Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao


Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

\(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}\)\( = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng công thức trung tuyến trong các tam giác:

+ BMD để tính MN.

+ BAC để tính BM.

+ DAC để tính DM.

- Từ đó biến đổi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

 

Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có

\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\)

\(\Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\)

Mà \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên

Cách khác:

* Áp dụng công thức trung tuyến của tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

* Áp dụng công thức (*)

Trong tam giác ABD ta có :

AB2 + AD2 = 2AN2 + BD2/2 (1)

Trong tam giác CBD ta có :

CD2 + CB2 = 2CN2 + BD2/2 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :

AB2 + BC2 + CD2 + DA2

= 2(AN2 + CN2) + BD2(3)

Xét tam giác CAN ta có :

AN2 + CN2 = 2MN2 + AC2/2 (4) (vì M là trung điểm AC)

Thay (4) vào (3) ta được :

AB2 + BC2 + CD2 + DA2

= 2[2MN2 + AC2/2] + BD2 

= AC2 + BD2 + 4MN2

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài