)}}\)

\( > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1\)  (theo giả thiết quy nạp).

Từ các chứng trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*\)

LG b

\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

            \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)

     Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có

\({1 \over 2}.{3 \over 4} = {3 \over 8} < {1 \over {\sqrt {3.1 + 4} }}\) (  vì \(9.7 = 63 < 64 = {8^2}\) ).

Như vậy, (2) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử có (2) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\). Khi đó, ta có

             \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)   

Lại có : \({(2k + 3)^2}.(3k + 7) < {(2k + 3)^2}.(3k + 7) + k + 1\)

\(= (3k + 4){(2k + 4)^2}.\)

Do đó :      \({1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 7} }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra

                                \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3k + 7} }},\)

Nghĩa là ta cũng có (2) đúng khi \(n = k + 1.\)

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi \(n \in N^*\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.