Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ - TOÁN 10 NÂNG CAO

Bài 23 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao


Chứng minh các đẳng thức sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các đẳng thức sau:

LG a

\({\sin ^2}({\pi  \over 8} + \alpha ) - {\sin ^2}({\pi  \over 8} - \alpha ) \) \(= {{\sqrt 2 } \over {2 }}\sin 2\alpha\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) - {\sin ^2}({\pi \over 8} - \alpha ) \cr&= {\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) + \sin ({\pi \over 8} - \alpha ){\rm{]}}.\cr&\;\;\;\;\;{\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) - \sin ({\pi \over 8} - \alpha ){\rm{]}} \cr 
& {\rm{ = (2sin}}{\pi \over 8}\cos \alpha )(2\cos {\pi \over 8}\sin \alpha ) \cr& = 2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}.2\sin \alpha \cos \alpha \cr &= \sin {\pi \over 4}\sin 2\alpha = {{\sqrt 2 } \over {2 }} \sin 2\alpha \cr} \) 

LG b

\({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}(\alpha  - {\pi  \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} - \alpha ) \) \(= {3 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

\[\begin{array}{l}
{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \alpha } \right)\\
= {\cos ^2}\alpha + {\left( {\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}} \right)^2}\\
+ {\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos \alpha + \sin \frac{{2\pi }}{3}\sin \alpha } \right)^2}\\
= {\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha } \right)^2}\\
+ {\left( { - \frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha } \right)^2}\\
= {\cos ^2}\alpha + \frac{1}{4}{\cos ^2}\alpha + \frac{3}{4}{\sin ^2}\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha \sin \alpha \\
+ \frac{1}{4}{\cos ^2}\alpha + \frac{3}{4}{\sin ^2}\alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha \sin \alpha \\
= \frac{3}{2}{\cos ^2}\alpha + \frac{3}{2}{\sin ^2}\alpha \\
= \frac{3}{2}\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\
= \frac{3}{2}
\end{array}\]

LG c

\(\tan ({\pi  \over 3} - \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi  \over 3} + \alpha ) \) \(= \tan 3\alpha \) (khi các biểu thức có ý nghĩa)

Ứng dụng: Tính tan100 tan500 tan1100

Lời giải chi tiết:

 Ta có:

\(\eqalign{
& \tan ({\pi \over 3} - \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr 
&  = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}\tan \alpha }}.\tan \alpha .\frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan \alpha }}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}\tan \alpha }}\cr &= {{\sqrt 3 - \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 - \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr 
& = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr 
& \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha .\tan \alpha }} \cr &= {{{{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 - {{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr 
& = \frac{{\frac{{2\tan \alpha  + \tan \alpha  - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}}}{{\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha  - 2{{\tan }^2}\alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}}} \cr &= \frac{{3\tan \alpha  - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\cr &= {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha \,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Áp dụng:

\(\eqalign{
& tan{10^0}tan{50^0}tan{110^0} \cr&= \tan ({60^0} - {50^0})\tan {50^0}\tan ({60^0} + {50^0}) \cr 
& = \tan {150^0} = - \tan {30^0} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store