Bài 21 trang 81 SGK Đại số 10 nâng cao>
Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1
Cho phương trình: \(k{x^2} - 2\left( {k + 1} \right)x + k + 1 = 0\)
LG a
Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.
Phương pháp giải:
Chia thành hai TH:
TH1: Kiểm tra k=0 có thỏa mãn hay không.
TH2: Xét \(k\ne 0\) thì: phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
Lời giải chi tiết:
Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}>0\) (nhận)
Với k ≠ 0, ta có:
Δ’ = (k + 1)2 – k(k + 1) = k + 1
Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
+ Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0
+ Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm dương
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta ' \ge 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr
{{2(k + 1)} \over k} > 0 \hfill \cr
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow k > 0\)
+ Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương
Với x = 0 là nghiệm thì: \(k{.0^2} - 2\left( {k + 1} \right).0 + k + 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1\)
Khi đó, phương trình trở thành –x2 = 0 ⇔ x = 0 (không thỏa mãn)
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi \( - 1 < k < 0\) hoặc \(k = 0\) hoặc \(k > 0\)
Kết hợp ta được k > -1.
LG b
Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.
Phương pháp giải:
Phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1
\(\Leftrightarrow\) phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\) \(\Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0\)
Sau đó, áp dụng Viet thay vào điều kiện tìm k.
Lời giải chi tiết:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k + 1 > 0
\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k > - 1
\end{array} \right.\,\,\,(*)\)
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:
\(\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \)
Kết hợp với (*) ta được k>0.
Vậy giá trị k cần tìm là k > 0.
Loigiaihay.com
- Bài 20 trang 81 SGK Đại số 10 nâng cao
- Bài 19 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao
- Bài 18 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao
- Bài 17 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao
- Bài 16 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao
>> Xem thêm