Câu 3.3 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:

LG a

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\)                                (1)

Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có

              \({1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} = {{13} \over {12}} > 1.\)

Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\), tức là

              \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1,\)

Ta chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh

                \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}} > 1\)

Thật vậy, ta có

     \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)

\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\)

\(- {1 \over {k + 1}}\)

\( = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {2 \over {3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4)}}\)

\( > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1\)  (theo giả thiết quy nạp).

Từ các chứng trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*\)

LG b

\({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

            \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\)

     Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có

\({1 \over 2}.{3 \over 4} = {3 \over 8} < {1 \over {\sqrt {3.1 + 4} }}\) (  vì \(9.7 = 63 < 64 = {8^2}\) ).

Như vậy, (2) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử có (2) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\). Khi đó, ta có

             \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)   

Lại có : \({(2k + 3)^2}.(3k + 7) < {(2k + 3)^2}.(3k + 7) + k + 1\)

\(= (3k + 4){(2k + 4)^2}.\)

Do đó :      \({1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 7} }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra

                                \({1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3k + 7} }},\)

Nghĩa là ta cũng có (2) đúng khi \(n = k + 1.\)

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi \(n \in N^*\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.