

Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao>
Đề bài
Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chia tứ giác ABCD thành 4 tam giác nhỏ để tính diện tích mỗi tam giác đó.
- Cộng các kết quả với nhau suy ra đpcm.
Sử dụng công thức diện tích tam giác \[S = \frac{1}{2}ab\sin C\]
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).
Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \)
\({S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) \)
\(= {1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \)
(hai góc bù nhau có sin bằng nhau)
Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} \)
\( = \frac{1}{2}AI.BI.\sin \alpha + \frac{1}{2}AI.DI.\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)
Tương tự ta suy ra:
\({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}}\)\( = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)
Do đó,
\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}}\)
\( = \frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha + \frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)
Loigiaihay.com


- Bài 33 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
- Bài 34 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
- Bài 35 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
- Bài 36 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
- Bài 37 trang 67 SGK Hình học 10 nâng cao
>> Xem thêm