Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ - TOÁN 10 NÂNG CAO

Bài 25 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao


Tìm các số c và β sao cho: sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α

Đề bài

Tìm các số c và β sao cho: \(\sin α + \cos α =c.\sin(α + β)\) với mọi α.

Lời giải chi tiết

Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ

Khi \(\alpha  = {\pi  \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \)

Từ đó: C ≠ 0; \(\sin \beta  = \cos \beta  = {1 \over C}\)

Ta có: \(\sin \beta  = \cos \beta\) \(  \Rightarrow \tan \beta  = 1 \) \( \Rightarrow \beta  = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

+) Nếu \(\beta  = \frac{\pi }{4} + k2\pi  \Rightarrow C = \sqrt 2 \)

+) Nếu \(\beta  = -\frac{3\pi }{4} + k2\pi  \Rightarrow C = -\sqrt 2 \)

Vậy:

\(\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr 
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

hoặc  

\(\left\{ \matrix{
\beta = -{{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr 
C = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(\sin α + \cos α =c.\sin(α + β)\) với mọi \(α\)

Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin (\alpha + {\pi \over 2}) \cr &= 2\sin (\alpha + {\pi \over 4})cos{\pi \over 4} \cr 
& = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr 
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha - \sin ({{3\pi } \over 2} - \alpha )\cr& = 2\cos ({{3\pi } \over 4})\sin (\alpha - {{3\pi } \over 4}) \cr 
& = - \sqrt 2 \sin (\alpha - {{3\pi } \over 4}) \cr} \).

Cách khác:

\[\begin{array}{l}
\sin \alpha + \cos \alpha = c\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\
\Leftrightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = c\left( {\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \right)\\
\Leftrightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = c\sin \alpha \cos \beta + c\sin \beta \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \alpha \left( {1 - c\cos \beta } \right) + \cos \alpha \left( {1 - c\sin \beta } \right) = 0,\forall \alpha \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - c\cos \beta = 0\\
1 - c\sin \beta = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \beta = \frac{1}{c}\\
\sin \beta = \frac{1}{c}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin \beta = \cos \beta = \frac{1}{c}
\end{array}\]

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store