Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao


Đề bài

Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức trung tuyến tính AO trong tam giác ABD.

Từ đó suy ra mối quan hệ giữa các đường chéo và các cạnh trong hình bình hành.

Lời giải chi tiết

 

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

=> O là trung điểm của AC và BD. (tính chất đường chéo hình bình hành).

Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có

\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\cr 
& \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2}\,\, \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {2AO} \right)^2} = 2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr&\Leftrightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr& \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})  \cr} \)

Mà ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AD=BC. Do đó,

\(\begin{array}{l}
2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) = 2A{B^2} + 2A{D^2}\\
= A{B^2} + A{B^2} + A{D^2} + A{D^2}\\
= A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}
\end{array}\)

Vậy \(A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.