Bài 9 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của (P)

Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x.

a) Xác định tọa độ tiêu điểm F  và phương trình đường chuẩn d của (P).

b) Đường thẳng Δ có phương trình \(y = m\,,\,\,(m \ne 0)\) lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.

c) Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng  IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.

d) Chứng minh rằng \(MI \bot KF\) . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.

Giải

a)  Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).

Phương trình đường chuẩn  d: x + 1 = 0.

b) Ta có \(K( - 1;\,m)\,,\,\,H(0\,;\,m)\,,\,M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\) .

c) I là trung điểm OH nên \(I\left( {0\,;\,{m \over 2}} \right)\)

Phương trình đường thẳng IM

\({{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left( {y - {m \over 2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0\)

Tọa độ giao điểm của IM với (P)  là nghiệm của hệ

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{(y - m)^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr
y = m \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất \(M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\)

d) Ta có \(\overrightarrow {MI}  = \left( { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right)\,\,,\,\,\,\overrightarrow {KF}  = (2\,;\, - m)\) .

Suy ra  \(\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF}  =  - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF\)

Tam giác \(KMF\) cân tại M  (do MF = MK).

MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan