CHỈ CÒN 100 SLOT CHO 2K8 XUẤT PHÁT SỚM ÔN ĐGNL & ĐGTD 2026

ƯU ĐÃI 50% HỌC PHÍ + TẶNG MIỄN PHÍ BỘ SÁCH ĐỀ TỔNG HỢP

Chỉ còn 1 ngày
Xem chi tiết

Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho số thực

Đề bài

Cho số thực xk2π.xk2π. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

1+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1)x2cosnx2sinx21+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1)x2cosnx2sinx2

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

1+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1)x2cosnx2sinx21+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1)x2cosnx2sinx2    (1)     với mọi nN.nN.

Với n=1,n=1,xk2πxk2π (theo giả thiết) nên

1+cosx=2cos2x2=sin(1+1)x2cos1.x2sinx21+cosx=2cos2x2=sin(1+1)x2cos1.x2sinx2                    (2)

Như vậy (1) đúng khi n=1n=1

Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,kN.n=k,kN. Khi đó , ta có

1+cosx+cos2x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(1+1)x2coskx2sinx2+cos(k+1)x=sin(k+1)x2coskx2+cos(k+1)x.sinx2sinx2=sin(k+1)x2coskx22sin2(k+1)x2.sinx2+sinx2sinx2=sin(k+1)x2(coskx22sin(k+1)x2.sinx2)+sinx2sinx2=sin(k+1)x2(coskx2+cos(k+2)x2coskx2)+sinx2sinx2=12(sin(2k+3)x2sinx2)+sinx2sinx2=sin(k+2)x2cos(k+1)x2sinx2

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi n=k+1.

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi nN.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.