Bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao


Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

Đề bài

Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)

Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Thay vào hệ thức \(\sin A = 2\sin B\cos C\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2R.2ab}}\\ \Leftrightarrow a.2R.2ab = 2R.2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài