Câu 36 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC; (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC; (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P).

b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác SME với tam giác ABC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD.

c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số \({{EF} \over {KJ}}.\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là giao điểm của SO và AM (O là giao điểm của AC và BD). Vì BD // (P) nên mặt phẳng (SBD) chứa BD cắt (P) theo giao tuyến qua I và song song với BD. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của giao tuyến này với các cạnh SB và SD thì E và F lần lượt là giao điểm của SB và SD với mặt phẳng (P).

Vậy thiết diện là tứ giác AEMF.

b) Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC, ta có:

\({{SE} \over {SB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SI} \over {SO}} = {2 \over 3}.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {{{S_{SME}}} \over {{S_{SBC}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SE} \over {SB}} = {1 \over 2}.{2 \over 3} = {1 \over 3} \cr
& {{{S_{SMF}}} \over {{S_{SCD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SF} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3} = {1 \over 3} \cr} \)

c) Dễ thấy K, A, J là ba điể chung của hai mặt phẳng (P) và (ABCD) nên chúng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này. Vì BD // (P) và \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(\Delta //BD \Rightarrow \Delta //EF.\) Ta có:

\({{EF} \over {BD}} = {{SI} \over {SO}} = {2 \over 3};\,KJ = 2BD.\)

Vậy \({{EF} \over {KJ}} = {1 \over 3}.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 37 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’.
Câu 38 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tam giác ABD.
Câu 39 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M, N, E, F.
Câu 35 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau.
Câu 34 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với BC.
Câu 33 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.