Câu 3.1 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:

\(1.2 + 2.5 + ... + n.\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta sẽ chứng minh

\(1.2 + 2.5 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\)               (1)

Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có \(1.2 = 2 = {1^2}.\left( {1 + 1} \right).\) Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) tức là giải sử đã có

\(1.2 + 2.5 + ... + k\left( {3k - 1} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right)\)

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh

\(1.2 + 2.5 + ... + k.\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \)

\(= {\left( {k + 1} \right)^2}.\left( {k + 2} \right)\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có

\(\eqalign{
& 1.2 + 2.5 + ... + k.\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \cr&= {k^2}.\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \cr 
& = \left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 3k + 2} \right) \cr 
& = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}.\left( {k + 2} \right) \cr} \)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.