Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Đề bài

Cho số thực \(x \ne k2\pi .\) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

\(1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)

Lời giải chi tiết

Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

\(1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)    (1)     với mọi \(n \in N^*.\)

Với \(n = 1,\) vì \(x \ne k2\pi \) (theo giả thiết) nên

\(1 + \cos x = 2{\cos ^2}{x \over 2} = {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{1.x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)                    (2)

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*.\) Khi đó , ta có

\(\eqalign{
& 1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos kx + \cos (k + 1)x \cr&= {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} + \cos (k + 1)x \cr 
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} + \cos (k + 1)x.\sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr 
& \cr 
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} - 2{{\sin }^2}{{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr 
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} - 2\sin {{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr 
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} + \cos {{(k + 2)x} \over 2} - \cos {{kx} \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr 
& = {{{1 \over 2}\left( {\sin {{\left( {2k + 3} \right)x} \over 2} - \sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr 
& = {{\sin {{\left( {k + 2} \right)x} \over 2}\cos {{(k + 1)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr} \)

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\).

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua