Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao


Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

\(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}\)\( = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng công thức trung tuyến trong các tam giác:

+ BMD để tính MN.

+ BAC để tính BM.

+ DAC để tính DM.

- Từ đó biến đổi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

 

Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có

\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\)

\(\Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\)

Mà \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên

Cách khác:

* Áp dụng công thức trung tuyến của tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

* Áp dụng công thức (*)

Trong tam giác ABD ta có :

AB2 + AD2 = 2AN2 + BD2/2 (1)

Trong tam giác CBD ta có :

CD2 + CB2 = 2CN2 + BD2/2 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :

AB2 + BC2 + CD2 + DA2

= 2(AN2 + CN2) + BD2(3)

Xét tam giác CAN ta có :

AN2 + CN2 = 2MN2 + AC2/2 (4) (vì M là trung điểm AC)

Thay (4) vào (3) ta được :

AB2 + BC2 + CD2 + DA2

= 2[2MN2 + AC2/2] + BD2 

= AC2 + BD2 + 4MN2

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài