Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao


Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

\(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}\)\( = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng công thức trung tuyến trong các tam giác:

+ BMD để tính MN.

+ BAC để tính BM.

+ DAC để tính DM.

- Từ đó biến đổi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

 

Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có

\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\)

\(\Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\)

Mà \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên

Cách khác:

* Áp dụng công thức trung tuyến của tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

* Áp dụng công thức (*)

Trong tam giác ABD ta có :

AB2 + AD2 = 2AN2 + BD2/2 (1)

Trong tam giác CBD ta có :

CD2 + CB2 = 2CN2 + BD2/2 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :

AB2 + BC2 + CD2 + DA2

= 2(AN2 + CN2) + BD2(3)

Xét tam giác CAN ta có :

AN2 + CN2 = 2MN2 + AC2/2 (4) (vì M là trung điểm AC)

Thay (4) vào (3) ta được :

AB2 + BC2 + CD2 + DA2

= 2[2MN2 + AC2/2] + BD2 

= AC2 + BD2 + 4MN2

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store