Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Ôn tập chương I - Khối đa diện

Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy và \(AB = a, AD = b, SA =c\). Lấy các điểm \(B', D'\) theo thứ tự thuộc \(SB, SD\) sao cho \(AB'\) vuông góc với \(SB, AD'\) vuông góc với \(SD\). Mặt phẳng \((AB'D')\) cắt \(SC\) tại \(C'\). Tính thể tích khối chóp \(S.AB'C'D'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \(\displaystyle SC \bot (AB'C'D')\)

\(\displaystyle \Rightarrow V_{S.AB'C'D'} = {{1} \over {3}} SC'.S_{AB'C'D'}\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \(\Rightarrow BC\bot AB'\)

Theo giả thiết \(SB \bot AB'\) \(\Rightarrow AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\)         (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(AD' \bot SC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AB'C'D')\) hay \(SC' \bot (AB'C'D')\)

Do đó \(SC'\) là đường cao của hình chóp \(S.AB'C'D'\).

Từ \(AB' \bot (SBC)\) \( \Rightarrow AB' \bot B'C'\)

Tương tự ta có: \(AD' \bot D'C'\)

\( \Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {S_{AB'C'}} + {S_{AD'C'}} \)

\(= \dfrac{1}{2}AB'.B'C' + \dfrac{1}{2}AD'.D'C'\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {AB'.B'C' + AD'.D'C'} \right)\)

Từ các kết quả trên, ta được:

\(\displaystyle{V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)

\(\displaystyle ={1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)     (*)

Ta tính các yếu tố trên.

Tam giác vuông \(SAB\) có \(AB'\) là đường cao, nên ta có:

\(\displaystyle{1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, ta có:

\(\displaystyle AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)

Ta lại có: \(SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Trong tam giác vuông \(SAC, AC'\) là đường cao

\(\Rightarrow SC'.SC = SA^2\) \( \displaystyle \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

\(∆SBC\) đồng dạng  \(∆SC'B'\) (g.g)\( \displaystyle \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự ta có:  \(\displaystyle D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Thay các kết quả này vào (*) ta được:

\(\displaystyle V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.7 trên 20 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store