Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao


Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.

Đề bài

Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức trung tuyến tính AO trong tam giác ABD.

Từ đó suy ra mối quan hệ giữa các đường chéo và các cạnh trong hình bình hành.

Lời giải chi tiết

 

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

=> O là trung điểm của AC và BD. (tính chất đường chéo hình bình hành).

Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có

\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\cr 
& \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2}\,\, \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {2AO} \right)^2} = 2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr&\Leftrightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr& \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})  \cr} \)

Mà ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AD=BC. Do đó,

\(\begin{array}{l}
2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) = 2A{B^2} + 2A{D^2}\\
= A{B^2} + A{B^2} + A{D^2} + A{D^2}\\
= A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}
\end{array}\)

Vậy \(A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 11 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store