Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao>
Cho số thực
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
Đề bài
Cho số thực \(x \ne k2\pi .\) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
\(1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)
Lời giải chi tiết
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
\(1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\) (1) với mọi \(n \in N^*.\)
Với \(n = 1,\) vì \(x \ne k2\pi \) (theo giả thiết) nên
\(1 + \cos x = 2{\cos ^2}{x \over 2} = {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{1.x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\) (2)
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)
Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*.\) Khi đó , ta có
\(\eqalign{
& 1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos kx + \cos (k + 1)x \cr&= {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} + \cos (k + 1)x \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} + \cos (k + 1)x.\sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} - 2{{\sin }^2}{{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} - 2\sin {{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} + \cos {{(k + 2)x} \over 2} - \cos {{kx} \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{{1 \over 2}\left( {\sin {{\left( {2k + 3} \right)x} \over 2} - \sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr
& = {{\sin {{\left( {k + 2} \right)x} \over 2}\cos {{(k + 1)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr} \)
Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\).
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*.\)
Loigiaihay.com


- Câu 3.3 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 3.4 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 3.5 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 3.6 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 3.7 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục